精品解析：河南省平顶山市部分校2026-2027学年高三上学期10月过程性作业评价数学试题

河南省平顶山市部分校2026-2027学年高三上学期10月过程性作业评价 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数只有一个零点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. “”是“函数在区间上的最大值为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知函数的定义域为，是奇函数，的图象关于直线对称，，且当时，（，，均为常数，），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 某学校举办运动会，据统计参加跳高、跳远、铅球比赛的同学共有30人，其中只参加跳高比赛的同学有7人，只参加跳远比赛的同学有5人，只参加铅球比赛的同学有8人，且参加跳高、跳远、铅球比赛的同学人数均相等，则（ ） A. 至少参加两项比赛的同学有10人 B. 同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学至少有2人 C. 同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学至少有4人 D. 同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学最多有5人 11. 已知互不相等的实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 13. 某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 14. 已知，若函数的最小值为，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若集合中的整数元素有且仅有1个，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若曲线过点，求的最小值. 17. 已知，． （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）若，求的最小值． 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值； （2）若，且1是的极值点，请根据的取值范围讨论的单调区间； （3）若，且，证明：． 19. 已知函数，的定义域均为，若实数，能使在上单调递增，则称函数与为上的“-递增关联函数”；若实数，能使在上单调，则称函数与为上的“-单调关联函数”. （1）若函数，的定义域均为区间，且与为区间上的“-递增关联函数”，请写出的一个值，并说明理由； （2）若函数，的定义域均为区间，且函数与为区间上的“-单调关联函数”，求实数的取值范围； （3）若函数，的定义域均为，，，且对于任意非负实数，，函数与为上的“-递增关联函数”.设，若关于的方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省平顶山市部分校2026-2027学年高三上学期10月过程性作业评价 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定为“，”. 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 3. 已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的单调性进行求解． 【详解】由题意可知，，解得. 故实数的取值范围是. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式，解得或， 则或，而，所以. 5. 函数只有一个零点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】令，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 要使函数只有一个零点， 则函数的图象与直线只有一个交点， 根据偶函数的图象特征，可知. 6. “”是“函数在区间上的最大值为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与单调性及最值的关系，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】若，函数，不符合题意； ， 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则函数在区间上的最大值为或， 又，所以， 所以函数在区间上的最大值为. 故，解得，符合题意； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在区间上的最大值为或，不符合题意. 综上所述，当函数在区间上的最大值为2时，. 当时，由以上分析知，函数在区间上的最大值为2. 所以“”是“函数在区间上的最大值为2”的充要条件. 7. 若，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先解已知不等式，根据题意可得闭区间的长度大于等于解集空隙的长度，进而可得出答案. 【详解】由，得， 得或， 所以不等式的解集为， 两个解集区间之间间隙的距离为， ，使得关于的不等式成立， 即对任意位置的长度为的闭区间，都与上述解集存在公共点， 所以，解得，所以实数的最小值为5. 8. 已知函数的定义域为，是奇函数，的图象关于直线对称，，且当时，（，，均为常数，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是奇函数，得到的图像关于点中心对称，再结合的图象关于直线对称，得到函数的周期为8，又有，进而得到，再由可解得时，，从而得到的值. 【详解】由题意可知，，令，则， 所以的图象关于点中心对称，即的图象关于点中心对称， 所以①. 因为的图象关于直线对称，所以，故， 由，得，结合①，得， 所以，所以，则的一个周期为8， 所以. 由题意，当时，可设，将点代入，得，解得， 则当时，. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项，取，，，则，A错误； B选项，因为，所以，，所以，B正确； C选项，因为，，所以，又，则，所以，C正确； D选项，因为， 又，所以，，所以，所以，D正确. 10. 某学校举办运动会，据统计参加跳高、跳远、铅球比赛的同学共有30人，其中只参加跳高比赛的同学有7人，只参加跳远比赛的同学有5人，只参加铅球比赛的同学有8人，且参加跳高、跳远、铅球比赛的同学人数均相等，则（ ） A. 至少参加两项比赛的同学有10人 B. 同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学至少有2人 C. 同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学至少有4人 D. 同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学最多有5人 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，得至少参加两项比赛的同学有人，A正确； 设同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学人数为， 同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学人数为， 同时参加跳高、铅球两项比赛且不参加跳远比赛的同学人数为）， 同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学人数为，如图所示， 则. 由参加跳高、跳远、铅球比赛的同学人数均相等，可知， 所以，，要使最大，则，，取值最小， 又，，，所以的最小值为0，此时，，， 所以同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学至少有2人， 同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学至少有3人， 同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学最多有5人，B，D正确，C错误. 11. 已知互不相等的实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数性质计算可判断A；根据函数与的图象关于直线对称，构造函数利用导数判断函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象讨论求解可判断BCD. 【详解】，所以，A正确； 函数与的图象关于直线对称， 设，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，；当时，， 有两个实数解，即有两个实数解，即指数函数的图象与直线有两个交点. 在同一直角坐标系中，作出函数，，的图象与直线， 如图，当直线为时，， 当直线为或时，， 综上所述，，C正确，B，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得到集合，把充分不必要条件转化为集合是的真子集，列出区间端点满足的不等式组求解参数范围． 【详解】由，得， 设集合，， 由题意可知，集合是集合的真子集， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 13. 某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 【答案】 ①. 0.5 ②. 15 【解析】 【分析】根据题意得到方程，求出，并得到不等式，取对数后求出答案 【详解】由， 得，所以，解得， 则，根据题意可知，， 整理得， 两边取常用对数并移项，得 ， 所以，故至少经过15次改良后，该新型电池的性能指标不低于95. 14. 已知，若函数的最小值为，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先因式分解，研究的零点；由最小值为得到恒成立，推出二次函数的零点与的零点重合；利用零点满足的等式结合韦达定理化简目标表达式，构造函数求最值． 【详解】， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 又，且，所以有两个零点， 又函数的最小值为0， 所以恒成立， 故，且函数的两个零点与的两个零点重合. 设的两个零点分别为，， ，，， 又，为的两个零点，则，， 所以，则， 所以，则，所以，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若集合中的整数元素有且仅有1个，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入参数求出集合，先求两集合的并集，再求并集在实数集上的补集； （2）先保证集合非空，结合集合中的整数，分交集仅有整数1、仅有整数2两种情况分类讨论，列出不等式组求解参数，最后取范围的并集. 【小问1详解】 由题意得. 当时，，所以， 故. 【小问2详解】 中含有1，2两个整数元素，且由，得. 要使集合中的整数元素有且仅有1个，则有两种情况： 当集合中的整数元素有且仅有元素1时，解得； 当集合中的整数元素有且仅有元素2时，解得. 综上所述，实数的取值范围为 . 16. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若曲线过点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性，求解函数的最大值，确定参数的取值范围； （2）利用进行变量代换，将双变量问题转化为单变量最值问题，通过二次求导分析导函数符号，确定函数单调性，求得最小值. 【小问1详解】 对求导得，令，得. 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 则，故实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知，，由题意知，故， 令，则， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以在上单调递减， 因此，故的最小值为. 17. 已知，． （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）直接用基本不等式，求出的最大值； （2）利用“乘1法”，把式子乘以条件，展开后利用基本不等式得到最小值4； （3）利用换元法把，代入原式，再根据基本不等式得到最小值． 【小问1详解】 解：已知，，， 则， 当且仅当，时，等号成立， 故的最大值为． 【小问2详解】 解：已知，，， 则， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为4． 【小问3详解】 解：已知，， 令，， 则 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为． 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值； （2）若，且1是的极值点，请根据的取值范围讨论的单调区间； （3）若，且，证明：． 【答案】（1）， （2）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，在上单调递减，无极值点，不符合题意； 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）证明：由， 可得， 则， 令，则， 所以，， 因此， 要证， 需证， 即证， 即证， 由（2）可知，当时，在上单调递减， 所以当时，，即， 故得证． 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，结合切线的性质：切点在曲线上、切线斜率等于切点处的导数值，列方程组求解，的值； （2）先利用极值点的性质得到与的关系，代入导函数后因式分解，再根据的不同取值范围，判断导函数的正负，进而确定函数的单调区间； （3）先对已知等式取自然对数变形，构造辅助函数分析其单调性，将待证不等式转化为函数值大小比较问题，再构造新函数通过导数证明不等式成立． 【小问1详解】 ，则， 又， 解得，． 【小问2详解】 因为1是的极值点，则， 所以， ， 若， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若， 当，或时，， 当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和； 若，， 所以在上单调递减，无极值点，不符合题意； 若， 当，或时，， 当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，的定义域均为，若实数，能使在上单调递增，则称函数与为上的“-递增关联函数”；若实数，能使在上单调，则称函数与为上的“-单调关联函数”. （1）若函数，的定义域均为区间，且与为区间上的“-递增关联函数”，请写出的一个值，并说明理由； （2）若函数，的定义域均为区间，且函数与为区间上的“-单调关联函数”，求实数的取值范围； （3）若函数，的定义域均为，，，且对于任意非负实数，，函数与为上的“-递增关联函数”.设，若关于的方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）的一个值可以为1（答案不唯一，即可）. 理由如下：，， 因为，则在上单调递增， 故与为区间上的“-递增关联函数”，所以满足题意. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取，按题定义得到，求导，得到函数的单调性，验证符合“递增关联函数”定义即可； （2），分，两种情况，列不等式求解； （3）推出的单调递减性质，由得到，换元，转化为方程只有一个正实数根，分类讨论得到解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，在上单调， 当时，易知在上单调递增，满足题意，此时. 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 由题意可知，，或， 解得，或. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 取，，则在上单调递增，即在上单调递增， 取，，则在上单调递增，即在上单调递减， 易知，，又，， 所以， 又易知与不恒为0，所以不恒为0， 所以在上单调递减， 由，得， 则， 又恒成立，所以， 所以关于的方程只有一个实数根， 令，则关于的方程只有一个正实数根. 当时，，不满足题意； 当时，若，解得，或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意； 若，解得，或， 因为关于的方程只有一个正实数根，所以，解得.综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $