广西柳州市鹿寨中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

鹿寨县鹿赛中学2027届高三数学10月考 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效， 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.设集合A={xlog(c-1)>0},B={x2<4,则（▲） A.A=B B.AUB=B C.AB=B D.A2B 2.若复数z满足22-2√2z+3=0,则2=（▲) A.√2 B.2 c.5 D.3 3.已知空间中三个向量AB=(1,2,3),AC=(2,-1,-1),AD=(9,x,-1)共面，则实数x的值为（▲） A.1 B.2 C.-1 D.-2 4.已知p:3xe(0,+n),4-a.2'+1≤0，q:f(x)=-x2+2r在(-n,2)上单调递增，则p是9的（▲） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.己知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,PA,PB为圆锥的母线，PO=3,∠AOB=120,且二面角P-AB-O 的大小为60，则圆锥的侧面积为（▲） A.6π B.12π C.3√7π D.67n 6.若f()满足(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，f(x)>1,则x<0时，(x)的取值范围为（▲） A.（-m,1) B.(0,1) C.(1,+n) D.(0,+n) 7.已知函数f(x)=e-e+x,若f(2-2)+f(m-1)>2,则m的取值范围是（▲） A.(1+∞) B.(信o） 8.已知P为枝长为1的正方体ABCD-AB,CD的内切球表面一动点，且AP=xAB+yAD+zAA,则x+y+z的 取值范围是（▲） C.[5,25] D 3+52N5 2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分) 9,震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里 氏分级表，共分9个等级，其中能量E(单位：焦耳)与里氏震级M的对应关系为gB=4.8+1.5M,则（▲） A.若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于10焦耳 B.若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于10“焦耳 C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D。3级地震的能量是7级地震的能量的。 10.如图，在矩形ABFC中，AB=√3，EF=2,B为EF的中点，现分别沿AB,BC将△ABE,△BCF翻折，使 点B,F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则（▲） B A,三楼锥P-ABC的体积为巨 B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为5 C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为25D.三核锥P-ABC外接球的体积是y 3 24 0log,(-1-x,x<-1 11.已知函数f(x)= 2-+1,x≥-一】，方程)=m有四个不等的实数解，分别为 ,水，x(<x<x<x),则（▲） A.m∈Q,4] B.+x+x=0 C.23+21=24 ++6+6+e(分 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，在四枝柱ABCD-ABCA中，∠BAD=∠BAA=∠DAA=行，四边形ABCD是边长为2的菱形， AA=3,O为AC与BD的交点.则AO的长等于 D C B 13.若函数∫(x)=a2+4x-1在(-l,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 14.在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型.长度1W)定义为物体上最远两点间的距离，宽度t()定义为 能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平 面上).现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则贮的最小值为 tW∽ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)在a4BC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,满足+=4+2co34,且 c b bc si4=2sim(A+B）. sinB (I)求△ABC的面积： (2)若AM为aABC的中线，且∠BAM=45°，判断△ABM的形状. 16.（15分)一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这 个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率： 2)记摸出的球的颜色种类为X,求X的分布列与期望. 17.（15分)己知双曲线c若是=1a>0b>0)的右焦点为R,右顶点为A0为坐标原点，且O4=4=1 Q)求C的方程： (2)过点F的直线I与C的右支交于M,N两点，记C的左顶点为B,证明：BM⊥BN. 18.（17分)如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为平行四边形，△SAB为正三角形，AC⊥平面SAB, ∠ABC=60°，BC=4,点T满足S7=SD(0<1<1). )若入=号时，求三棱锥B-AC的体积： (2)若平面a过直线BT,且AC/平面a,平面a与侧棱SC,SA分别交于点E,F,是否存在点T,使得 平面ABCD与平面α的夹角为”？若存在，请说明点T的位置，并求此时ABBr的面积：若不存在，请说明 6 理由. S 19.(17分)已知函数(=-子-a-+(2a-4h,aeR. )当a=1时，求曲线y=f(r)在点(1∫()处的切线方程： (2)若f(x)在定义域内为增函数，求a的取值范围： 3)若f()在区间(0,1)，(1，+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围. 参考答案 3 4 6 7 8 B C D A D B C B 9 10 11 12 13 14 ABD ACD BCD 6 [-3,5U{-4} √2 8.B【详解】如图以A为原点，AB,AD,A分别为x,y,z轴建系， 则B(1,0,0),A(0,0,,D(01,0),B=(1,0,0),A=(0,0,1),AD=(01,0) A 则P=(x,y,z),又C(,1,1),AC=(1,1,1) B x+y+z=AP.AC=AP.ACcosP,C=cosP,C. APcos AP,AC表示AP在AC方向上的投影向量的长度。 如图当P在G或F时，即当A,O,P共线时，M丽cos丽，AC取最值 因o5》内切球半径为；则40-丽亚石≤40+号 w[, 则x+yze 3-53+3 2,2 故选：B 11.BCD【详解】令-1-x>0,解得x<-1, 令log2(-1-x)≥0，解得x≤-2，此时f(x)=log2(-1-x), 令log2(-1-x)<0,解得-2<x<-1,此时f(x)=-log2(-1-x), 令2-1≥0，解得-1≤x≤1，此时f(x)=2,令2-1<0，解得x>1,此时f()=2-2, 1og2(-1-x),x≤-2 -log2(-1-x),-2<x<-1 则∫(x)= 2,-1≤x≤1 如图，作出符合题意的图象， y=f(x) 2-2x,x>1 2. y=m 因为方程∫(x)=m有四个不等的实数解， -2-10 所以f(x)与y=m有四个不同的交点，则m∈(L,2),故A错误， 对于B,令log2(-1-x)=m,解得x=-1-2",令-log2(-1-x)=m,解得x3=-1-2m,令2=m,解得 为=1-log2m,令2-2=m,解得x4=1-log2(2-m）,则xx2+x+x2=(-1-2")(-1-2m)+(-1-2")+(-1-2") =1+2m+2"+1-1-2m-1-2m=0,故B正确， 对于C,由己知得为=1-log2m,x=1-log2(2-m),则25+24=2-：m+2-,2-)=2 2 2lo8:mlo8:(-m) -2+2=22-m+2m4 m2-mm(2-m）m(2-m2m-m，而2=2-s:m1-bs,2-m0=22-esme,2-l=2,2m-m) 2时-2m-m?可得2为+2=25%，放C正确， 22 4 、对于D,由题意得25+2三2”+2=2-咖+2-，2】 =2e+2e=2x2+2rx20四=方+2-网-=方m+1-m=l. 2 2 而(x+(:2+)x2=2(为2+x+x2+),因为x为2+x+x2=0,所以(x+)(32+1)x2=为2=-1-2m, 则2分+2只+(6+3+=1-2”+1=-2”，令g侧=-2，由指数函数性质得8m侧在，2习上单调递增， 当m→1时，8侧)→分当m→2时，8侧)→日 可得8m(分》，即女+实+6++%e(分》 故D正确. 14.【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为1(V)=V(2R)+h, 当h≥2R,即费≥1时，=2R,化-2+ (V) 2R 当且仅当h=2R时，等号成立： 当h<2R,即2>1时，)=h,2R+日 2R h (V) h N+) 反期将的小南反 15.(1)b+9=4+2coA→6+c2=4+2 beco, c b bc 其中2 becosA=b2+c2-a2,所以b2+c2=4+b2+c2-a2,a2=4, 解得a=2, 4=2sin(4+B),由正弦定理得g-2sinC, sinB 又a=2,所以bsinC=l, 1 所以S.Mc=5 absinC=与×2×1=l: 3 2 (2)AM为△ABC的中线，a=2,故BM=CM=1, Snc=l,故Sm=2Sc-2' ∠BMM=45,放)AB:Msin45°=2所以AB-AM=5, 1 2 在aMBM中，由余弦定理得cos∠BMM=1B+M2-BM2, 2AB·AM 即1B+AM2-1-V2 2N2 2 ,化简得AB2+AM=3, 联立AB.AM=√2与AB2+AM2=3得AB=L,AM=√2或AB=√2，AM=1, 若AB=1,AM=V2,此时BM2+AB2=AM2,BM=AB, △ABM为等腰直角三角形： 若AB=√2，AM=1,此时M2+BM2=AB2,AM=BM, △ABM为等腰直角三角形： 综上，△ABM为等腰直角三角形 16.(1)由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个 绿球)，可能为1个红球和2个绿球， 其中摸出3个红球的概率为 c35' CC=12 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为=5， 摸出1个红球和2个绿球的概率为 cci_3 C335' 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为 1,12,316 35353535 (2)由题可知，X的所有可能取值为1,2,3， Px-小是-万Px-2-t8器 C P(X=3)=CCC=12 C35 则X的分布列为 X 1 3 P 35 号 号 故E(X)=1×+2x2+3x 2_81 35 35 3535 1.0x2-y=1 3 (2) M F AI解法一：证明：由题可知，I的斜率不为0， 可设I的方程为x=y+2,M(x,y),N(s2,y2) [x=y+2 x-=1可得(3r2-y2+12y+9=0, 由 3 124 9 则32-1*0，y+%=3-4=3 由题可知B(-1,0),则BM=(x+1,y),BN=(:+1,2), BM.BN=(x+1(x:+1)+y=(+3+3)+2: =(2+1)y2+31(y+y2)+9= 器96 所以BM⊥BN. 18.(1)(1)取AB的中点O,取BC的中点P,连接OS,OP,则OP∥AC, 又AC⊥平面SAB,则OP⊥平面SAB, 又OS,ABc平面SAB,则OP⊥OS,OP⊥AB, 所以以O为原点，直线OB,OP,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 在Rt△ABC,由∠ABC=60°，BC=4, AB-BCcos60-2,AC=BCsin6025 OP-74C=04-OB-=1, 2 在正三角形ASAB中，SM=SB=AB=2,则OS=VSB2-OB2=√3， 所以0(0,0,0），s0,0,5),D(-3,25,0, 又点T满足S7=SD(0<1<1), 则57=2SD=(-3,25,-5),则T(-3,23,-5+V5), r2929 即点T到平面ABC的距离为h=25 3 所以三被锥月-C的件积为m=%c-号c-对x2x25x29-号 3 3 (2)连接EF,BT, 由平面a过直线BT,且E,F∈平面a,则平面BEIF是平面a, 因为AC//平面a,平面BETFO平面SMC=EF,所以ACIEF, 结合(1)的空间直角坐标系， 不妨设SE=Sa,则SF=4SC,0<μ≤1， 又S00,5),A(-1,0,B(1,0,0),C(-1,25,0, 则S亚=4(-1,0-5)=(-4,0，-V54,所以E(4,0,v5-5p4, SF=(-l,25,-5)=(4,234,-3,所以F(-4,234,5-5p, 所以BE=(4-1,0,5-54,BF=（--l,254,5-54, m.BE=(μ-)x+V5-54z=0 设平面α的法向量为m=(x,y,z),则 mBF=(-μ-)x+254y+(5-5p2=0' 令x=5(1-,则y=0,z=1+4,所以m=(5-V54,01+4, 显然i=(O,0,)是平面ABCD的一条法向量， 又平面4ABCD与平面a的夹角为管， 元m 则cos 1+4 5 s6同 3(-)2+(1+2 2 整理得2-5+2=(2--2)=0，解得A=,或=2（会去）， 即点E,F分别为侧棱SC,SA的中点，且平面a的法向量为m= 又点T满足7=SD(0<1<1), 结合(1)有T(-3,25,-√5+5)， 则B7=（-3-1,25,-3+5). 又BTc平面a,则m⊥BT, 所以m-所.3525351+35=-352+5=0，解得2 222 2 3 所以存在点T(T为SD的三等分点，且靠近S处)，使得平面ABCD与平面a的夹角为 6 结合1，在△S4C中有4C=25,则EF=号4C=5, 在正三角形ASAB中，有SM=SB=AB=2,则BE=, 5, 又AC⊥平面SAB,ACIIEF,则EF⊥平面SAB, 又BEC平面SAB,则EF⊥BE, 所以此时aBEF的面积为Sm=xDExEF=-方×5x5=2 2 191)当a=1时，闭=r-京-史-21hx, 因为-2x+是(+)2所以0=2+2-0+0-2=0，又f0=0, 所以曲线y=∫(x)在点(，)处的切线方程是y=0. 2因为r=2x+号+204.2-2rg之-2 2[4- 设&=2++4-a,则&倒在(Q)上单洞莲减，在+o)上单调适葡 若g()20,即a≤8时，则∈(0，+)，有g(x)≥0，f'(x)≥0，则f(x)是增函数： 若&0<0，即a>8时，因为8日)8回)-子a+4>0, 则g(x)有两个零点，记为x,x2,不妨假设x<, 则∈(：，)，有gx)<0,'()≤0，则f(x)在(：，)上单调递减，不合题意： 所以a的取值范围是(-∞，8]. (3)当a≤8时，由(2)可知，f(x)是增函数，则f(x)在(0，+∞)上至多一个零点： 当a>8时，由(2)可知，f(x)在(0，x)上单调递增，在(x,x)上单调递减， 在(：2，∞)上单调递增.又因为x<1<2,且f()=0, 所以f()>0,f(x2)<0. 又因为合，f日)京1-(a-4has0,a>:fo=-日}0， 所以在日小，(G,)上各恰有-个零点， 所以f(x)在区间(0，)，(1，+∞)各恰有一个零点，所以a的取值范围是8，+o).