精品解析：辽宁大连市第三十四中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试题

九年级数学 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 3+2y﹣1＝0 B. 5x2﹣6y﹣3＝0 C. ﹣x+2＝0 D. x2﹣1＝0 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，则 3+2y﹣1＝0，5x2﹣6y﹣3＝0，﹣x+2＝0，都不是一元二次方程； x2﹣1＝0是一元二次方程； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键． 3. 用配方法解方程，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程配方的步骤进行计算即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即：． 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意在配方的过程中首先要把二次项的系数化为1，配方时配的是一次项系数一半的平方． 4. 如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，熟练平行线分线段成比例列方程是解题的关键．由直线，可得，再代入数据解方程即可． 【详解】解： 直线， ， ，，， 故选：A． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 6. 如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　) A. 6cm B. 12cm C. 18cm D. 24cm 【答案】C 【解析】 【详解】设屏幕上图形的高度xcm，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得 ，解得x=18cm，即屏幕上图形的高度18cm，故选C. 7. 某工厂2021年数字化改造总投入万元，2023年总投入预计达到万元，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据“2021年数字化改造总投入100万元，2023年总投入预计达到180万元”即可得出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，则2022的数字化改造总投入为：100（1+x）万元，2023的数字化改造总投入为：100（1+x）2万元，那么可得方程：100（1+x）2=180． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率某工厂对数字化改造总投入相等的方程． 8. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：A． 9. 已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵，，， ∴，，， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解当二次函数的开口向上时，距离对称轴越远的点的函数值越大是解本题的关键． 10. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为正数的个数有（ ） ①a；②c；③b；④；⑤；⑥． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可． 【详解】解：判断a：抛物线开口向下，因此，为负数． 判断c：抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即时，为正数． 判断b：抛物线对称轴在y轴右侧，可知，即，为正数． 判断：抛物线与x轴有2个不同交点，说明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式，为正数． 判断：该式是时的函数值，由图可知在左侧交点的左边，此时抛物线图象在x轴下方，函数值小于0，即，为负数． 判断：由函数图象可知对称轴在直线左侧，即，结合，两边乘（负数，不等号变向）得，整理得，为负数．． 综上，值为正数的是②③④，共3个． 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 13. 若关于的一元二次方程两个根分别为，，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：对于方程 则． 14. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性．掌握二次函数的图像关于对称轴对称是解题的关键． 根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案． 【详解】解：由表中数据知，二次函数上的点和对称， 对称轴为， ∴点的对称点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H．若H恰好为的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，连接，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示∶ 由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题，其中16、17、18、19、20题各8分21题10分，22题12分，23题13分共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边可以利用平方差公式分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解． （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）∵（x-3）2-4=0， ∴（x-3-2）（x-3+2）=0， ∴x-3-2=0，x-3+2=0， ∴； （2）∵， ∴=1，=-4，=-8， ∴Δ===48， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 18. 如图，已知，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据“两边及夹角法”证得结论即可． 【详解】略 19. 第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． （1）在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 【答案】（1） （2）能射入球门 【解析】 【分析】（1）设抛物线对应的函数表达式为，再将点代入得出答案； （2）将代入关系式求出，再根据判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线过点，顶点． 设抛物线对应的函数表达式为， 将代入得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：能射入球门． 在中，令，则． ∵， ∴此次射门足球能直接飞入球门． 20. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 【答案】（1）； （2）的面积最大值为，． 【解析】 【分析】先求出，，再利用待定系数法即可求解； 先求出直线解析式为，过作轴，交于点，设，则，则，所以的面积为，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由直线得，当时，；当时，； ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴，交于点， 设，则， ∴， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大，为， 此时的纵坐标为， ∴． 21. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1）； （2）销售单价定为28元或40元； （3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 【解析】 【分析】（1）根据每月的利润，再把代入即可求出与之间的函数关系式． （2）把代入，解这个方程即可． （3）根据厂商每月的制造成本不超过540万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润． 【小问1详解】 解：， 故与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由，得，解这个方程得， 所以，销售单价定为28元或40元； 【小问3详解】 解：厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元， 每月的生产量为：小于等于30万件， ， 解得：， 又由限价40元，得， ， 图象开口向下，对称轴右侧随的增大而减小， 时，最大为：510万元． 当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 22. 如图，中，，，点在上，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 如图，过点作平分，交于点， 中，，， 中，，， ∴，， ∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴（ASA） ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，并熟练运用以上性质定理． （1）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂直的性质即可求得结果； （2）构造角平分线，利用平行四边形的性质和平行线的性质得出相关线段和角相等，证出，，进而可求得相等线段； （3）构造辅助线，根据题目条件、平行四边形和等腰直角三角形的性质得出，设，表示出相关的线段长，利用勾股定理表示出和求出比值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图，过点作于点， 由（2）知，中，，， ∴，， 中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 中，， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2） 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 3+2y﹣1＝0 B. 5x2﹣6y﹣3＝0 C. ﹣x+2＝0 D. x2﹣1＝0 2. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 用配方法解方程，可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　) A. 6cm B. 12cm C. 18cm D. 24cm 7. 某工厂2021年数字化改造总投入万元，2023年总投入预计达到万元，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A. B. C. D. 10. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为正数的个数有（ ） ①a；②c；③b；④；⑤；⑥． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是__________． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13. 若关于的一元二次方程两个根分别为，，则的值是_________． 14. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是________． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H．若H恰好为的中点，则的长为______． 三、解答题（本题共4小题，其中16、17、18、19、20题各8分21题10分，22题12分，23题13分共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 18. 如图，已知，且，求证：． 19. 第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． （1）在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 20. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 21. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，（单件利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 22. 如图，中，，，点在上，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $