黑龙江省黑河市北安市九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册26.3）

二次函数与一元二次方程作业设计作品 1、 作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 26.3二次函数与一元二次方程专项作业设计 学段学科 初中数学 适用年级 九年级 教材版本 人教版 对应内容 第26章第3节 二次函数与一元二次方程 作业类型 课后专项巩固作业 完成时长 总时长45分钟 设计者 李飒 2、 设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应数学核心素养为数感、几何直观、逻辑推理、数学运算、模型观念。要求学生掌握二次函数与一元二次方程的内在关联，能利用函数图象求解方程根、判断方程根的存在性，能结合二次函数性质解决综合问题，达成九年级数学学业质量标准中“函数建模与综合应用”的核心要求。 教材地位：《二次函数与一元二次方程》是九年级二次函数模块的核心重难点内容，承接一次函数与一元一次方程、二次函数图象性质等前置知识，是衔接函数与方程两大核心模块的关键内容，也是后续学习二次函数综合应用、高中函数方程思想的基础，贯穿数形结合的核心数学思想。 教学重难点：重点是掌握二次函数图象与x轴交点和一元二次方程根的对应关系，能利用函数图象解决方程相关问题；难点是运用数形结合思想解决二次函数与方程、几何图形结合的综合探究问题，理解方程有实数根与函数最值、图象位置的关联。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 九年级学生已熟练掌握一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系，掌握二次函数的图象、对称轴、顶点、增减性等基础性质，具备初步的数形结合解题意识和基础运算、推理能力。 现有困惑 学生容易割裂二次函数与一元二次方程的内在联系，无法灵活利用函数图象判断方程根的情况；面对函数、方程、几何图形结合的综合题型，缺乏解题思路，难以精准分析动点、角度、面积等综合问题，对新定义题型的适配能力较弱。 差异分析 基础薄弱学生仅能完成简单的函数与方程基础换算，无法应对图象分析题型；中等学生可掌握基础题型，综合探究题型解题不完整、思路不清晰；优等生可完成常规综合题，但在新定义、多结论判断、最值范围探究等创新题型中容易出现疏漏。 3. 设计意图 本次作业立足课标要求和学生学情，遵循“分层递进、由浅入深、学练结合、素养落地”的原则设计，分为基础题、拓展题、探究题三个层级，覆盖知识识记、基础运用、综合探究、创新拓展多个维度。通过分层题型训练，帮助学生夯实二次函数与一元二次方程的核心关联知识点，强化数形结合、方程建模、逻辑推理的数学思想，兼顾不同层次学生的学习需求，同时通过新定义题型、几何综合题型，提升学生知识迁移和综合解题能力，落实数学核心素养的培养目标。 3、 作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 理解二次函数图象与x轴交点和一元二次方程根的对应关系，掌握方程根的判别式与函数图象交点个数的关联，熟记二次函数顶点、对称轴、最值基础性质 数感、模型观念 基础题正确率、概念应用准确性 能力运用 B 能运用代入法、因式分解、根与系数关系求解函数与方程基础题型，能结合二次函数性质求解取值范围、函数最值问题，掌握新定义题型的解题方法 数学运算、几何直观 解题步骤完整性、方法选用合理性、计算准确率 思维发展 C 能通过数形结合思想分析函数与几何综合问题，能推理判断多结论题型、动点题型的核心规律，具备知识迁移和综合探究思维 逻辑推理、创新思维 解题思路逻辑性、综合题型推导过程、结论判断准确性 情感态度 D 养成严谨的数学运算习惯和规范的解题思维，树立数形结合的数学思想，提升自主探究、攻坚克难的学习意识 数学态度、探究意识 作业完成完整性、解题规范性、难题探究积极性 4、 作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 填空题（基础） 已知二次函数图象与x轴一个交点，求另一交点坐标 A、B 夯实二次函数与x轴交点和一元二次方程根的对应关系，训练基础代入运算能力 答案：(-1,0)；评价要点：正确代入求参数、规范解方程、准确写出交点坐标 2 填空题（基础） 根据二次函数图象与x轴交点，求解对应一元二次方程的解 A、B 强化数形结合基础认知，明确函数交点横坐标即为方程的根 答案：x₁=-3，x₂=2；评价要点：准确理解图象与方程的关联，答案书写规范 3 填空题（拓展） 根据二次函数图象，判断方程有实数根时参数m的取值范围 A、C 衔接函数最值与方程根的存在性，培养图象分析和逻辑推理能力 答案：m≤9；评价要点：能结合顶点最值分析函数与直线交点情况，推理逻辑清晰 4 填空题（探究） 二次函数与几何动点结合，根据角度条件求动点坐标 B、C 融合函数图象、一次函数、圆的性质、几何角度，提升综合探究和数形结合能力 答案：(3,0)或(7/5,-16/5)；评价要点：完整分析动点两种情况，解题过程严谨，坐标计算准确 5 填空题（探究） 根据抛物线对称轴、交点、取值范围，判断多个结论的正确性 A、C 综合考查二次函数图象性质、参数符号、最值、方程根的判别式，培养多维度推理能力 答案：①③④；评价要点：逐一精准推理每个结论，熟练掌握二次函数综合性质 6 解答题（基础） 根据二次函数与x轴交点情况求参数范围，根据顶点位置求参数值 A、B 巩固根的判别式的应用、二次函数顶点坐标求解，夯实基础运算能力 答案：(1)a＞0；(2)a=3/5；评价要点：判别式计算准确，顶点坐标求解规范，代入运算无误 7 解答题（基础） 利用对称轴和已知交点求抛物线解析式，根据函数取值范围求自变量范围 A、B、C 考查待定系数法求解析式，结合函数增减性分类讨论自变量范围，培养分类思维 答案：(1)y=x²-4x-5；(2)-2≤x≤2-√7或(5+3√5)/2≤x≤6；评价要点：解析式求解准确，分类讨论完整无遗漏 8 解答题（拓展） 新定义“邻交函数”，完成函数判断、参数求解、最值探究 B、C、D 结合新定义考查根系关系、二次函数最值，提升知识迁移和创新解题能力 答案：(1)是邻交函数；(2)a=±3/2；(3)t最大值为9；评价要点：准确理解新定义，熟练运用根系关系和最值公式 9 解答题（探究） 二次函数解析式求解、三角形面积最值、自变量范围、函数平移最值探究 B、C、D 综合考查待定系数法、面积最值、函数增减性、图象平移，全面提升综合解题和探究能力 答案：(1)y=1/2x²-x-4；(2)4；(3)-3≤m≤1；(4)n=√3；评价要点：各小问解题思路清晰，最值、范围、平移推理准确 5、 作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题型全部答对，二次函数与方程核心概念理解精准，无概念性错误 基础题型少量细节计算错误，核心概念理解基本准确，无原则性错误 基础题型错误较多，对函数与方程的关联概念理解模糊，存在概念性错误 20% 能力运用 解题方法选用恰当，步骤完整清晰，方程、函数运算精准，解题规范 解题方法基本正确，步骤略有缺失，少量运算失误，整体完成较好 解题方法选用不当，步骤缺失严重，运算错误较多，无法完成基础解题 30% 思维发展 综合题型、新定义题型思路清晰，论证推理充分，分类讨论完整，有创新解题思路 综合题型解题思路清晰，但深度不足，少量分类情况遗漏，推理基本合理 综合题型思路混乱，无完整推理过程，无法完成探究类题型 30% 情感态度 作业完成完整规范，主动攻克难题，解题书写工整，具备自主反思意识 按时完成全部作业，书写态度端正，能完成大部分难题，学习态度良好 作业完成不完整，书写潦草，被动完成任务，不愿探究难题 20% 6、 试题详情 一．填空题（共5小题） 基础题: 1．已知二次函数y＝x2+bx+2的图象与x轴的一个交点坐标是（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是___________ ． 2．已知二次函数yx2+bx﹣2（b为常数）的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx﹣2＝0的解是 _______________ ． 拓展题: 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 ________ ． 探究题: 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D是二次函数的顶点，连接直线BD，点E是直线BD上一动点，连接AE，CE，当∠AEC＝45°时，点E的坐标为____________________ ． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且：2＜m＜3．有下列结论：①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线．y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为n＜0．其中正确的是________ ．（只用填序号即可） 二．解答题（共4小题） 基础题: 6．已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a． （1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围； （2）若该二次函数的顶点在y＝1﹣x的图象上，求实数a的值． 7．如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围． 拓展题: 8．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的距离相差1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数y＝x2﹣5x+6的与x轴的两个交点分别是（2，0），（3，0），两点的距离为1，则此函数y＝x2﹣5x+6是“邻交函数”． （1）判断二次函数y＝4x2﹣1是不是“邻交函数”． （2）若二次函数y＝x2﹣2ax+2是“邻交函数”，求a的值． （3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）是“邻交函数”，令t＝10a﹣b2，求t的最大值． 探究题: 9．如图，二次函数的图象与x轴分别交于点A（4，0），B（﹣2，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为二次函数的图象第四象限内一点，求△ACD的面积最大值； （3）若在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为，求m的取值范围； （4）若把二次函数的图象沿x轴向左平移n（n＞0）个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣3，直接写出n的值． 7、 答案与解析 一．填空题（共5小题） 1．【解答】解：二次函数y＝x2+bx+2的图象与x轴的一个交点坐标是（﹣2，0），则：把（﹣2，0）代入y＝x2+bx+2， 可得：0＝（﹣2）2+b×（﹣2）+2， 解得：b＝3， 即二次函数解析式为y＝x2+3x+2， 令y＝0，得x2+3x+2＝0， 因式分解得（x+2）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∵已知图象与x轴的一个交点坐标是（﹣2，0）， ∴它与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 2．【解答】解：∵二次函数yx2+bx﹣2（b为常数）的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0）， ∴x＝﹣3或x＝2时，y＝0， ∴关于x的方程x2+bx﹣2＝0的解为x1＝﹣3，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝2． 3．【解答】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为（﹣4，9）， 当x＝﹣4时，函数有最小值为：y＝9， 由题意可得： ∴抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝m有交点， ∴m≤9； 故答案为：m≤9． 4．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， 当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3），A（﹣1，0），B（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点D（1，﹣4）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠ABC＝45°， ∴E，B重合时符合条件，如图， 此时E（3，0）， 如图，作△ABC的外接圆⊙P，连接PA，PB，PC，PE，则xP＝1， ∵∠AEC＝∠ABC＝45°，且两个角在AC的同侧， ∴E在⊙P上， 设P（1，b）， ∵PA＝PC＝PE，A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴（﹣1﹣1）2+（0﹣b）2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣b）2， 解得：b＝﹣1， ∴P（1，﹣1）， ∴PA2＝（﹣1﹣1）2+（0+1）2＝5＝PE2， 设直线BD为y＝mx+n， ∴， 解得：， ∴直线BD为y＝2x﹣6， 设E（e，2e﹣6）， ∴（1﹣e）2+（﹣1﹣2e+6）2＝5， 解得：e＝3或， ∴， 综上：E的坐标为（3，0）或． 故答案为：（3，0）或． 5．【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则1，∴b＝﹣2a＞0， 又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m， ∵2＜m＜3，即c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1， ∴另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误； ∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∴4a﹣2b+c＝0， 又∵b＝﹣2a， ∴4a+4a+c＝0， ∴8a+c＝0即c＝﹣8a， ∵2＜m＜3，即2＜c＜3， ∴2＜﹣8a＜3， ∴23，即， 当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴y最大值＝﹣9a， ∴，故③正确； ∵直线y＝x+2中，当x＝﹣2时，y＝0，当x＝0时，y＝2， ∴直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）交于点（﹣2，0），直线与y轴的交点在C点的下方， ∴直线y＝x+2与抛物线一定有两个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，存在y1＜y3＜y2，且对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下， ∴点B离对称轴最近，点A离对称轴最远， ∴|x2﹣1|＞|x3﹣1|＞|x1﹣1|， ∵n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3， ∴n﹣1＜x1﹣1＜n＜x2﹣1＜n+1＜x3﹣1＜n+2， 当n≥0时，|x3﹣1|＞|x2﹣1|恒成立，故不符合题意，舍去； 当n＜0时，|x1﹣1|＞|x2﹣1|恒成立，故不符合题意，舍去； ∴当y1＜y3＜y2时，没有符合题意的n的取值范围，故⑤不正确； 故答案为：①③④． 二．解答题（共4小题） 6．【解答】解：（1）当﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝0时， Δ＝36a2﹣36（a2﹣2a）＝72a， ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴72a＞0， ∴a＞0； （2）∵y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝﹣9（xa）2+2a， ∴顶点为（a，2a）， ∵顶点在y＝1﹣x的图象上， ∴1a＝2a， 解得a． 7．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线x＝2，且过点A（﹣1，0）点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣4x﹣5； （2）①当m、n在函数对称轴左侧时，m≤n≤2， 由题意得：x＝m时，y＝7，x＝n时，y＝m， 即：m2﹣4m﹣5＝7， 解得m＝﹣2或m＝6（舍）， n2﹣4n﹣5＝m， 解得n＝2或2（舍）， 解得﹣2≤x≤2； ②当m、n在对称轴两侧时， x＝2时，y的最小值为﹣9，不合题意； ③当m、n在对称轴右侧时， 同理可得x≤6； 故x的取值范围是：﹣2≤x或x≤6． 8．【解答】（1）证明：二次函数y＝4x2﹣1是“邻交函数”，理由如下： 令4x2﹣1＝0，解得x＝±， ∵， ∴二次函数y＝4x2﹣1是“邻交函数”； （2）解：设二次函数y＝x2﹣2ax+2与x轴的两个交点的横坐标分别为m、n， 则根据根系关系可得：1， 解得：a； （3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）是“邻交函数”， ∴由根系关系可得1， 整理可得：b2＝a2+4a， 则t＝10a﹣b2＝10a﹣（a2+4a）＝﹣a2+6a＝﹣（a﹣3）2+9， 则t的最大值为9． 9．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数的图象与x轴分别交于点A（4，0），B（﹣2，0）， ∴8+4b+c＝0，且2﹣2b+c＝0． ∴b＝﹣1，c＝﹣4． ∴二次函数的表达式为yx2﹣x﹣4； （2）由题意，结合（1）yx2﹣x﹣4， ∴抛物线与y轴的交点C为（0，﹣4）． 又∵A（4，0）， ∴直线AC为y＝x﹣4，AC4． 当平行于直线AC的直线与抛物线相切于D时，△ACD的面积最大值， ∴可设该直线为y＝x+m． ∴联立方程x2﹣x﹣4＝x+m，即x2﹣4x﹣8﹣2m＝0． ∴Δ＝16﹣4（﹣8﹣2m）＝0． ∴m＝﹣6． ∴平行于直线AC的直线与抛物线相切的直线为y＝x﹣6，则该直线在y＝x﹣4下方2个单位． 又∵直线y＝x﹣6与y轴夹角为45°， ∴直线AC与直线y＝x﹣6的距离为2． ∴△ACD的面积最大值AC•h44； （3）由题意，， ∴二次函数的开口向上，顶点坐标为，当x＝5时，， ∵二次函数的对称轴为直线x＝1， 当x＝5或x＝﹣3时，， 且在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为， ∴﹣3≤m≤1； （4）由（2）可得的对称轴为直线x＝1，且抛物线在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大， ∴抛物线在x＝2时有最小值为﹣4， ∵向左平移n个单位，即当x＝2时，存在与其对应的函数值y的最小值﹣3， ∴， 又∵将x＝2代入得：n2+2n﹣2＝0， ∴或． ∵向左平移， ∴n＞0， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $