江西九江市永修县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知全集U=R,集合A={xx<-1或x>4),B=(x-2≤x≤3)，那么阴影部分表示的集合为 () A.x-1≤x≤3) B.(xx≤3或x24) C.(x|-2sxs-1) D.(x-2sx<4) 2.设a,beR,则下列命题正确的是() A.若x>y,a>b,则a-x>b-y B.若a>6,则日 C.若x>y,a>b则r>y D.若abl,则a2>6 3.下列命题为真命题的是() Aa>b>0,当m>0时，8+阳>号 B.集合A={xy=x2+}与集合B={y川y=x2+}是相同的集合 C.若6<a<0m<0,则骨8 D.所有的素数都是奇数 4.已知-1<a<5,-3<b<1,则以下错误的是() A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 5.命题p:3x,∈(0，+∞)使得-1x,+1<0成立，若p是假命题，则实数元的取值范围是() A.（-00,2] B.[2,+∞) C.【-22] D.（-0,-2U[2,+o) 6.设正数a6满足2a+b=l,则2.26+产6的最小值为（) A.2N2-2 B.号a C.22+2 D.6 7.记不等式x2+x-2>0,x2-+1≤0(a>0)解集分别为A、B,A∩B中有且只有两个正整数 解，则a的取值范围为() A(侣别 .) c.) n.[别 8.设集合A是关于x的不等式r+d+2x-s2x+的解集，且{x≤xs2}sA,则实数a的取值 范围是() A.[-2,0] B.[-3,0] C.【-2,可 D.【-3,] 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知U=R,集合A={x|x2-x-2=0),B={xmr+1=0),B∩(Cy)=⑦，则m的值可以是（) A分 B月 C.0 D.1 10.已知关于x的不等式a≤2x2-3x+4≤b,下列结论正确的是() 4 A.当a<b<1时，不等式a≤2x2-3x+4sb的解集为② B.当a=1,b=4时，不等式as3x2-3x+4≤b的解集为{x0≤x≤4 C.当a=2时，不等式a≤3x2-3x+4sb的解集可以为{xc5x≤d的形式 4 D.不等式as3x2-3x+4≤b的解集恰好为x0≤x≤b1,那么b=4 3 11.已知正数a,b满足a+2b=1,则下列结论正确的有（) A.ab的最小值为 B.√a+√2b的最大值为2 C.42+b2的最小值为写 D. a2+2b的最小值为6 ab 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设a,beR,集合L,a+叫{0， ,则a+b 13.不等式x>1的解集为 2-x 14.记max{a,b}为a,b两数的最大值，当正数x,yx>)变化时，【=max,2一 y(x-y) 的最小值 为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15,已知全集0=R,集合4告<，B=pm1k<m+. (1)若AnB=B,求实数m的取值范围：(2)若(CRA)UB=R,求实数m的取值范围 16.设集合A={-3≤x≤4}，B={-m≤x≤3m-2}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围： (2)若命题“3xeA,x∈B”为真命题，求实数m的取值范围， 17,数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的 融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、 区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联 网、元宇宙、无人驾驶等现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本：（单位： 万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元：②材料成本： 万元，x为每月生产 人形机器人的个数 (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为23+写)万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出。 则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价×销量 一成本 18.已知函数y=2+2am-(a+2),x∈R】 (1)若不等式y<0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围， (2)设a≤0，解关于x的不等式a2+2a-(a+2)>x-a. 19.已知集合A={1,2,3,…,2n(neN),对于A的一个子集s,若存在不大于n的正整数m, 使得对s中的任意一对元素5，S2,都有-S2≠m,则称S具有性质P. (1)当n=10时，试判断集合B={xeAx>9}和C={x∈Ax=3k-l,k∈N是否具有性质 P?并说明理由： (2)当时n=1000,若集合S具有性质P, ①判断集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由； ②求集合中$元素个数的最大值.永修一中2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.【答案】A 【详解】由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素构成， 所以集合表示为B∩CA={x|-2≤x≤3}∩{x|-1≤x≤4={x|-1≤x≤3}， 故选：A 2.【答案】D 【详解】当x=a=1,y=b=0时，a-x>b-y不成立，故A错误； 当a=b=-时，。6不成立，故B错误： 当x=2,y=-l,a=0,b=-2时，ax>by不成立，故C错误； ab0,由不等式性质知a2>b=b2,故D正确 故选：D 3.【答案】C 【详钉对于A,当a=36-2m=时，公0-站子号故A错误 对于B,A=R,B={y川y≥，所以A≠B,故B错误： 对于C,若b<a<m<0,则片分<分故C正确： 对于D,2是素数，但2是偶数，故D错误： 故选：C 4.【答案】D 【详解】因为-1<a<5,-3<b<1,所以-1<-b<3, 对于A, -1<a<5 「-1<a<5 -3<b<0 →-15<ab<3, 1b=0 →ab=0.1<a<5 0<b<11 -1<ab<5, 综上可得-15<ab<5,故A正确： 对于B,-3-1=4<a+b<1+5=6,故B正确： 对于C,-1-1=-2<a-b<3+5=8,故C正确： 对于D,当a=4b=时，名-8，故D错误： 故选：D 5.【答案】A 【详解】命题p:x。∈(0，+o),使得x-x。+1<0成立，若p是假命题， 则命题P的否定为：x∈(0，+∞)，x2-x+1≥0成立，为真命题. 所以2≤x+1在x>0上恒成立， 由x+≥22，当且仅当x=1时取得等号， 所以1≤2 故选：A 6.【答案】B 【详解】.正数a,b满足2a+b=1, 6=1-2a>0,且a-12>0,则0<a<30<h<1, 2 设2-2a=m,2-b=n,则a=2，b=2-n,m+n=3,m>0,n>0, 2-m ∴.a 4b=2+2-n-1+2_3- ,12、3 =-(m+n)(一+-) 2-2a 2-b m n m n 2 3 m +0-只西2兴. 当且仅当”-2m,即m=3N2-3,n=6-32时，等号成立， m n 则22。”6的最小值为-5+29 2 3 故选：B. 7.【答案】B 【详解】由x2+x-2>0可得：x>1或x<-2,所以A={x|x<-2或x>1, 因为A∩B中有且只有两个正整数解，所以A∩B≠☑， 对于方程x2-+1=0(a>0),判别式△=a2-4, 所以方程的两根分别为：4=4--4,5-a+层-4， 2 2 所以8=2-4s+国 2 若A∩B中有且只有两个正整数解， a-nd-4≤1 a≥2 a-2≤V2-4 则 2 即 3sa+va-4 6-a≤Va2-4<8-a 可得a≥10 <4 2 17 4 17 4’ 当5=0-=-4>1时，解得0<a<2,此时A=d-4<0,B=0不符合题意， 2 综上所述：a的取值范围为 1017 34 故选：B 8.【答案】B 【分析】由题意可得，当1≤x≤2时，关于x的不等式x+a+2x-1≤2x+1恒成立，即 x+d+2x-1≤2x+1恒成立，即-x-2≤a≤-x+2恒成立，由此可得实数a的取值范围. 【详解】由集合A是关于x的不等式x+a+2x-1≤2x+1的解集，且{xl≤x≤2}sA, 则当1≤x≤2时，不等式x+d+2x-1≤2x+1恒成立， 即x+d+2x-12x+1在1≤x≤2上恒成立， x+d+2x-1≤2x+l,即x+d≤2，.-2≤x+a≤2， .-x-2≤a≤-x+2在1≤x≤2上恒成立， ∴(-x-2）)nm≤a≤(-x+2)mm，∴.-3≤a≤0， 所以实数a的取值范围是[-3,0]， 故选：B 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.【答案】BCD 【详解】因为A={x|x2-x-2=（x-2)(x+1)=0}={-1,2,B={x|mx+1=0}, 又B∩G,A)=O,所以B∈A, .当m-0时，B=②，成立； 当m40时，B(-, :84,-1或2.解得m1或m= m m 综上，实数m的取值集合为1,0) 故选：BCD 10.【答案】AB 【详解】由子2-3x+4sb得3x2-12x+16-40,又b<1,所以a=480-1)<0.所以不 3 等式a≤x2-3x+4sb的解集为0，故A正确： 当a=1时，不等式ax2-3x+4为x2-软+40，解集为R,当b=4时，不等式2-3x 3 +4≤b为x2一4x≤0，解集为{x0sx≤4)，故B正确： 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-3x+4=x-22+1的图象及直线y=a和y=b, 如图所示 y=b A B y=a x2-3x+4 2 由图知，当a=2时，不等式ax2-3x+4b的解集为xA≤C)UD≤xB)的形式， 故C错误； 由c2-3x十4b的解集为xcxb),知aymin,.即ac1,因此当x=a,X=b时函数值都 是b.由当x=b时函数值是b,得b2-3b+4=b,解得b=号或b=4.当b号时，由子2 3 -3a+4=b= 解得a=或A=；不满足1，不符合题意，故D错误 4 3 故选：AB 11.【答案】CD a=1-2b>0 【详解】A:由 b>0 办0，可得0<6分则的=1-20=-20-+日安 当且仅当a= 56时取等号，故ab的最大值为发，错 4 B:由a+2b=1≥a+2Y,则、a+255V2, 2 当且仪当a=2,即a弓6=时取等号，故a+25的最大值为2，错， 4 e由A东d+0-2+=纺-4的+1=63+分且0<h分》 当且仅当a,b=2时取等号，故d+b的最小值为，砂 5 D:由4+2b-9+2-9+2a+20-2+4b+2≥2g.6 b a +2=6, ab b a b a b a a4b 当且仅当ba,即a= 号时取等台，敢“2必的限小值为6，对 a+2b=1 4 ab 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.【答案】0 【详解】由2可知a≠0， a 又a+d归o 故a+b=0. 故答案为：0 13.【答案】 x<2 【分析】通过移项通分，将不等式转换成(4x-3)(x-2)<0,即可求解 【详解】 3x-1,1, 2-x 可得： 3x-1-1>0,即3x-1-2+>0, 2-x 2-x 即4-3<0台(4x-3)x-2)<0,解得： x-2 2<x<2 所以解集为： 故答案为： l4.记max{a,b}为a,b两数的最大值，当正数x,yx>y)变化时，t=max: 的最小 值为 【答案】2√2 >8 【分析】利用基本不等式求得x可产产，根据1=ma 可得t≥x2, 2 t之 y(x-) ，出此可求得2+22=45，即得解t的范国 【详解】x,y为正数，且x>y, 2 (x-y) 当且仅当y=x-y,即x=2y时取等号， 2 t之 ∴1≥x2, y(x-y) y+x-y)2 x2 2 21≥r+822,2.8 .8 3=4V2, 当且仅当丈8，即：=8时取等号， .t≥2√2. 故答案为：22， 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.【答案】(1)[4+∞)(2)-2≤m≤-1 【详解】1由2，符<0,5<x<1,故4=3. x-1 因为AnB=B,所以BSA, ①当B=0时，2m-1≥m+3,解得m≥4： m<4 m<4 ②当B≠☑时， 有 m+3≤1→{m≤-2，无解； 2m-1≥-3 m≥2-1 所以实数m的取值范围为[4，+∞) (2)由题意，R4=(o,-3U儿，+o), m+3≥1m≥-2 若(GAUB=R,则 2m-1s-39m5-9-2≤m≤-1， 所以实数m的取值范围为-2≤m≤-1： 16.【答案】()m≤2：(2)m≥ 【详解】(1)因为“x∈A是“x∈B的必要不充分条件，所以BA, 当B=⑦时，则3m-2<1-m,解得m< 3 3m-2≥1-m [3m-2≥1-m 当B≠⑦时，则1-m≥-3或1-m>-3 ，解得sm≤2， 4 3m-2<4 3m-2≤4 综上所述，实数m的取值范围为m≤2 （2)因为命题“3x∈A,x∈B”为真命题，所以A∩B≠， 3m-2≥1-m 所以1-m≤4，解得m≥3 3m-2≥-3 所以实数m的取值范围为m≥ 4 17.【答案】(1)100个，30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为y万元， x2 根据题意有. 1000+10x+ V= +10_1000++102≥2,100.+10=30 x10 V x 10 当且仅当1000、x x=10'即x=100时取等号 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为W万元， 则有w-3+}10w-10cr6若+1-10m. 由题知云+13r-1000≥400，整理得x2+130x-14000≥0，解得x≥70 10 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18.【答案】(1)(-1,0] (2)当a=0时，不等式的解集为{x|x<-2}: 当a=时，不等式无解： 当-方a<0时，不等式的解失为日<-斗： 当a<时不式的解为2局 【详解】(1)y<0对于一切实数x恒成立等价于ar2+2a-(a+2)<0对于一切实数x恒成立. ①当a=0时，不等式可化为-2<0，符合题意： ②当a≠0时，则a<0, a<0 l4<0'即 整理得 a<0 4d+4a(a+2)<0' 8a2+8a<0 解得-1<a<0,综上可得-1<a≤0， 故y<0对一切实数x恒成立时，实数a的取值范围是(-1,0]： （2)不等式ar2+2ar-(a+2)>x-a,等价于不等式ar2+(2a-l)x-2>0, 当a=0时，不等式可化为-x-2>0,解得x<-2; 当a<0时，不等式可化为(a-1)(x+2)>0, 即(r-ax+2k0 ①当a=时，日-2，不等式日(c+2)<0可化为x+2<0,无解： ②当a0时.2，不等式的翻矣为日×x 当a<号时2，不等式的解为2<： a 综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x<-2; 当a=时，不等式无解： 当a<0时，不等式的解集为日<x<-2: 当a<时，不等式的解矣为2 19.【答案】（1)B不具有性质P,C具有性质P:(2)①T具有性质P:②1333. 【小问1详解】 (1)B不具有性质P,C具有性质P,理由为： 当n=10时，集合A={1,2,3,…,19,20}, B={x∈Ax>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P, 因为对任意不大于10的正整数m,都可以找到该集合中的两个元素b=10与b,=10+m,使得 b-b,=m成立， 集合C={x∈Ax=3k-L,k∈N}具有性质P, 因为可取m=1<10,对于该集合中任一元素G=3k-1,c2=3k2-1(k,k2∈N*), 都有G-c2=3k-k2≠1； 【小问2详解】 ①T具有性质P,理由为： 当n=1000时，则A={1,2,3,…,1999,2000}, ①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-xx∈S}一定具有性质P, 首先因为T={2001-x|x∈S,任取t=2001-x,∈T,其中。∈S, 因为SA,所以x。∈{1,2,3，…，2000}， 从而1≤2001-x,≤2000，即t∈A,所以T∈A, 由S具有性质P,可得存在不大于1000的正整数m, 使得对S中任意一对元素S1,S2,都有S,-S2≠m, 对于上述正整数m,从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素4=2001-x,42=2001-x2,其 中x,x2∈S,则有4-2=s-2≠m, 所以集合T={2001-x|x∈S具有性质P: ②设集合S有个9元素，由①得，若S集合具有性质P,那么集合T={2021-x|x∈S}一定具 有性质P, 任取一个元素x∈S,1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000， 所以集合S与集合T中必有一个至少存在一半元素不超过1000， 不妨设s中有号reN个元素不超过100，分别记为么6， 由集合S具有性质P,得存在正整数m≤1000，使得对S中任意两个元素 ,2,都有S,-S2≠m,所以b+m,b2+m,,b+m都不是S中的元素， 又b,+m≤1000+1000=2000，故b+m,b2+m,,b,+m都是A中的元素， 即集合A中至少有r个元素不在子集S中， 因此9+号s9+r≤200，所以g+号≤200，解得9≤133， 当S={1,2,…,665,666,1334,…,1999,2000}时，取m=667, 易得集合S中的任意两个元素S,S2,都有S-S2≠667， 即集合S具有性质P,此时集合S中有1333个元素， 因此集合S中元素个数的最大值为1333.