4.1比例线段 专项训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：4.1比例线段 【思维导图】 【知识梳理】 一、比例相关概念 1. 比例 如果四个数 a,b,c,d 满足 a：b=c：d ，就说这四个数成比例。 (a,d)：比例外项；b,c：比例内项 读作：a 比 b 等于 c 比 d 注意：顺序不能乱，(a,b,c,d) 成比例 ≠ (a,c,b,d) 成比例 2. 比例的基本性质 a：b=c：d 两内项之积 = 两外项之积，是比例计算最常用公式 3. 比例的变形性质 合比性质：若 a：b=c：d，则 （a+b）：b=（c+d）：d 分比性质：若 a：b=c：d，则 （a-b）：b=（c-d）：d 合分比性质：若a：b=c：d ，则 （a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d） 等比性质：若a：b=c：d=e:f=k，且(b+d+f≠0) （a+c+e）：（b+d+f）=k 4. 比例中项 若 a：b=b：c，则 b2=ac，b 叫做a,c的比例中项。 二、比例线段（重点） 1. 定义 在四条线段a,b,c,d中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 区分： 数成比例：可以是负数 线段成比例：线段长度都是正数 2. 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成 AC、CB两段，(AC>BC)若AC:AB=BC:AC ，则称线段 AB 被点 C 黄金分割，C 为黄金分割点。 黄金比： AC:AB=≈0.618一条线段有2 个黄金分割点。 一阶学习（基础训练） 1.已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 2.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 3.已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（ ） A. 36 B. 5 C. 2 D. 6 4.已知，则下列结论一定成立的是（　　） A. x＝6，y＝7 B. C. y﹣x＝1 D. 5.已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（ ） A. B. C. D. 6.下列各组数不能成比例的是( ) A.3,-9,-2,6 B.,,, C.3,,,2 D.4,3,5, 7.若线段a＝2，b＝8，则线段a，b的比例中项是（　　） A．4 B．32 C．±4 D．±32 8.已知线段，，则，的比例中项线段等于（ ） A. B. C. D. 9.已知，则的值是（ ） A.2 B. C. D. 10.已知线段的长度满足等式，将它改写成比例式的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. ∴， 12.如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 14.已知，则下列比例式正确的是(    ) A. B. C. D. 15.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 16.已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 二阶学习（提升训练） 1.线段c是线段a，b的比例中项线段，已知，，则______． 2.若，则等于________． 3.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 4.已知，b，则的值为______． 5.已知实数a，b满足，则的值为　 　 ． 6.已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么______． 7. 已知，，则a，b的比例中项为_______． 8.若，则的值为_____． 9.已知线段是线段，的比例中项，，，那么______ ． 10.3与27的比例中项是_____． 11.已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则       三阶学习（培优训练） 1. 计算 已知三个数，，，请你再添一个数，使这四个数成比例，并写出比例式． 2.已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，值． 3.已知，求． 4.已知，且，求的值. 5.已知x：y＝2：3，求： （1）的值； （2）若x+y＝15，求x，y的值． 6.已知，求的值． 7.（1）已知，且，求a的值． （2）已知，求x的值． 8.已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：4.1比例线段 【思维导图】 【知识梳理】 一、比例相关概念 1. 比例 如果四个数 a,b,c,d 满足 a：b=c：d ，就说这四个数成比例。 (a,d)：比例外项；b,c：比例内项 读作：a 比 b 等于 c 比 d 注意：顺序不能乱，(a,b,c,d) 成比例 ≠ (a,c,b,d) 成比例 2. 比例的基本性质 a：b=c：d 两内项之积 = 两外项之积，是比例计算最常用公式 3. 比例的变形性质 合比性质：若 a：b=c：d，则 （a+b）：b=（c+d）：d 分比性质：若 a：b=c：d，则 （a-b）：b=（c-d）：d 合分比性质：若a：b=c：d ，则 （a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d） 等比性质：若a：b=c：d=e:f=k，且(b+d+f≠0) （a+c+e）：（b+d+f）=k 4. 比例中项 若 a：b=b：c，则 b2=ac，b 叫做a,c的比例中项。 二、比例线段（重点） 1. 定义 在四条线段a,b,c,d中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 区分： 数成比例：可以是负数 线段成比例：线段长度都是正数 2. 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成 AC、CB两段，(AC>BC)若AC:AB=BC:AC ，则称线段 AB 被点 C 黄金分割，C 为黄金分割点。 黄金比： AC:AB=≈0.618一条线段有2 个黄金分割点。 一阶学习（基础训练） 1.已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 2.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查“分式的性质”，观察分式找到约分的方式建立与已知条件的联系是解题关键． 将所求分式拆分为已知分式与常数之和，代入条件计算即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ， 故选：C． 3.已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（ ） A. 36 B. 5 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例中项的概念，熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两外项的乘积，计算即可． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为c， 则， ∵， ∴． 故选：D． 4.已知，则下列结论一定成立的是（　　） A. x＝6，y＝7 B. C. y﹣x＝1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用设k法依次判断各个选项即可． 【详解】∵， ∴设x＝6k，y＝7k， A、x＝6，y＝7，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、y﹣x＝7k﹣6k＝k，故C不符合题意； D、 ∴ 故D不符合题意； 故选：B． 5.已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割定义，熟练掌握“黄金分割点中较短线段与较长线段的比值为”是解题的关键．根据黄金分割点的定义，利用黄金比的关系来求解的值． 【详解】解：∵ P是线段的黄金分割点，且， ∴ ， 故选：C． 6.下列各组数不能成比例的是( ) A.3,-9,-2,6 B.,,, C.3,,,2 D.4,3,5, 【答案】C 7.若线段a＝2，b＝8，则线段a，b的比例中项是（　　） A．4 B．32 C．±4 D．±32 【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【解答】解：设线段a、b的比例中项为x， 则x2＝ab， 即x2＝ab＝2×8，∴x＝4或x＝﹣4＜0（舍去）． 故选：A． 8.已知线段，，则，的比例中项线段等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：设，的比例中项线段为， ∵是，的比例中项， ∴． ∵，， ∴． ∵线段长度为正数，即， ∴． 故选：B． 9.已知，则的值是（ ） A.2 B. C. D. 【答案】C 10.已知线段的长度满足等式，将它改写成比例式的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项根据比例的运算方法进行计算，再与原式相比较是否相同，解题的关键是掌握比例的性质及计算方法． 根据比例的基本性质：交叉相乘积相等．对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、交叉相乘得，与原式不相等，错误，不符合题意； B、交叉相乘得，与原式不相等，错误，不符合题意； C、交叉相乘得，与原式不相等，错误，不符合题意； D、交叉相乘得，与原式相等，正确，符合题意； 故选：D． 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据若，则即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 12.如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 13. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，代入进行求解即可．熟练掌握外项积等于内项积，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 14.已知，则下列比例式正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ，， 、B、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选： 15.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查“分式的性质”，观察分式找到约分的方式建立与已知条件的联系是解题关键． 将所求分式拆分为已知分式与常数之和，代入条件计算即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ， 故选：C． 16.已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 二阶学习（提升训练） 1.线段c是线段a，b的比例中项线段，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的应用，平方根，掌握知识点是解题的关键． 根据比例中项的定义，若线段是线段和的比例中项，则满足，即，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵是，的比例中项， ∴， 代入，， 得， ∴或（负值舍去）， 故答案为：． 2.若，则等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确变形是解题关键． 根据，设，，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 3.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割比． 根据题意可得，，即可得液面高度． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：． 4.已知，b，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知等式 出发，通过代数变形求解 的值． 【详解】解：，且 ． 将等式两边同时除以 ，得： 再将等式两边同时除以 3，得： 故答案为 ． 5.已知实数a，b满足，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】设a＝5k，b＝3k，代入所求的式子化简即可． 【解答】解：∵， 设a＝5k，b＝3k， ∴． 故答案为：． 6.已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，得到，代入计算，结合线段的非负性，确定答案即可． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，线段，线段， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 7. 已知，，则a，b的比例中项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义列式求值即可． 【详解】解：设a、b的比例中项为x， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴a，b的比例中项为， 故答案为：． 8.若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式运算，由题可得，然后代入分式化简解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9.已知线段是线段，的比例中项，，，那么______ ． 【答案】9 【解析】 【分析】根据比例中项的定义得到，然后把、的值代入计算即可． 本题考查了比例线段：正确理解比例中项的定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：． 10.3与27的比例中项是_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，关键是掌握比例的有关性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，据此即可求解． 【详解】解：设3和27的比例中项是x，则 ， 或， 故答案为：或． 11.已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则       【答案】4  【解析】解：线段c是线段a、b的比例中项， ， 又，， ， 解得 又为线段的长度， 舍去； 即 故答案为： 三阶学习（培优训练） 1. 计算 已知三个数，，，请你再添一个数，使这四个数成比例，并写出比例式． 【答案】添加，比例式为（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了成比例，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 可以设再添上的数是，根据比例的定义就可解得． 【详解】解：设添加的一个数为， 情况一：根据题意得，解得：，比例式即； 情况二：根据题意得，解得：，比例式即； 情况三：根据题意得，解得：，比例式即． 2.已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质及计算方法是关键． （1）根据比例的性质，设，代入计算即可； （2）根据题意，设，代入计算得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，设， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，设，则， ∴， ∴． 3.已知，求． 【分析】利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴＝＝＝． 4.已知，且，求的值. 【答案】设 ，，，， 5.已知x：y＝2：3，求： （1）的值； （2）若x+y＝15，求x，y的值． 【答案】（1）-2；（2）x＝6，y＝9 【解析】 【分析】（1）结合题意，设x＝2k，y＝3k，代入代数式计算，即可得到答案； （2）由（1）得x＝2k，y＝3k，结合x+y＝15，可计算得k的值，从而得到答案． 【详解】（1）由x：y＝2：3，设x＝2k，y＝3k 2； （2）由（1）可知，x＝2k，y＝3k ∵x+y＝15 ∴2k+3k＝15 ∴k＝3 ∴x＝6，y＝9． 6.已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的性质化简，求出值即可． 【详解】解： 由得， ， 解得， ∴． 7.（1）已知，且，求a的值． （2）已知，求x的值． 【答案】（1）12  （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握“设法”和内项乘积等于外项乘积是解题的关键． （1）利用“设法”正确表示出各数，求出代入求值即可； （2）利用内项乘积等于外项乘积列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因为，则设，，， 所以， 解得 所以； （2） 即 解得 8.已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $