精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026——2027学年第一学期第一次月考考试试题 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是. 3. 设集合，若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，此时，不符合题意； 若，解得，则，，此时，符合题意. 综上，的取值集合为. 4. 若集合，，则集合A，B之间的关系为（ ） A. B. AB C. BA D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ， 又， 所以. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及基本不等式可得，即可求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，当且仅当时取等号， 则，所以，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为9. 故选：C 6. 已知实数，满足， ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可通过设，求出和的值，再结合已知不等式的范围求出的取值范围． 【详解】设，将其展开可得，， 可得，解得，， 所以， 由题可得，， 所以，即 故选：A． 7. 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ） A. 方式二比方式一先到学校 B. 方式一比方式二先到学校 C. 两种方式到学校的时间一样 D. 无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断B选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质得，A对； 对于B选项，若，不妨取，，则，B错； 对于C选项，若，，则， 故，C对； 对于D选项，若，，由不等式的基本性质得，D对. 故选：ACD. 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式结合一元二次方程以及二次函数的关系判断A；由根与系数的关系可得到的关系，判断B;根据以及的关系可判断C;利用的关系化简，继而解不等式可判断D. 【详解】因为不等式的解集是， 则是方程的两根，且二次函数图象开口向下， 故 ，故A正确； 则 ，故 ，B正确； 由是方程的根，可知 ， 故，C错误； 不等式即，而， 即，即，故， 则不等式的解集是，D正确， 故选：ABD 11. 下列选项正确的有（ ） A. 已知实数，，则 B. 的最小值为2 C. 已知，，，则最小值为11 D. 已知，，的最小值为22 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，由于无实数解，故等号取不到，因此取不到2，B错误； C选项，，当且仅当，即，时等号成立，C正确； D选项，令，，则 当且仅当，即，，即，时等号成立，D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【详解】由，. 不等式的解集为. 13. 对，都有，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，进而根据基本不等式求解最值. 【详解】由题意知，当时， ， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 14. 设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式即，， 的解集中的整数恰有3个，， 不等式的解集为，所以解集里的整数是，，0 三个 ， ，， ， ， ， 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得是的子集，据此可得答案； （2）分集合B为空集、非空集两种情况，结合交集为空的条件列不等式求解可得答案. 【小问1详解】 . 若是的充分条件，则，可得 ， 解得， 故的取值范围是； 【小问2详解】 对于，当时，，解得，满足； 当时，即，要使交集为空，则或，解得， 结合，得. 综上可得：. 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【小问1详解】 为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. 【小问2详解】 若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. （1）要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? （2）要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【小问1详解】 解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 【小问2详解】 解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 18. 设. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法即可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 若，则由 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 对任意，，记，称为集合，的对称差． （1）若为2的倍数，为3的倍数，求； （2）若，，，求，； （3）证明：对任意，，，． 【答案】（1） （2） （3）证明： 设， ； 设， ； 所以. 【解析】 【分析】（1）根据新定义及集合的运算求解； （2）根据新定义，分类讨论即可得解； （3）根据集合的新定义结合交集及并集计算证明. 【小问1详解】 因为；，则,， 则； 【小问2详解】 因为，，， 则，又因为， 若，则时，，，不合题意，舍去； 所以，则，可得，， 则，所以； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期第一次月考考试试题 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 若集合，，则集合A，B之间的关系为（ ） A. B. AB C. BA D. 无法确定 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 6. 已知实数，满足， ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ） A. 方式二比方式一先到学校 B. 方式一比方式二先到学校 C. 两种方式到学校的时间一样 D. 无法确定哪种方式先到学校 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 不等式的解集是 11. 下列选项正确的有（ ） A. 已知实数，，则 B. 的最小值为2 C. 已知，，，则最小值为11 D. 已知，，的最小值为22 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是_________. 13. 对，都有，则实数的取值范围为_________. 14. 设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围； 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. （1）要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? （2）要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 18. 设. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 19. 对任意，，记，称为集合，的对称差． （1）若为2的倍数，为3的倍数，求； （2）若，，，求，； （3）证明：对任意，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $