第三章 期中易错专项 03 函数的概念与性质期中专项训练（6类错点24题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·期中复习专辑系列 第三章 期中易错专项03 函数的概念与性质 （6类错点24题） 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 使用说明 本资料专练第三章函数的概念与性质，共6类错点、每类4题，合计24题。 范围：人教A版必修第一册第三章。不含第四章的指数、对数函数与零点，也不含三角函数与导数。 每类第1题为【典例】，第2—4题为练习。建议用时约60分钟。 原卷版只给题干与作答区；解析版附每题原【答案】【分析】【详解】，并给出“编者易错提示”。 编者提示说明错在哪一步、漏了什么条件、正确的检查顺序。 题目均标注来源。 错点 内容提示 题号 题数 ①定义域约束 根式、分母、抽象、复合四类约束 题1—4 4 ②函数相等与解析式 三要素判同、新定义、求值与值域 题5—8 4 ③分段端点与跨段比较 分段点归属、跨段衔接、分段最值 题9—12 4 ④单调区间及最值 换元定最值、图象交点定参、值域定参、定义法证明 题13—16 4 ⑤奇偶性与幂函数条件 定义域对称、奇偶判断、抽象函数、幂函数条件 题17—20 4 ⑥实际函数模型 分段成本利润、方案比较、单位换算 题21—24 4 错点①定义域约束 方法提醒 求定义域要同时列出分母 与偶次根式被开方数 ；抽象函数还要加内层自变量落在外层定义域内。 【典例】1．（填空题） （26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试） 函数的自变量x的取值范围是______． 2．（单选题） （26-27高一上·江苏·期中） 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（单选题） （26-27高一上·北京·期中） 已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（单选题） （26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） 已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 错点②函数相等与解析式 方法提醒 判断两个函数相同要同时核对定义域、对应法则、值域三项，解析式等价不够。 【典例】5．（填空题） （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） 已知函数，则______． 6．（多选题） （25-26高一上·山东潍坊·阶段检测） 下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 7．（解答题） （2026高一上·全国·专题练习） 若函数 满足 ，则称 为该函数的稳定点，求函数 的稳定点. 8．（单选题） （26-27高一上·全国·课后作业） 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 错点③分段端点与跨段比较 方法提醒 分段函数整体单调需段内单调、跨段满足整体方向、端点取对段三个条件同时成立；不要求函数连续。 【典例】9．（单选题） （25-26高一上·云南曲靖·期末） 已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 10．（解答题） （25-26高一上·广东珠海·阶段检测） 随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） 11．（单选题） （25-26高一下·贵州毕节·期中） 已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（单选题） （23-24高一下·福建福州·阶段检测） 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 错点④单调区间及最值 方法提醒 求区间最值前先判断临界点在不在区间内、分清求最大还是最小并看开口方向，不在则比较端点；单调性不能跨区间比较。 【典例】13．（单选题） （24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测） 函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（填空题） （23-24高一上·新疆克拉玛依·期末） 在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数______________. 15．（解答题） （2026高一上·全国·专题练习） 设函数．若在区间上单调递增，且函数在区间上的值域为，求的取值范围． 16．（解答题） （25-26高一上·安徽六安·期中） 已知函数的定义域为，且. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明； (3)解关于的不等式：. 错点⑤奇偶性与幂函数条件 方法提醒 判断奇偶性先查定义域是否关于原点对称，这是硬条件；幂函数系数必须为1。 【典例】17．（多选题） （26-27高一上·广西·期中） 已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 18．（解答题） （26-27高一上·全国·课堂例题） 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 19．（多选题） （26-27高一上·江西·期中） 已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 20．（解答题） （25-26高一上·重庆璧山·阶段检测） 已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 错点⑥实际函数模型 方法提醒 每段解析式必须括注自变量范围，求完最值要回到实际语境检验答案合理性。 【典例】21．（解答题） （25-26高一上·江苏徐州·期末） 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 22．（解答题） （25-26高一上·山东菏泽·期末） 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 23．（解答题） （25-26高一上·河南周口·期末） 某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. (1)求函数的解析式，并求的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 24．（解答题） （25-26高一上·江苏南京·期末） 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第三章 期中易错专项03 函数的概念与性质 （6类错点24题） 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 使用说明 本资料专练第三章函数的概念与性质，共6类错点、每类4题，合计24题。 范围：人教A版必修第一册第三章。不含第四章的指数、对数函数与零点，也不含三角函数与导数。 每类第1题为【典例】，第2—4题为练习。建议用时约60分钟。 原卷版只给题干与作答区；解析版附每题原【答案】【分析】【详解】，并给出“编者易错提示”。 编者提示说明错在哪一步、漏了什么条件、正确的检查顺序。 题目均标注来源。 错点 内容提示 题号 题数 ①定义域约束 根式、分母、抽象、复合四类约束 题1—4 4 ②函数相等与解析式 三要素判同、新定义、求值与值域 题5—8 4 ③分段端点与跨段比较 分段点归属、跨段衔接、分段最值 题9—12 4 ④单调区间及最值 换元定最值、图象交点定参、值域定参、定义法证明 题13—16 4 ⑤奇偶性与幂函数条件 定义域对称、奇偶判断、抽象函数、幂函数条件 题17—20 4 ⑥实际函数模型 分段成本利润、方案比较、单位换算 题21—24 4 错点①定义域约束 编者易错提示 ①定义域约束 错在哪一步 求定义域时只处理了看得见的那个约束，漏掉同时存在的第二个。比如题 1 的 ，有人只写" 得 "就作答，忘记分母 。 漏了什么条件 一个函数表达式里可能同时藏着两类约束：根式被开方数非负、分母不为零。它们用"且"连接，不是"或"。抽象函数还要再加一条：内层自变量的取值必须落在外层函数的定义域内。 正确的检查顺序 1. 先扫全式，把所有带分母的式子圈出来 → 列出分母 的条件 2. 再找偶次根号 → 列出被开方数 的条件 3. 若是 形式 → 解出 的范围，再解关于 的不等式 4. 最后把各条件取交集，逐个检查端点能不能取到（不等式含等号则端点可取） 自查：答案写成区间后，代回原式每个约束逐一验一遍。分母的零点若落在区间内，说明答案漏了。 --- 【典例】1．（填空题） （26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试） 函数的自变量x的取值范围是______． 【原解析】 【答案】 且（或写成） 【分析】 根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】 要使函数有意义，需同时满足两类定义域约束： 对于二次根式，被开方数需满足非负要求，即，解该不等式得； 对于分式，分母不能为0，即. 综合上述两个约束条件，可得自变量的取值范围为且. 2．（单选题） （26-27高一上·江苏·期中） 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 直接根据被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解即可. 【详解】 由解析式得 ，解得且，即函数定义域为. 3．（单选题） （26-27高一上·北京·期中） 已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 由题意得关于的方程有解，然后对分类讨论去掉绝对值，得到的关系，即可得到的范围. 【详解】 由题意可知关于的方程有解， 当时，，即， 当时，，， 当时，，即， 综上. 4．（单选题） （26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） 已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【详解】 已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 错点②函数相等与解析式 编者易错提示 ②函数相等与解析式 错在哪一步 判断两个函数是否相同时只对比解析式，不看定义域。题 6 的 B 选项 与 ： 要求 ，定义域是 或 （即 ）； 要求 且 ，定义域是 （即 ）。两者定义域不同，不是同一函数。解析式形式相近不等于同一函数，同一个被开方数拆成两个根式相乘，定义域会缩小。 漏了什么条件 函数相等的三要素：定义域相同、对应法则相同、值域对应一致。判断时三项都要过一遍，缺一不可。 新定义题的处理顺序 题 7 的"稳定点"是题目现给的新定义，不是课本概念。做法是：① 把新定义逐字拆成条件（"若 ，则称 为函数 的稳定点"——稳定点由方程 确定，也就是函数图象与直线 交点的横坐标）；② 把题目给的函数代入这个定义；③ 解方程求横坐标。 自查：得出答案后，问自己"这个值是 还是 "。定义里说的""通常指横坐标。 --- 【典例】5．（填空题） （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） 已知函数，则______． 【原解析】 【答案】 【分析】 令内层表达式求出对应的值，代入已知解析式即可计算． 【详解】 令，解得， 将代入得：． 6．（多选题） （25-26高一上·山东潍坊·阶段检测） 下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【原解析】 【答案】 CD 【分析】 结合基本不等式，可判定A错误；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，可得判定C正确；根据抽象函数定义的计算方法，可判定D正确. 【详解】 对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 7．（解答题） （2026高一上·全国·专题练习） 若函数 满足 ，则称 为该函数的稳定点，求函数 的稳定点. 【原解析】 【答案】 【分析】 根据题干给出的稳定点定义 ，联立方程组 ，方程组解的横坐标即为该函数的稳定点. 【详解】 把 代入 ，解得： 函数的稳定点为 8．（单选题） （26-27高一上·全国·课后作业） 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 根据题意，利用换元法，结合二次函数和反比例函数的性质，即可求解. 【详解】 设，即，则， 所以函数的值域为． 错点③分段端点与跨段比较 编者易错提示 ③分段端点与跨段比较 错在哪一步 把分段函数当成一个整体去套单调性，忽略了分段点归哪一段。题 9 的 与 ，分段点是 ，归在第一段。若误以为 归第二段，跨段衔接的条件就会算错。 漏了什么条件 分段函数在整个定义域上单调，需要三个条件同时成立： 1. 段内单调（每段各自满足） 2. 跨段满足整体方向——各段单调方向一致，且分段点两侧取值不破坏整体单调。注意这不要求函数连续：严格单调函数允许沿单调方向跳跃（本份第 11 题取 时，、 就是递增但跳跃的例子） 3. 端点值取对段——写 还是 ，决定 处的函数值由哪段给出 检查顺序（关键） 1. 先在草稿上画出每一段的解析式，标清区间开闭 2. 分别求各段在自己区间内的单调区间 3. 把分段点单独拿出来，算左边趋近值与右边取值，判断衔接处是否破坏整体单调 4. 最后合并 自查：把分段点代回两段解析式各算一次，看哪个符合题给的区间。答案里的端点开闭必须与题目一致。 --- 【典例】9．（单选题） （25-26高一上·云南曲靖·期末） 已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【原解析】 【答案】 C 【详解】 因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 10．（解答题） （25-26高一上·广东珠海·阶段检测） 随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） 【原解析】 【答案】 (1) (2) (3)投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】 （1）求出，再根据题意求利润即可得到答案； （2）利用利润等于收入减去成本求解函数关系即可； （3）根据二次函数性质及基本不等式求解最值即可. 【详解】 （1）当时，， 根据题意，利润为， 所以装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有万元. （2）由题意可得， 当时，， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为， 当时，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为， 所以投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元. 11．（单选题） （25-26高一下·贵州毕节·期中） 已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【分析】 条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】 由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 12．（单选题） （23-24高一下·福建福州·阶段检测） 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【原解析】 【答案】 A 【分析】 根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】 因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 错点④单调区间及最值 编者易错提示 ④单调区间及最值 错在哪一步 求区间上的最值时只想着配方或换元，忽略定义域的限制与取大取小的方向。若最值点（对称轴或换元后的临界点）落在给定区间之外，最值就要在端点取；还要先分清是求最大值还是最小值。 漏了什么条件 - 单调性只能在同一区间内比较，不能跨区间说"函数递增" - 求区间上的最值，必须先确认顶点（对称轴）是否落在该区间内；开口向上时顶点处取最小值、开口向下时顶点处取最大值，另一个最值在离对称轴较远的端点取 - "最值在端点取"要以端点能取到为前提。上面的"端点比较"结论只在闭区间 （或半开区间中能取到的那一端）成立；若是开区间，端点函数值只是趋近值，不能直接当作最值。例如 在开区间 上既没有最大值也没有最小值（值域是 ， 与 取不到），此时只能回答"无最值"或按题目要求的范围描述 - 由对称性解不等式时，要先定出对称轴的位置，再把自变量映射到已知单调区间 检查顺序 1. 先算定义域，确认自变量的实际取值范围，看清区间是开、闭还是半开 2. 由 或 定开口方向 → 顶点在哪 3. 判断顶点在不在区间内：在则在顶点处取与开口方向对应的那个最值（开口向上取最小、向下取最大），另一个最值比较两端点；不在时，区间闭（端点在定义域内）才把最大值与最小值都在端点比较，区间开或端点取不到时须说明该最值不存在 4. 含参题最后要检验参数是否使定义域为空，这种情况要单独讨论 自查：答案若是区间，检查区间端点对应的函数值算对没有；答案若是"无解"或空集，回头看是否漏了某个参数取值。若结论是"不存在最值"，先确认区间是开区间还是端点取不到的半开区间，别把端点函数值误当最值。 --- 【典例】13．（单选题） （24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测） 函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 利用换元法即可求解. 【详解】 由题意得， 令， 所以， 当，即时，. 14．（填空题） （23-24高一上·新疆克拉玛依·期末） 在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数______________. 【原解析】 【答案】 -1 【分析】 在同一坐标系中作出直线与函数的图象，根据有且只有一个公共点，数形结合求得实数的值. 【详解】 如图，在同一坐标系中作出直线与函数的图象. 因为有且只有一个公共点，且，所以，所以. 故答案为：. 15．（解答题） （2026高一上·全国·专题练习） 设函数．若在区间上单调递增，且函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【原解析】 【答案】 【分析】 利用函数单调性定位区间位置，再利用值域条件转化为方程根问题，化简方程得出根的分布情况，得出二次方程根的分布列不等式组，解不等式组求的取值范围． 【详解】 由在区间上单调递增，则由题意可得，且， 即在上有两个不等的实数根， 所以在上有两个不等的实数根， 令，则， 解得：，故的范围为． 16．（解答题） （25-26高一上·安徽六安·期中） 已知函数的定义域为，且. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明； (3)解关于的不等式：. 【原解析】 【答案】 (1) (2) 在上是增函数， 证明：由（1）得，， 设， 则 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以在上是增函数； (3) 【分析】 （1）根据即可得解； （2）设，利用作差法比较的大小即可得出结论； （3）先判断出函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】 （1）因为，且， 所以，解得； （2）在上是增函数， 证明：由（1）得，， 设， 则 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以在上是增函数； （3）因为， 所以是奇函数， 因为，所以， 因为在上是增函数，所以， 解得，即不等式的解集为. 错点⑤奇偶性与幂函数条件 编者易错提示 ⑤奇偶性与幂函数条件 错在哪一步 判断奇偶性时只算 ，没先看定义域是否关于原点对称。定义域是 的函数，既不能说它是奇函数也不能说它是偶函数——因为 根本无意义。 漏了什么条件 - 奇函数/偶函数的前提是定义域关于原点对称，这是硬条件 - 幂函数的系数必须为 1， 不是幂函数；一般式 也不是 - 由幂函数单调性比较大小，前提是指数同号讨论： 时在 递增， 时递减 检查顺序（判断奇偶性三步） 1. 查定义域：是否关于原点对称？不对称则直接否定 2. 算 ：化简到能看清结构 3. 与 比较：等于 是奇函数，等于 是偶函数，否则都不是 自查：若算出 ，回到第 1 步再确认一次定义域。只要定义域不关于原点对称，就必须先停在这一步。 --- 【典例】17．（多选题） （26-27高一上·广西·期中） 已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【原解析】 【答案】 ABC 【分析】 利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】 对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 18．（解答题） （26-27高一上·全国·课堂例题） 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 【原解析】 【答案】 (1)偶函数 (2)奇函数． 【详解】 （1）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数； （2）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数． 19．（多选题） （26-27高一上·江西·期中） 已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 BC 【分析】 对于A D，通过举例可以判断，对于BC，由函数奇偶性和单调性即可判断. 【详解】 因为奇函数在区间上单调递增，由奇函数性质可知在上单调递增， 偶函数在区间上单调递增， 对于A：取， 则，故A错误； 对于B：由题意得，且， ， 所以，即，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C正确； 对于D，取， ，， 所以，故D错误. 20．（解答题） （25-26高一上·重庆璧山·阶段检测） 已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】 （1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为是奇函数， 所以. （2）由（1）知，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以，即， 解得， 所以不等式解集为. 错点⑥实际函数模型 编者易错提示 ⑥实际函数模型 错在哪一步 漏掉定义域。实际问题中的自变量有实际意义限制：年产量只能取非负、件数是正整数、单价为正。直接解方程不写范围，会把不合实际的解也算进答案。 漏了什么条件 - 每段解析式后面必须标上该段的自变量取值范围，写"利润是分段函数"却不标范围，后面比较最值就没有依据 - 分段最值要先各段单独求最值，再比较取全局最优，不能只算其中一段 - 用基本不等式求实际最值时，等号成立条件必须落在实际取值范围内，否则取不到 检查顺序 1. 设自变量 → 写清单位（万件、千台、元、万元） 2. 逐段写解析式，每段后面括注该段范围 3. 标总定义域（各段范围的并集，且符合实际意义） 4. 逐段求最值 → 比较 → 取最优 5. 回到实际语境检查答案是否合理（产量不可能是负数、不能是小数台数等） 自查：把答案代回原题的利润表达式算一遍，看数值是否符合常理。若算出负的最大利润，多半是漏了"全年售完"这类条件或某段范围写错。 --- 【典例】21．（解答题） （25-26高一上·江苏徐州·期末） 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【原解析】 【答案】 (1) (2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 【分析】 （1）先设月产量为台，写出总成本进而得出利润函数的解析式； （2）分两段求出函数的最大值：当时和当时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可. 【详解】 （1）设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； （2）当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 22．（解答题） （25-26高一上·山东菏泽·期末） 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【原解析】 【答案】 (1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【分析】 （1）依题意可得，结合的解析式计算可得； （2）首先表示出，再由基本不等式及函数的单调性计算可得. 【详解】 （1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 23．（解答题） （25-26高一上·河南周口·期末） 某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. (1)求函数的解析式，并求的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 【原解析】 【答案】 (1)，最小值为28800. (2) 【分析】 （1）应用已知列解析式，再应用基本不等式计算求解最小值； （2）应用已知列式，再应用参数分离，最后结合函数单调性计算求解参数范围. 【详解】 （1）设地面长为， 所以墙面面积为， 所以， ，当且仅当，时等号成立， 所以，，最小值为28800. （2）对任意的时，方案二都比方案一费用低， 即时，恒成立， 得，， 因为， 设，则，在上单调递增， 当，即时，. 又，所以， 即的取值范围为 24．（解答题） （25-26高一上·江苏南京·期末） 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【原解析】 【答案】 (1) (2)7万件；万元. 【分析】 （1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果； （2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【详解】 （1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元， 依题意得，当时，；     当时，， 所以； （2）当时，， 当时，取得最大值；     当时，设， 则即， 函数在区间上为减函数.     当时，取得最大值， 由，则可知年产量为7万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元. 讲评建议 怎样用这份提示讲评 先让学生讲自己的思路，再用对应提示核对卡在哪一步。提示描述的是错误的思考路径，不代表本班实际发生的情况。 错在定义域的，追问漏列了哪一类约束；错在含参分类讨论的，追问有没有讨论二次项系数为零或分段点归属。 第4、9、18题没有【分析】栏，讲评时可让学生先自己说分析思路，再对照【详解】。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $