陕西师范大学附属中学2026-2027学年第一学期高三第二次月考数学试题

陕西师大附中2026-2027高三第二次月考 数学试题参考答案 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.c 7.B 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多个符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 9.BCD 10.AD 11.ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12.g 13.8 14.1209 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(1)由{√Sm-n}是首项与公差均为1的等差数列得√Sm一n =1+(n-1)×1=n, 则Sm=n2+n,当n≥2时，Sm-1=(n-1)2+(n一1)， 两式相减得，an=2n, 当n=1时，a1=S1=2,也满足上式， 故数列{am}的通项公式为an=2n. (2)由(1)得，bn=-1)"(am+1 =（-1)(2m+12 n(n+1) -0(只+)： 所以数列{bm}的前2026项的和为： T2026=- (1+)+(合+号)-(3+)+…+ 1 1 2026 2026+2027) =-1+ 2027= 2027 16.解(1)因为m·n=2(b+c), 所以W3 asin C+acos C=b+c, 所以W3 sin Asin C+sin Acos C=sinB+sinC, 所以W3 sin Asin C+sin Acos C=sin Acos C +cos Asin C+sin C, 所以W3 sin Asin C=sinC(cosA+l), .'C∈(0，π)，sinC≠0， ∴W3sinA-cosA=1, 即2sn(A-8)=1, 又A∈0A-吾∈（←日，）， 故A一T=元 -=石，即A= (2)BM=2M元， 所以AM-AB=2(AC-AM), 则成=号店+号A花 故i:=(号AB+号A) =+花+.花 AB=c=23,AC=b,AM=2, 即AM=2, 所以4=号2)+号6+号6： π 23cos-3 所以b2+√3b-6=0, 故b=√3或b=-2√3（舍）， 故S△ABC= s- 3√3 21 17.(1) 证明：过点P作PE⊥AD于点E。 在t△PEA中，am∠PAB=沿=2，则PB=2AE, AE 因为PA=V5,由勾股定理PA2=AE2+PE可得： (V5)2=AE2+(2AE)2→5AE2=5→AE=1 所以PE=2。 因为AD‖BC,且点E在直线AD上，所以AE‖BC。 又因为AE=1,BC=1,所以AE=BC。 因此四边形AECB是平行四边形，可得CE=AB=1。 在△PEC中，因为PE2+CE2=22+12=5,而PC2=(5)2=5, 所以PE2+CE2=PC2,可得PE⊥CE。 因为PE⊥AD,PE⊥CE,且AD∩CE=E,AD,CEC平面ABCD, 所以PE⊥平面ABCD。 又因为PEC平面PAD 所以平面PAD⊥平面ABCD。 (2) 因为AB⊥AD,且四边形AECB是平行四边形，所以CE‖AB,则CE⊥AD。 由(1)知PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AD,PE⊥CE。 ←← 以E为坐标原点，ED、EC、EP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E-xy2。 设AD=m(m>0),则各点坐标分别为： E0,0,0),A(-1,0,0),D(m-1,0,0),P(0,0,2),C(0,1,0),B(-1,1,0) 所以： AB=(0,1,0),AP=(1,0,2,CD=(m-1,-1,0),CP=(0,-1,2) 设平面PAB的一个法向量为元1=(x1,1,),由： 元1·AB=h=0 元1·AP=G1+2a=0 ZA 取1=-1，得n1=(2,0,-1)。 设平面PCD的一个法向量为元2=(x2,2,2),由： 元2·CD=(m-1)x2-欢=0 n2.CP=-边+2=0 取x2=2,得元2=(2,2m-2,m-1)。 设平面PAB与平面PCD所成二面角为0 因为血0=√罗所以cs9=V1-im0=V知。 29 1 由： ln1…n2 |cos(元1，n2l= =cos0 1元l元 得 15-m 1 V5√5m2-10m+9=V30 两边平方整理得： m2-50m+141=0→(m-3)(m-47)=0→m=3或m=47 因为∠APD为锐角，所以cos∠APD>0。 由PA=(-1,0,-2),PD=(m-1,0,-2), 得PA·PD=5-m>0→m<5。 所以m=3,即AD=3。 18.解：(1)因为曲线C2过椭圆C1的左顶点P, 令y=0, 解得x=-2 即P(-2,0), 所以a=2, 因为椭圆C,的离心率为√ 2, 所以e=号=3 2 解得c=V3,b=1, 则椭圆C的方程为聋+心=1： (2)①证明：若直线的斜率不存在 此时A(0,2),B(0,-2), 所以kPA·kPB=-1, 则PA⊥PB, 即PD⊥PE; 若直线的斜率存在】 设直线的方程为y=kz,A(x1,1),B(x2,2), 联位∫= ,消去并整理得k2x2-2x-4=0, 1y2=2x+4 4 由韦达定理得x1十2=及，12=一在 k2(-4 kPA·kPB= 12 k22122 2 1+2‘x2+2=81x2+21+x2)+4= 22.2 4 =-1 所以PA⊥PB 即PD⊥PE, 综上，PD⊥PE: ②设直线PA的方程为x=my-2(m≠0)， 1 由垂直关系可得直线PB:x=-元y-2(m≠0)， 联立厂r=my-2 ly2=2x+4 解得A=2m, 2 同理得B=一元 粒 消去x并整理得(m2+4)y2-4my=0, 所以yD= 4m m2+4’ 4m 同理得yE=一1+4m2 S1= IPA-PB PA PB S2 IPDHPE PD外PE =器-器1=子4+m=m+杀 m2 17)≥2√m2×為+17= 4 则的最小值为25 S2 当m=土1时，等号成立 y B 当m=1时，A(0,2),B(0,-2),直线l的方程为x=0 当m=-1时，A(0,-2),B(0,2),直线1的方程为x=0. 故直线的方程为x=0. 19.(1)函数f(x)的定义域为(0，十o∞)， f'=1-1-e2e-1)= (1-x)(1+aze） x 当a>0时，1+axe>0,x>0, 当0<x<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增 当x>1时，f'(x)<0,f(x)单调递减。 故f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，十∞)。 (2)0证明： 由题意得g(x)=lnx-a(x-1)e2,定义域为(0，+oo), 1 g'(x)=-axex 1-are,则 设h(e)= h=--ac+1)e 当a>0,x>0时，h'(x)<0,故g(x)在(0，+oo)上单调递减。 g(1)=1-ae 由0<a<上得ae<1,故g0)>0。 e 1 取1=ae,则 g'(x1)=ae-et 0<a<}得 ->1,故e>e>1>ae,因此g(e1)<0。 根据零点存在性定理，存在唯一xo∈(1，x1),使得g(x0)=0。 当0<x<o时，g(x)>0,g(x)单调递增；当x>xo时，g(c)<0,g(x)单调递减，故xo是g(x) 唯一的极值点，且x0>1。 ()证明： 由r是g(2)的极值点，得g20）=0,即1=aroe,故a= 1 e 由x1是g(x)的零点，得g(x1)=0,即lnx1=a(x1-1)e1,代入a的表达式得： 血c1=心11 ·e1-r 因为x1>x0>1,所以x1-1>x0-1,故 血21>0-1 ·e1-x0 i设p回=n2--1es2,z>1, p回=是33e-P+1 当>1时，8e-P+2>1e>6,散e-r+习>>图此回<0 ,(x)在(1，十∞)上单调递减，故(x)<p(1)=0,即 ha< 将红=0代入得h0<0,1e-2,因此 x0-1 -e3x0-2 约去201 >0得e21-0<e3x0-2,由y=e单调递增得x1-x0<3x0-2,即3x0-1>2。陕西师大附中2026-2027高三第二次月考 数学试题 注意率项： 1.本考试满分150分，时间120分钟. 2、答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整。 3.本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清 晰、并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效， 4.只交答题纸，不交试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数z=1+√5i,则z=（) A.1 B.3 C.2 D.4 2.命题：“3x∈(0，+∞)，x-2>0”的否定是（) A.x∈(0，+∞)，x-2≤0 B.3x∈(0，+o∞)，x-2≤0 C.x∈(0，+∞)，x-2<0 D.3x∈(-0,0)，x-2≤0 3.已知点A(2,3),B(4,9),若以线段AB为直径作圆，则该圆的标准方程为() A.(x+3)2+0y+62=40 B.(x+3)2+0y+6)2=10 C.(x-3)2+0y-6)2=40 D.(x-3)2+0y-6)2=10 4.设a,B是两个不同的平面，m是一条直线，且m二a,则“ml∥B”是“al川B的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知向量a,方的夹角为二，且a-=1,在a上的投影向量的模为V5,则a=（) A.2 B.3 C.1 D.5 2 6.已知△ABC的面积为1，取△ABC各边的中点A,B,C作△A,B,C,然后再取△ABC各边的中 点A,B2,C2作△42B2C2…依此方法一直继续下去记△4nBCn(n∈N的面积为a,数列{an}的 前n项和为Sn,则() A.数列{2”a}为常数列 B.数列{2”an}为递增数列 C.数列心}为递减数列 D.数列已}为递增数列 [e,x≤0， 7.已知函数f(x)= a 若函数g(x)=f(x)-a恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ,x>0, x () A.(-o,0) B.(0,] C.(0,4] D.（4,+∞) 陕师大附中高三第二次月考 数学试题 第1页供4页 已知0为坐标原点。F为双当线C,手若=a>06>0的防点，4,4为C的去右 顶点，M为C上一点，MF⊥x轴，过A的直线分别交y轴和线段MF于H,N两点，直线 A,N交y轴于G点，且20五+OG=0,则双曲线的渐近线方程为() 4= B.y=+22x C.y=v2x D.y=tx 4 二、选择题：本鏨共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合画目要求 的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若正实数a,b满足a+b=1,则（) 4上+2的最小值是8 a b B.√a+√6的最大值是√互 C.(1+a1+b)的最大值是 4 D.a2+26的最小值是号】 10.已知函数f(x)=Asin(ox+p)的部分图象如图所示，则（) A(e的解折式可以为f树=2sn2x+孕 B.将)图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单 3 位，得到g)的图象，则g=f兮x+学) Cf)的对称中心为（若+血，0ke乙 D若（管导f)=,则f中）5厅 1.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C:号十six=1就是其中之一，下列选项中关于曲线C的 2 说法正确的有（) A.当x∈[-12,12]时，曲线C与x轴有4个交点 B,曲线C的图象关于x三对称 C,当x∈[0受时，曲线c上的一点P到原点距离的最大值为万 D,当x[0,受时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值小于 2 陕师大附中高三第二次月考 数学试题 第2页供4圆) 三、填空愿：本题共4小题，每小题5分，共15分 12. 已知角8的终边经过点P(-3,1),则sin日=一 13.一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1,2,3,4，从中有放回地随机取球，每次取1个 球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中怡有3个不同整数的概率为 14.平面向量a,6满足d=2,6-d+a+=8,则(a-6,a+6}的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记S,为数列{a,}的前n项和，{VS,-元是首项与公差均为1的等差数列， (1)求数列{a}的通项公式； (2)设0，=(8+1 ,求数列{6，}的前2026项的和工，m6 16.(15分) 已知a,b,c分别为△4BC三个内角A,B,C的对边，向量m=(a,b+c),i=(3sinC+cosC,1), m.n=2(b+c). (1)求A; (2)若c=2N3,BM=2MC,AM=2.求△ABC的面积. 陕师大附中高三第二次月考 数学试题 第3页共40 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD1IBC,AB=BC=L,PA=PC=V5,tan∠PAD=2. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; 29 (2)若AB⊥AD,∠APD为锐角，且平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为 30 求AD. B 18.(17分) .x2y2 衡因C之+京@>b>0的离心率为，曲线Cy=2x+4过椭圆9的左顶点P 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过坐标原点O的直线I与C,相交于点A,B(异于P),直线PA,PB分别与C相交 于D,E、 (i)证明：PD⊥PE; ()记△PAB,△PDE的面积分别是了，S,求的最小值及此时直线！的方程. 19.(17分) 已知函数f(x)=lnx-x-a(x-2)e,a∈R. (1)当a>0时，求f(x)的单调区间； .1 (2)函数g(x)=f(x)+x-ae,且0<a< e (i)证明：g(x)有唯一的极值点，且x>1; ()若x为g(x)的零点，为g(x)的极值点，且x>0,证明：3x一x>2. 陕师大附中高三第二次月考 数学试愿 第4页供4回