精品解析：江西南昌市外国语学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

南昌市外国语学校2026-2027学年上学期 高一数学10月月考试卷 命题人、审题人：高一数学组 一、单选题（每题5分） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 8. 已知，若，则的最大值为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题（每题6分） 9. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10. 数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（ ） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 11. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合T，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. T中元素之和为0 三、填空题（每题5分） 12. 满足 条件的集合A的个数为______． 13. 已知，且，则的最大值为________． 14. 已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 16. 已知集合，集合. （1）若集合B为单元素集合，求实数a的值； （2）若AB=A，求实数a的取值范围. 17. 已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 18. 如图，长方形的周长为10． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； （2）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2026-2027学年上学期 高一数学10月月考试卷 命题人、审题人：高一数学组 一、单选题（每题5分） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断求解. 【详解】因为命题，则. 故选:A. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对选项A，集合的元素仅为0，是集合，不是的元素，因为是任意集合的子集，所以，故选项A错误； 对选项B，0是集合的元素，故，所以选项B正确； 对选项C，集合的元素为有序数对，故(1,2)∈{(1,2)} ，所以选项C正确； 对选项D，由空集的性质，空集是任意集合的子集，故，所以选项D正确. 3. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的性质，及二次函数的性质求解即可． 【详解】由是开口向上的二次函数，且对称轴为， 又， 若，且，即， 又二次函数不存在三个不同自变量对应相同的函数值，故该情况不符合条件； 若，且， 所以对称轴为，解得． 综上，． 4. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 5. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 6. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将目标代数式表示为已知两个不等式中式子的幂次乘积形式，利用正数不等式的同向可乘性求解取值范围. 【详解】设，，由题意得，，设， ， 则可得方程组，解得， 即，由得，由得， 则两式相乘可得. 7. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 8. 已知，若，则的最大值为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得， 又，故 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C. 二、多选题（每题6分） 9. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 10. 数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（ ） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，借助相似三角形用表示相关线段，再借助图形即可判断得解. 【详解】依题意，不妨令，，， 由，得， 连接，则，而， 则，∽， 于是，，又，， 则∽，，于是， 观察图形知，，，，当且仅当点重合时取等号， 即，，，当且仅当点时取等号，ABC正确； 对于D，都表示线段长平方， 不能表示，，中边长，因此D错误. 故选：ABC 11. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合T，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. T中元素之和为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目条件求出，进一步可得或，再结合集合B所给方程，对这两种情况进行分类讨论，求出a的五种可能取值，再逐项分析即可． 【详解】方程的判别式，故， 由，得或，由，可得或， 当时，两个一元二次方程的根都相同，由可知，此时必有两重根，所以，所以无实根，满足； 当时，由前述分析可知，此时，也即必有两个不同的解、， 所以有1个根或2个根但其中一个根为（不可能为方程的根）， 若有1个根，则，解得， 当时，的根为，与、不重复，共3根， 当时，的根为，与、不重复，共3根， 若有2个根，但其中一个根为时，将代入，解得，此时，，满足题意． 综上，， 对于AB，{−1,0,1}⊆，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，T中元素之和为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（每题5分） 12. 满足 条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， ，， 所以，共个. 13. 已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 14. 已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值范围与的区间关系，通过区间端点对应关系建立方程求解. 【详解】依题意，， ， 又， 而，则，且， 解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【小问1详解】 解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 16. 已知集合，集合. （1）若集合B为单元素集合，求实数a的值； （2）若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】（1）-3 （2） 【解析】 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【小问1详解】 仅有一个元素， ， 【小问2详解】 ，， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 17. 已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. 【小问1详解】 由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 18. 如图，长方形的周长为10． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（i）5；（ii）的面积存在最大值. 【解析】 【分析】（1）根据周长得到边长，再根据基本不等式得到面积的最值； （2）（i）根据两个三角形全等可得到三角形的周长；（ii）先根据已知条件得到边长之间的关系， 再根据基本不等式求得最值. 【小问1详解】 当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； 【小问2详解】 （i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长， 故的周长是定值，为5； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值． 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； （2）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）① 和 ②当 时，；当 时， （2） 【解析】 【分析】（1）①将 ， 的值代入，由不动点定义列方程 求解； ②二次函数开口向上，闭区间上的最大值在端点处取得，比较 与 的大小，按 的取值分类. （2）不动点是方程 的根，由 ， 及韦达定理把 表示成 的函数，换元后利用对勾函数的单调性求值域，再检验判别式. 【小问1详解】 ①当 ， 时，. 令 ，即 ，整理得 . 即 ，解得 或 . 所以函数 的不动点为 和 . ② 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上的最大值在区间端点处取得， 即 为 与 中较大者. . 当 ，即 时，，. 当 ，即 时，，. 所以 时 ， 时 . 【小问2详解】 令 ，得 ，， 是该方程的两个不等实根. 由韦达定理得 . 因为 ，，所以 . 所以 ，解得 . 令 ，由 得 ，且 . 则 . 设 ，任取 ，则 . 因为 ，，所以 . 所以 在 上单调递增. 又 ，，所以 ，即 . 检验：此时 ，即 ，又 ， 所以 ，方程有两个不等实根，符合题意. 所以实数 的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $