精品解析：河北邯郸市汉光中学2026－2027学年上学期初三数学阶段学情检测试卷

初三数学检测 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ，其中 即为二次项系数，整理后即可得到结果 【详解】解：原方程为 移项得 根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为 2. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是解答的关键． 4. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．∵抛物线开口向上，∴，故A正确； B．∵，，∴，故B错误； C．∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴，故C正确； D．∵抛物线与x轴有2个交点，∴，故D正确． 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 6. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且为常数）．掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，且． 【详解】解：由题意，得且， 解得． 故选：D． 7. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，正确理解变化率问题及降低率公式是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得， 故选：C． 8. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为，再判断，在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 【详解】解：函数的对称轴为， 抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， ∵，，在对称轴右侧， ． 故选：B． 9. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 10. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 12. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 14. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 故选：． 15. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，． 16. 为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： 0 0.5 1 1.5 下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②该函数图象关于轴对称； ③该函数图象有两个最低点； ④若该函数图象与直线恰好有两个公共点，则； ⑤当时，则该函数图象上横、纵坐标均为整数的点共有5个． 其中正确的结论是___________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据函数的图象及性质即可求解，能从表格和图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：描点、连线，函数的图象如下， ①当时，， 则该函数图象经过点，故结论①正确； ②观察图象，该函数图象关于轴对称，故结论②正确； ③观察图象，该函数图象有两个最低点，故结论③正确； ④若该函数图象与直线恰好有两个公共点，则或，故结论④错误； ⑤当时，，该函数图象经过点； 当时，，不符合题意； 当时，，该函数图象经过点或； 当时，，该函数图象经过点或； 当时，，不符合题意； ∴当时，则该函数图象上横、纵坐标均为整数的点共有5个，故结论⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 三．解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）；； 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用配方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∴；. 18. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点． （1）二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． （2）求这个二次函数的表达式； （3）请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）（或） （3） 【解析】 【分析】考查了待定系数法确定二次函数的解析式及抛物线与x轴的交点问题． （1）根据对称轴及与x轴的一个交点求得另一个交点坐标； （2）设出二次函数的顶点式，然后代入顶点坐标及经过的一点即可求得解析式； （3）结合图形确定自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：观察图象知：对称轴为，与x轴交于一点， 所以图象与x轴另一交点为； 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为， ∵图象顶点为， ∴， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴解析式为； 【小问3详解】 解：结合图象知：当函数值时，x的取值范围． 19. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】（1）4s； （2）小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【解析】 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． 【小问2详解】 解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 已知方程是关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：中，，，， ， ， ， 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为1，方程的另一个根是 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程： （1）通过计算判别式，从而得到根的判别式为非负数，可判断方程根的情况； （2）将代入方程求出k的值，然后根据解方程的方法得出另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入， 得：， 解得， ，即， ， 或， 解得，， 即k的值为1，方程的另一个根是． 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 22. 如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． （1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】（1）对称轴为直线，的最大值为4， （2）5 【解析】 【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程． 【小问1详解】 ， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4， 把代入中得： ， 解得：或， ∵点在C的对称轴右侧， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为5． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． 23. 项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为21米．菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为1米的小门，方便同学们出入．边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆． 活动任务一 （1）若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； 活动任务二 （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 活动任务三 （3）小辉认为菜地的最大面积可以达到192平方米，他的说法对吗？通过计算说明理由． 【答案】（1），； （2）10米； （3）错误；理由： 设菜地的面积为S，由题意得： ． ，抛物线的对称轴为直线． ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，S取得最大值，最大值为189（平方米）． ， ∴小辉的说法是错误的． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由（1）及题意可列方程，然后进行求解即可； （3）设菜地的面积为S，由（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵墙最大可利用长度为21米， ∴， 解得：； 故答案为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：． ， ． 答：此时的宽为10米． （3）略 24. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3 （2）（﹣1，﹣2） （3）在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3） 【解析】 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）如图1，连接AC交对称轴于P，此时△PBC周长最小； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【小问1详解】 由于抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1）， 将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）＝﹣3， 解得 a＝1， 则y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3， 所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； 【小问2详解】 如图1中，连接AC交对称轴于P， ∵PB＝PA， ∴PB+PC＝PB+PA， ∴此时PB+PC最短，△PBC的周长最短， 设直线AC解析式为y＝kx+b，则． 解得， ∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，y=−2， ∴点P坐标（﹣1，﹣2）． 【小问3详解】 在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形． 理由如下： ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）， ∵A（﹣3，0）， ∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20． 设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论： ①当A为直角顶点时，如图2， 由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2， 解得t＝， 所以点M的坐标为（0，）； ②当D为直角顶点时，如图3， 由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2， 解得t＝﹣， 所以点M的坐标为（0，﹣）； ③当M为直角顶点时，如图4， 由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20， 解得t＝﹣1或﹣3， 所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学检测 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 4. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 7. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 14. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 15. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 16. 为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： 0 0.5 1 1.5 下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②该函数图象关于轴对称； ③该函数图象有两个最低点； ④若该函数图象与直线恰好有两个公共点，则； ⑤当时，则该函数图象上横、纵坐标均为整数的点共有5个． 其中正确的结论是___________（填写序号）． 三．解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点． （1）二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． （2）求这个二次函数的表达式； （3）请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 19. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 20. 已知方程是关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 22. 如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． （1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 23. 项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为21米．菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为1米的小门，方便同学们出入．边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆． 活动任务一 （1）若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； 活动任务二 （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 活动任务三 （3）小辉认为菜地的最大面积可以达到192平方米，他的说法对吗？通过计算说明理由． 24. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $