精品解析：吉林省白山市抚松县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次大练习数学试题

高一年级（数学）学科第一次大练习 答题试间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 三国时期的蜀汉丞相诸葛亮是杰出的政治家、军事家、战略家、发明家和文学家，他在《诫子书》中写道：“非学无以广才，非志无以成学．”据此推断，“立志”是“广才”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. ，，，则，，，由大到小的顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 由1，2，3组成的集合可表示为或 B. 空集是集合的子集 C. 代数式的值组成的集合是 D. 集合与集合是同一个集合 7. 若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 二次函数的部分图象如图所示，为实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，多选错选均不得分） 9. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 若，则的最小值为 C. 若，，则 D. 已知正数，满足，则的最小值为2 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值是2 B. 若，则的最大值为 C. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 D. 若一元二次不等式的解集为，且，则的最小值为8 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 13. ，使得成立，则实数的取值范围为_______． 14. 设为实数，若，则的最大值是________ 四、解答题（请将答案写到答题卡上） 15. 对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义 （1）结合Venn图，请用集合的描述法表示； （2）若，，求； （3）若，，且，求实数的取值集合． 16. 已知集合． （1）若，求及； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 18. （1）若的解集为，求的值； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 19. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级（数学）学科第一次大练习 答题试间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 三国时期的蜀汉丞相诸葛亮是杰出的政治家、军事家、战略家、发明家和文学家，他在《诫子书》中写道：“非学无以广才，非志无以成学．”据此推断，“立志”是“广才”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为“不立志”，所以“不成学”，因为“不成学”，所以“不广才”， 所以设命题：若“不立志”，则“不广才”， 则命题的逆否命题为：若“广才”，则“立志”，即“立志”是“广才”的必要条件， 而题中并未提到若“立志”，则“广才”，所以“立志”不是“广才”的充分条件， 即“立志”是“广才”的必要不充分条件． 3. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得且，即可将不等式等价转化为，求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 4. ，，，则，，，由大到小的顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用作差法比较判断即可. 【详解】由，得，. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. 综上，即. 5. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 由1，2，3组成的集合可表示为或 B. 空集是集合的子集 C. 代数式的值组成的集合是 D. 集合与集合是同一个集合 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D. 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 7. 若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 8. 二次函数的部分图象如图所示，为实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象及二次函数的性质可以得到的范围及之间的关系，再结合取特值的思想和不等式的性质逐一判断即可. 【详解】由题图可知，二次函数的图象开口向上，与轴的一个交点为，对称轴是直线，与轴的交点在原点下方，所以，，，即，，，则，项错误； 因为二次函数的图象与轴的一个交点为，且， 所以当时，，项错误； 当时，取得最小值，所以， 所以，项正确； 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以时的函数值大于时的函数值， 即，即， 即，又，所以，项错误. 二、多选题（每题6分，共18分，多选错选均不得分） 9. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，逐项进行判断即可. 【详解】因为是任意集合的子集，故A正确； 因为是集合里面的第2个元素，所以，故B正确； 因为是集合里面的第一个元素，所以，故C错误； 因为集合中的两个元素和都在集合中，所以是集合的子集，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 若，则的最小值为 C. 若，，则 D. 已知正数，满足，则的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】解分式不等式判断A，利用基本不等式判断B、D，利用不等式的性质判断C. 【详解】对于A：不等式，即，解得， 即不等式的解集是，故A错误； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故B正确； 对于C：令， 所以，解得， 所以，因为，， 所以，， 所以，即，故C错误； 对于D：因为正数，满足， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2，故D正确. 故选：BD 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值是2 B. 若，则的最大值为 C. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 D. 若一元二次不等式的解集为，且，则的最小值为8 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式进行求解，但等号成立的条件不满足，A错误；B选项，变形后由基本不等式得到的最大值为；C选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围是；D选项，由题意得且，故，变形换元化简得到，,由基本不等式进行求解. 【详解】A选项，， 当且仅当，时，等号成立，但无解， 故的最小值不为2，A错误； B选项，若，则，， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为，B正确； C选项，当时，，满足要求； 当时，恒成立，需满足， 解得， 综上，的取值范围是，C错误； D选项，由题意得且，故， 则， 分子分母同除以得， 因为，所以，令， 则，令，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：BD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【解析】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 13. ，使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形分离参数，构造函数并分析其单调性，求出函数在区间上的最小值，根据存在性条件确定的取值范围. 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 14. 设为实数，若，则的最大值是________ 【答案】 【解析】 【分析】 将变形为，利用基本不等式得，构造不等式，通过一元二次不等式的解法求解. 【详解】将变形为， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 设，则，即， 即， 所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题（请将答案写到答题卡上） 15. 对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义 （1）结合Venn图，请用集合的描述法表示； （2）若，，求； （3）若，，且，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【小问1详解】 由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. 【小问3详解】 因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 16. 已知集合． （1）若，求及； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用交集运算和补集运算求解即可； （2）利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； （3）把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， ， 所以. 或； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又， 则， 或 解得：或 综上：， 故实数的取值范围是. 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得解. （2）分，两类讨论，当时，利用二次不等式恒成立列出不等式组求解. （3）根据一元二次方程的根的分布列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，原不等式为，即， 可得，解得， 即x的取值范围为. 【小问2详解】 当时，解得或， 若，则的解为，不符合题意， 若时，原不等式为，解为，符合题意. 当时，不等式的解集为，则需满足， 化简可得，解得或. 综上，实数k的取值范围. 【小问3详解】 依题意，关于的方程有一个正根和一个负根， 设， 则，即， 解得，所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 二次不等式的因式分解：利用因式分解的方法，结合符号讨论来求解不等式. 根的分布与参数讨论：通过二次方程的根的正负性，结合函数符号来确定参数范围. 18. （1）若的解集为，求的值； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1），； （2）； （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先化简不等式为，然后根据的范围和二次函数的性质求出的范围. （3）分两种情况进行讨论，求出一元二次不等式的解集. 【详解】解：（1）若的解集为， 则是方程的唯一根， 所以，解得， 所以. （2）由，得， 因为，则， 所以. 因为，要使得不等式恒成立，所以，即的取值范围为. （3），即． ①当时，即，解得，不等式的解集为. ②当时，令，解得. 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为或； 若，则不等式的解集为或； 若，则不等式的解集为或． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 19. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过 ，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，长方形（）的周长为，， 所以 ， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. 【小问2详解】 （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以， ， ，所以 ， 所以， 所以的周长为 ； （ⅱ）设，则 ， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知， ， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $