精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

哈尔滨市第九中学2024级高二上学期12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 2. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 3 已知等比数列中，，则公比（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 数列通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（ ）项 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：） A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. 使n的最大值为25 D. 10. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线C方程为 B. 若，则的面积为24 C. 若点处的切线交轴于，则轴 D. 当n过点时，光由所经过的路程为13 11. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若点在圆外，则实数k的取值范围为___________. 13. 已知数列满足：，，则______． 14. 如图，曲线（）上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，…，，…设正三角形的边长为，（记为），.数列的通项公式______. 四、解答题（本题共有5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足 （），求前项和． 16. 在几何体中，底面为平行四边形，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，且，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． （1）求曲线的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 18. 正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. （1）证明是等差数列，并求出的通项公式； （2）若数列前项和，求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 19. 已知椭圆：（）.定义第（，）次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，，，，求，； （2）若，，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，、是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若，是在第一象限与不重合的一动点，求证：，并用含，的式子表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第九中学2024级高二上学期12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 所以. 故选：C 2. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量得到斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量是，故斜率为， 设直线的倾斜角为，则，故. 故选：A. 3. 已知等比数列中，，则公比（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可求解． 【详解】当时，则， 而，，故舍去； 当时，， ， 可得，. 故选：C. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点，再根据直角三角形中，结合双曲线的定义可得的关系，即可得答案； 【详解】，， ， ， 双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标. 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 6. 数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（ ）项 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：） A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元 【答案】A 【解析】 【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于递推公式为，常常通过构造等比数列的方法求得通项公式. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. 使的n的最大值为25 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用的关系，可求得，进而求得数列的通项公式，进而逐项计算可判断正误. 【详解】当时，， 当时，， 所以，因为数列为等差数列，所以， 所以，解得，故A正确； 所以，适合，故等差数列的通项公式为，故B正确； 由，得，解得， 又，所以时，， 所以使的n的最大值为26，故C错误； 令，则，解得，即数列为递增数列，且， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若，则的面积为24 C. 若点处的切线交轴于，则轴 D. 当n过点时，光由所经过的路程为13 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，又，解出即可判断，对于B，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断，对于C，由平分，由角平分线定理，得，又，解出，即可判断，对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，又，解得，所以C的方程为故A正确； 对于B，由，得， 在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故B错误； 对于C，由题意可知，平分，由角平分线定理，得， 又，解得，，， 即轴，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时， 由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的性质依次分析选项即可． 【详解】由题意知， A：由正项数列，且得，由得， 所以，又，所以，故A错误； B：由，， 即，故B正确； C： ，故C正确； D：因为，所以，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若点在圆外，则实数k的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由点与圆位置关系结合圆的定义即可列不等式组求解. 【详解】因为点在圆（即）外， 所以. 所以实数k的取值范围为. 故答案为： 13. 已知数列满足：，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果. 【详解】由题意得：，，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以. 故答案为：2. 14. 如图，曲线（）上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，…，，…设正三角形的边长为，（记为），.数列的通项公式______. 【答案】## 【解析】 【分析】由是边长为的正三角形，得的坐标，代入中求出的值， 由每一个三角形都为正三角形，从而得，将点的坐标代入中得，再由求出，从而可求得. 【详解】由条件可得为正三角形，且边长为，则， 由在曲线上，代入（）中，得且，则， 根据题意得点，代入（）并整理，得. 当，时，， 即，，则， 当时，，则或（舍）， ∴，故， ∴数列是首项、公差均为的等差数列，则. 故答案为：. 四、解答题（本题共有5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足 （），求前项和． 【答案】（1） （2）2728 【解析】 【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）利用分组求和法求和. 【小问1详解】 因为,① ,② 由①②解得，， 所以. 【小问2详解】 由题知 所以 . 16. 在几何体中，底面为平行四边形，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，且，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得，再由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）构建合适空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，， 所以平面，平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为，结合（1）可知底面为正方形， 以原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，则，令，， 设平面的一个法向量为，则，令，， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． （1）求曲线的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）设直线，，根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【小问1详解】 因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． 所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线， 所以，所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图：     设直线，， 代入抛物线得：，得， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以 设，则，当且仅当时取等号. 则. . 18. 正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. （1）证明是等差数列，并求出通项公式； （2）若数列前项和，求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）最大值为3，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据与关系作差化简得出，再结合等差数列的定义和通项公式可求解； （2）利用计算； （3）利用裂项相消计算，再结合其增减性可得. 【小问1详解】 因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； 【小问3详解】 ， 则 ， 当为奇数时，，为递减数列， 又，则； 当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 19. 已知椭圆：（）.定义第（，）次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，，，，求，； （2）若，，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，、是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若，是在第一象限与不重合的一动点，求证：，并用含，的式子表示. 【答案】（1），； （2），，； （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用点斜式求出直线的方程，直线的方程代入代入椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，解出的值，将的值代入直线的方程，求出的坐标，由与关于轴对称，得到的坐标，即可得到，. （2）由题中条件可得的值，利用是等腰三角形.按照和这两种情况讨论求解. （3）设斜率，利用点斜式求出过点的直线的方程即；直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，设，利用韦达定理求出，解出，代入直线的方程，得到，从而得到点的坐标，继而得到点的坐标，根据与的坐标关系，由坐标得到的坐标，利用两点间的距离公式得到，由点斜式得到直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，求出，将点在椭圆，解出，将其代入得解. 【小问1详解】 当，时，椭圆：， 因为，，所以直线为， 即，代入椭圆方程：， 得，即，或； 当时，，所以， 因为与关于轴对称，所以，所以，. 【小问2详解】 若，，则椭圆：， 焦点为，， 则，因为是等腰三角形. 当时，点在椭圆的上顶点，故； 当时， 设，，则 ①， 因为在椭圆上，所以 ②， 由①、②得到，解得，（舍去）， 所以.所以； 当时，根据椭圆的对称性得到； 综上得，点的坐标为，，. 【小问3详解】 证明：设斜率， 过点的直线的方程为， 即；联立方程 得到 设，由韦达定理， 所以，代入，得到， 所以，所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到 ，所以； 由两点间的距离公式得到 所以由点斜式得到直线的方程为：， 即，点到直线的距离为， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，将其代入得到. 所以的面积为定值.所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $