精品解析：新疆喀什地区巴楚县第一中学2026-2027学年第一学期高二年级月考测试数学试题

2026～2027学年第一学期月考测试卷 高二数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号．要求字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即可解决问题. 【详解】因为，， 所以，故， 所以. 故选：B. 2. 若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 3. 在平行六面体，中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算法则，即可得解． 【详解】解：在平行六面体中， . 故选：A． 4. 已知空间向量，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【详解】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 6. 已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得，然后利用空间共线平行向量即可求解. 【详解】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确. 故选：A. 7. 设点、、，线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点的坐标，可得出、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可得出的值. 【详解】由题意可得，所以，， 所以. 故选：C. 8. 在棱长为2的正四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，是的重心，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，证明出⊥，⊥，得到线面垂直，从而得到⊥，故；B选项，，故利用向量数量积公式得到；C选项，由B选项得，利用空间向量投影向量公式得到答案；D选项，由空间向量基本定理得到. 【详解】A选项，因为是等边的中心，所以⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，故，A正确； B选项，， 故 ，B正确； C选项，由B选项得， 故在上的投影向量为，C正确； D选项， ，D错误. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量关系，结合空间位置关系判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，或，故B错误； 对于C，不重合，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 10. 已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 11. 空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ） A. B. 是直角三角形 C. 与平行的单位向量的坐标为 D. 可以作为空间的一组基底 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出，结合空间向量模长公式计算A；计算，即可证明，从而判断B；利用计算即可判断C；由，，是否共面即可判断D. 【详解】因为， 所以，所以，选项A正确； 又因为，所以， 所以，所以是直角三角形，选项B正确； 因为，所以与平行的单位向量的坐标为：，选项C错误； 假设，，共面，则存在唯一的有序数对使， 即， 所以，此方程组无解，故，，不共面， 故可作为空间一组基底，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间位置的向量关系即可求解. 【详解】平面的法向量为，依题意，，则， 因此，所以. 故答案为： 13. 已知点，若，则点的坐标是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点的坐标是， 故答案为： 14. 已知，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知，向量在向量上的投影向量 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： （1）倾斜角为135°； （2）与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； （3）与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 【答案】（1）m＝－或1 （2）m＝或－3 （3）m＝或－1 【解析】 【分析】（1）倾斜角是，斜率为，由两点坐标计算出斜率，等于－1可得值； （2）求出过两点(3,2)，(0，－7)的直线的斜率，由斜率互为负倒数可得； （3）求出过两点(2，－3)，(－4,9)的直线的斜率，由斜率相等可得． 【小问1详解】 由kAB＝＝－1，解得m＝－或1. 【小问2详解】 由kAB＝，且＝3，∴＝－，解得m＝或－3. 【小问3详解】 令＝＝－2，解得m＝或－1. 16. 在正四面体中，，，，分别是，，，的中点.设，，. （1）用，，表示，； （2）求证：，，，四点共面. 【答案】（1）, （2） ， ，， ∴， 从而，，，四点共面． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案. （2）用向量分别表示出，从而可得，从而可证. 【小问1详解】 ，分别是，的中点，则且 所以， ，分别是，的中点，则且 【小问2详解】 略 17. 如图，正方体的棱长为4，点、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，即可得证； （2）利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，又，平面， 所以平面. 【小问2详解】 解：由（1）可知可以为平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，分别是，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则得 取，则，则， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图所示正四棱锥为侧棱的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 【小问2详解】 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期月考测试卷 高二数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号．要求字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 2. 若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 在平行六面体，中，（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（     ） A. B. C. D. 7. 设点、、，线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，是的重心，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ） A. B. 是直角三角形 C. 与平行的单位向量的坐标为 D. 可以作为空间的一组基底 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________. 13. 已知点，若，则点的坐标是_____ 14. 已知，，则向量在向量上的投影向量是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： （1）倾斜角为135°； （2）与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； （3）与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 16. 在正四面体中，，，，分别是，，，的中点.设，，. （1）用，，表示，； （2）求证：，，，四点共面. 17. 如图，正方体的棱长为4，点、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图所示正四棱锥为侧棱的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $