2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第二章　圆锥曲线 §. 2.2.2 双曲线的简单几何性质（1） 1 学习目标 1.根据双曲线的标准方程推导双曲线的范围、对称性、顶点、实轴和虚轴 2.能用双曲线的几何性质解决问题； 3.根据双曲线的性质画双曲线的草图 2 温故知新 1.双曲线的定义: 平面内到两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线. 这两个定点，叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离 叫作双曲线的焦距. 2.双曲线定义的符号语言: 平面内一点M满足 ， （，），则点M的轨迹为以为焦点的双曲线. （双曲线有两支） o F 2 F 1 M 3 温故知新 双曲线的标准方程: F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y F(±c，0) 焦点坐标： F(0，±c) 焦点坐标： 前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1、双曲线上的点的坐标的范围 即 结论:双曲线位于直线和的两边. x y o -a a 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 2、双曲线上的对称性 即标准方程的双曲线是: 以坐标轴为对称轴， 坐标原点为对称中心。 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 3、双曲线上的顶点 线段叫做双曲线的实轴,实轴长为， 线段叫做双曲线的虚轴,虚轴长为 问题1：双曲线上哪些点比较特殊？ 问题2：如何求它们的坐标呢？ 令得；令，则无解． 这说明双曲线有两个顶点， 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 一、双曲线的简单几何性质 方程 图 形   范围 顶点坐标 焦点坐标 , 实轴长为，虚轴长为 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型一 根据双曲线的方程写出性质 课本65页例4 例4.求双曲线 x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴长并画出该双曲线. 解：把已知方程化成标准方程 因此，双曲线实轴长为虚轴长为 两个焦点分别是 顶点坐标分别是 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距： 课本66页第1题 (1) ； 解：先化为标准形式： 焦点在x轴上， 顶点： 焦点： 实轴长： 虚轴长： 焦距： 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距： 课本66页第1题 (2) ； 解：先化为标准形式： 焦点在x轴上， 顶点： 焦点： 实轴长： 虚轴长： 焦距： 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距： 课本66页第1题 (3) 解：先化为标准形式： 焦点在y轴上， 顶点： 焦点： 实轴长： 虚轴长： 焦距： 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型二 求双曲线的方程 课本64页例3 3.如图 2‑23 (1)，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面。已知塔的总高度为 150 m，塔顶直径为 70 m，塔的最小直径 (喉部直径) 为 67 m，喉部标高 (标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离) 为 112.5 m，求双曲线的标准方程 (结果精确到 0.01)，并画出该双曲线。 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型二 求双曲线的方程 课本64页例3 解：为了得到双曲线的标准方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 (如图 2‑24)， 设双曲线的标准方程为 则点A的坐标为。，点C的坐标为，代入双曲线的标准方程有 所以 所求双曲线的标准方程为 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 课本66页 第2题 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 焦距为6，顶点为； 解：(1)由已知得，焦点在轴上,设双曲线的标准方程为 ，, 双曲线得标准方程为 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 课本66页 第2题 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (2) 顶点为，，虚轴长为2； 解：(2)由已知得，焦点在轴上,设双曲线的标准方程为 ，,又 双曲线得标准方程为 16 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 课本66页 第2题 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (3) 实轴长和虚轴长相等，且经过点。 解：(3)实轴长 = 虚轴长：等轴双曲线。 ①焦点在x轴：设双曲线的标准方程为， 代入，得 双曲线的标准方程为： ②焦点在y轴：， 代入，得无解。 综上，双曲线的标准方程为： 17 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 一、双曲线的简单几何性质 方程 图 形   范围 顶点坐标 焦点坐标 , 实轴长为，虚轴长为 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 方程 图 形   范围 顶点坐标 焦点坐标 , 实轴长为，虚轴长为 一、双曲线的简单几何性质 19 谢谢大家 20 $