精品解析：湖北武汉市第二中学2026-2027学年高二年级上学期10月阶段性检测数学试卷

武汉二中高二年级上学期10月阶段性检测数学试卷 一、单选题（40分） 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知球的直径是该球球面上的两点，，则棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列四个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面MNP； ③当点Q在平面MNP内时，四棱锥的体积是； ④过点Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 为空间任意一点，若，且A，B，C，P四点共面，则实数等于 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 11. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 三、填空题 12. 已知直线：，：．且，则实数________________． 13. 已知随机事件，满足，，．则______________． 14. 在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 三、解答题 15. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 16. 如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． （1）求点的坐标； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数； （2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上异于点P，，平面ABE与棱PD交于点 （1）求证：； （2）若，求证： 平面平面 若，，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求点C到平面ABE的距离. 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． （1）如图2，证明：平面； （2）如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围； （3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉二中高二年级上学期10月阶段性检测数学试卷 一、单选题（40分） 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线的一个方向向量为可得，又因为，所以. 2. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 【答案】D 【解析】 【详解】已知， 则， 因为，，，的平均数为4， 所以． 已知，，，的方差为4， 根据方差的线性变换性质，可得． 所以，，，的平均数是3，方差是1． 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 4. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法写出基本事件，根据古典概型求解. 【详解】因正四面体抛掷一次，侧面上的三个数字之和分别为6,7,8,9， 所以正四面体骰子连续抛掷两次所得样本点为， ，共个， 其中满足的样本点为， ，共个， 所以. 6. 已知球的直径是该球球面上的两点，，则棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可得则，过两点作垂线，设垂足为，则，据此可得答案. 【详解】因为球体直径，是该球球面上的两点，则与均在球体对应大圆上，为大圆直径， ，又，，则. 过两点作垂线，因，则两垂足重合，设为.则， 又平面，则平面，从而. 其中，则. 7. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列四个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面MNP； ③当点Q在平面MNP内时，四棱锥的体积是； ④过点Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可证平面，进而可判断①；作出截面，其中分别为的中点，若平面MNP，则与重合，可判断②；求得四棱锥的体积可判断③；求得过点Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值判断④. 【详解】由正方体，得平面， 又平面，所以， 由正方形，可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以，故①正确； 平面在正方体内的截面为，其中分别为的中点， 又平面平面，若平面MNP， 则，则与重合，不符合题意，故②错误； 由题意知点Q在平面MNP内时，知与重合，连接交于， 由题意可证平面，且， 又，可求得， 所以，故③正确； 取的中点，连接，由平面几何知识可证， 又平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 记平面，可证截面为矩形， 又，又，所以此时， 观察可得此时截面面积最大，最大面积为，故④正确. 所以正确命题的个数为3个. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 为空间任意一点，若，且A，B，C，P四点共面，则实数等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,利用，结合非零向量，夹角为钝角即可判断；对于B，由可知方向向量与法向量互相垂直，所以直线与平面平行或直线，故B错误；对于C，利用也是空间的一组基底的等价条件是线性无关即可证明；对于D，空间中A，B，C，P四点共面的充要条件为：对于空间中任意一点，存在唯一的实数，使得，其中即可判断. 【详解】对于A，设非零向量，夹角为， 则. A正确. 对于B，设,则， 故方向向量与法向量互相垂直，所以直线与平面平行或直线，故B错误. 对于C，要证也是空间的一组基底，只需证明线性无关. 假设存在实数，使得 结合，可得. 因为是空间的一组基底，所以线性无关. 所以 解得. 说明当且仅当时，， 所以不共面，即是空间的一组基底. C正确 对于D， 由 可得 进一步化简可得 空间中A，B，C，P四点共面的充要条件为： 对于空间中任意一点，存在唯一的实数， 使得，其中. 所以，解得.D正确. 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 11. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 三、填空题 12. 已知直线：，：．且，则实数________________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件判断即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，直线：，：，满足题意； 当时，直线：，：，两直线重合，不满足题意. 综上所述，. 13. 已知随机事件，满足，，．则______________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 ，所以. 14. 在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，将用，表示，再利用空间向量四点共面的结论可得到，则可转化为一个关于的函数，即可求解. 【详解】设，，，则，， 因为点为侧棱中点，所以，同理. 故； 又因为，所以， 由于，，，四点共面，所以， 则 所以， 而， 令，令， 则，由对勾函数单调性易得 从而 【点睛】本题难度较大，核心在于设，，利用等体积与四点共面等结论将所求量转化为一个关于或的函数表达式，体现了数学抽象与逻辑推理的核心素养. 三、解答题 15. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； 【小问2详解】 线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； 【小问3详解】 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 16. 如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． （1）求点的坐标； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，利用向量共线定理，结合的距离条件列方程求解； （2）求出向量 与 的坐标，利用空间向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 设点的坐标为；，，，. 点在棱上，，即； ，即. ，，，； ，，即， 整理得，解得或.，； ，即点的坐标为. 【小问2详解】 设异面直线与所成角为. 由，，，，得，. . 异面直线与所成角的余弦值为. 17. 为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数； （2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率. 【答案】（1），2.25吨 （2）0.48. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出，再利用分位数的意义列式求解. （2）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解. （3）利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，因此； 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为，则用水量吨数的分位数， 由，解得， 所以估计该地区月均用水量的分位数为2.25吨. 【小问2详解】 设事件表示第i户居民月均用水量大于分位数，则， 事件B表示恰有1户居民月均用水量大于分位数，， 因此， 所以恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率为0.48. 【小问3详解】 试验的样本空间(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)，共6个样本点， 事件M表示所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数， 则(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁)，共4个样本点，则， 所以所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上异于点P，，平面ABE与棱PD交于点 （1）求证：； （2）若，求证： 平面平面 若，，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求点C到平面ABE的距离. 【答案】（1）证明：因为矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以 （2）证明：因为，，所以， 因为矩形，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面 【解析】 【分析】（1）先利用矩形对边平行的性质结合线面平行的判定定理得到平面，再依据线面平行的性质定理推出.  （2）（i）根据已知的垂直关系，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而依据面面垂直的判定定理证明平面平面.  （ii）先通过等腰三角形三线合一以及面面垂直的性质得到平面，从而确定线面角，通过其正切值求出的值，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 取的中点O，连接 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以就是直线与平面所成角，即， 在中，，解得， 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 由，知， 所以，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，所以， 而， 所以点C到平面的距离为 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． （1）如图2，证明：平面； （2）如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围； （3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）因为，，是线段上的一点，则， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2） （3），证明如下： 设为四面体的表面积，则， 令与平面所成角为， 则， 其中， 因为是公垂线，即上的点与上的点的最短距离是， 所以， 所以 ， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）证明出，得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，得到各点坐标，求出平面的法向量，根据得到，表达出平面与平面所成锐二面角关于的表达式，结合对勾函数单调性得到取值范围； （3）设为四面体的表面积，由公垂线的定义得，所以，根据四面体的体积得到不等式，证明出结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 已知，， 故，所以⊥， 所以，， 而，为的中点，所以⊥， 又二面角为直二面角，即平面⊥平面， 又平面平面，平面， 所以⊥平面， 以E为原点，在平面内作的垂线所在直线为轴， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则，，所以， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，所以， 直线与平面所成角为，， 故， 解得， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 因为，在上单调递增， 所以，， ， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $