精品解析：安庆市石化第一中学2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段性练习数学试题

石化一中2026—2027学年九年级阶段性练习 数学试题 一．单选题（每题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【详解】解： . ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 3. 下列抛物线的顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 5. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点A，B，C代入抛物线解析式，求出，，，即可比较． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴，，， ∴． 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置确定、的符号，再结合一次函数图象的斜率和截距进行判断． 【详解】A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、三、四象限可知，， ∴． ∴b矛盾． 故A错误． B．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得； 由直线过一、二、四象限可知，， ∴． 故B正确． C．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过二、三、四象限可知，， ∴． 故C正确． D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、二、三象限可知， ， ∴． 故D正确． 7. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、特殊点的函数值）判断系数及代数式的符号，逐一分析结论． 【详解】解：判断结论①： 观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误； 判断结论②： 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误； 判断结论③： 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确； 判断结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确； 判断结论⑤： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误； 判断结论⑥： 若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误． 综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意． 9. 已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出顶点坐标，代入一次函数得到，再根据，可得，设，最后根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在的图象上， ∴将代入得，整理得， ∵当时，都有，即， 将代入上式，化简得， 设， ∵该二次函数的二次项系数为，抛物线开口向上， ∴要使时恒成立，只需区间端点处的函数值， 当时，，整理得，解得， 当时，，整理得，解得， 取两个解集的交集，得． 10. 如图，P是正方形的对角线上一动点（不与点A，C重合），过点P且垂直于的直线交正方形的边于M，N两点，，设，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出函数解析式，然后进行判断即可． 【详解】解：∵正方形中， ∴，，， 当在左侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向上，顶点在原点的抛物线的一部分； 当在右侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向下，顶点在的抛物线的一部分； 综上，y关于x的函数图象大致是选项C中的函数图象． 二．填空题（每题5分，满分20分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 【详解】解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 12. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 13. 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】二次函数开口方向不确定，分和两种情况讨论，根据对称轴位置确定区间内最小值的位置，列方程求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，且在区间内， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， ∵最小值为， ∴将，代入函数得，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴顶点处取得最大值，最小值出现在区间端点，需计算两个端点的函数值， 当时，，当时，， ∵， ∴，即最小值为， 由题意得， 解得； 综上，的值为或． 14. 已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 三．解答题（满分90，其中15～18每题8分，19，20每题10分，21，22每题12分，23题14分） 15. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】（1），直线 （2）所画函数图象如图所示 （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． 【小问3详解】 解：当时，由图象可得：． 16. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当时，抛物线的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． 17. 如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标；令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标； （2）根据（1）中所求点的坐标得到的长度，进而求得的面积． 【小问1详解】 解：令，则， ， 或， 点在点的左侧， ． 令，则， ． 【小问2详解】 解： ， ， 到轴的距离为，即 ． 18. 已知二次函数的图像经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当为何值时，？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由于二次函数经过点，所以可以设出二次函数的交点式，代入点，即可用待定系数法求出其解析式． （2）结合二次函数的图像进行分析，得到时的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点， 设二次函数的交点式为， 将点代入解析式得：， 解得， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：二次函数的图像经过点和，且二次项系数， 可知抛物线开口向上， 要使，即抛物线在轴的上方，对应的取值范围是或． 19. 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． （1）建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； （2）若水面上涨，此时水面宽是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出此时的水面的宽度． 【小问1详解】 解：以水面中点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∴抛物线过，顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：水面上涨，令，得 ， 此时水面宽是． 20. 如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． （1）求关于的函数表达式． （2）矩形场地的总面积为，求出的值． （3）当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）的值为12 （3）当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 【解析】 【分析】（1）先表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式化简即可； （2）把代入表达式，得到一元二次方程，解方程，注意舍去不合题意的解； （3）把表达式先配方，写成顶点式，根据二次函数的性质，解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：； 【小问2详解】 当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12； 【小问3详解】 由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64． 21. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． （1）求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价 元时最大利润 元 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意得： ∴， ∴每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据（1）得： ∴此抛物线开口向下，对称轴为，有最大值， ∵在范围， ∴当时，， ∴当每件售价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求点N的纵坐标； （2）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）点N的纵坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与图形运动综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合矩形的性质以及旋转的性质，得出，得出，故点N的纵坐标为； （2）与（1）同理得，点N的纵坐标为，得出，则四边形面积，代入数值计算，得出四边形面积，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：过点N作于T，如图所示： ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点N的纵坐标为； 【小问2详解】 解：设点，其中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 与（1）同理得，点N的纵坐标为； ∴，， ∴， 四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，且为． 23. 如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M的坐标是或 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【小问1详解】 解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． 【小问3详解】 解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石化一中2026—2027学年九年级阶段性练习 数学试题 一．单选题（每题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 下列抛物线的顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，P是正方形的对角线上一动点（不与点A，C重合），过点P且垂直于的直线交正方形的边于M，N两点，，设，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题5分，满分20分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 12. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 13. 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 14. 已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 三．解答题（满分90，其中15～18每题8分，19，20每题10分，21，22每题12分，23题14分） 15. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 16. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 17. 如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 18. 已知二次函数的图像经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当为何值时，？ 19. 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． （1）建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； （2）若水面上涨，此时水面宽是多少？ 20. 如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． （1）求关于的函数表达式． （2）矩形场地的总面积为，求出的值． （3）当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 21. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． （1）求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求点N的纵坐标； （2）求四边形面积的最大值． 23. 如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $