精品解析：湖南长沙麓山国际实验学校2026-2027学年高一上学期第一次适应性检测数学试题

2026-2027-1高一第一次适应性检测 高一数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章《集合》与第二章《不等式》． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为自然数集，集合，则（       ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 5. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“ ”的充要条件 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 11. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_______. 13. 已知全集，集合，，则的真子集个数为_____． 14. 若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. （1）当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； （2）在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 16. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 18. 已知． （1）若的解集为，求关于x的不等式的解集； （2）解关于x的不等式． 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027-1高一第一次适应性检测 高一数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章《集合》与第二章《不等式》． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为自然数集，集合，则（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，逐个判断各个选项. 【详解】A选项， 且 ，所以，A选项错误； B选项， ，所以，B选项错误； C选项， ，所以 ，C选项错误； D选项， 且 不成立，所以，D选项正确. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，， 得． 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】改量词，否结论，直接写出命题的否定即可. 【详解】命题“”的否定是“”． 4. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 5. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解，得，由题意可得，求解后再验证即可. 【详解】若，则不等式无解，不符合题意； 若，由，得， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以，等号不同时成立，解得， 当时，由，得， 因为为的真子集， 则是不等式成立的充分不必要条件，符合题意，所以， 故整数的最小值为. 6. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 7. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 8. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“ ”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【详解】当，时，满足，但，所以由“”推不出“”， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 若“”，则一定有“”， 所以“”是“”的必要条件，故B正确； 当，，时，满足，但， 所以“”不是“”的充要条件，故C错误； ，所以“”是“ ”的充要条件，故D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法，和不等式的性质即可判断选项. 【详解】A.∵，∴不等式同乘以可得， 不等式同乘以可得，即，A正确. B.取时，此时，B错误. C.∵，且，∴,即，C正确. D.∵，， ∴，， ∴，D正确. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 13. 已知全集，集合，，则的真子集个数为_____． 【答案】7 【解析】 【详解】集合， 集合， ， ， ，里面有3个元素， 集合有个元素，真子集个数公式：， 代入，得. 14. 若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造二次函数，由分类确定不等式的另一个整数解，结合二次函数性质列出不等式组求解. 【详解】令函数，二次函数图象开口向上， 由，得是不等式的一个整数解， 又不等式的解集中恰好有两个整数，则或， 即或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. （1）当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； （2）在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】（1）140万元 （2）每本不低于30元且不高于45元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）设杂志的定价为每本元，由题意得，进而解不等式即可. 【小问1详解】 当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. 【小问2详解】 设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 16. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或或（也可写为） 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 17. 已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据一元二次方程无实根的条件即可求解； （2）首先根据一元二次不等式恒成立的条件计算出分当为真命题时，的范围，然后为真假和假真两种情况，最后根据集合的运算即可求解. 【小问1详解】 由题意可知. 【小问2详解】 当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 18. 已知． （1）若的解集为，求关于x的不等式的解集； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，； 当时，； 当时，． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可. 【小问1详解】 已知的解集为，说明1和2是方程的根． 由韦达定理：，可得， 将代入不等式，得， 所以或． 因此，不等式的解集为． 【小问2详解】 先对进行因式分解： 即解，需要根据a的取值分类讨论： （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式变为，解集为全体实数R； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上所述：当时，；当时，；当时，． 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 【答案】（1）和是完全集合，不是完全集合. （2）中的元素个数的最小值为7. （3）对于任意满足的完全集合M：完全集合必然包含元素1，否则无法表示正整数1； 集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都属于，该集合共有98个元素； 则构造49个两两不交二元组： ，，所以49个两两不交二元组为， 定义映射将每个满足条件的完全集合映射为集合，是集合的一个子集， 每个完全集合最多从每个二元组中选取1个元素，因此满足条件的的总个数不超过每个二元组选或不选1个元素的总情况数：，即. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义，集合无法表示出正整数2，集合和均可表示所有不大于自身元素和的正整数，属于完全集合； （2）首先推导元素和的上界，再计算当时和当时是否满足最小元素个数； （3）首先推导完全集合的元素特征，确定必然包含元素1，再通过映射可以证明. 【小问1详解】 集合的元素和为，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义；同理，集合的元素和为，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义；集合的元素和为，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义. 【小问2详解】 设完全集合的元素从小到大依次为，由完全集合定义得： 要能表示1，必须满足，此时可表示的最大连续和为1； 为了能连续表示，故前个元素的和，因此， 当时，，不符合要求； 当时，取，，且满足完全集合定义，所以中的元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $