1.1集合的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1　集合的概念 第一章 集合与常用逻辑用语 索引 1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题. 2.能判断元素与集合的关系,识记常见数集的表示符号. 3.掌握集合的两种表示方法,并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合. 学习目标 某校2026级高一新生入学军训的时候,随着教官一声口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近,不是高一(1)班的同学会自动走开,这里的“集合”是一个动词,但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象[高一(1)班各位同学]聚集在一起了”,这就是本节课研究的数学重要概念——集合. 引入 课时精练 一、元素与集合的概念 二、元素与集合之间的关系 三、集合的表示 课堂达标 内容索引 元素与集合的概念 一 探究1 阅读下面的例子,并回答提出的问题: ①在平面直角坐标系中,第四象限的点的全体; ②方程x2-2 026=0的所有实数根; ③某校高一(1)班所有性格开朗的女生; ④不等式组的所有整数解. (1)以上各例子中要研究的对象分别是什么? 提示　分别为点、实数根、女生、整数解. 6 (2)哪个语句中的对象不确定?为什么? 提示　③中的对象不确定,因为“性格开朗”没有明确的划分标准,其他①②④中的对象均是确定的. (3)上述问题实例中的①②④有什么共同的特点? 提示　三个实例中均指“所有的”,即某种研究对象的全体. 7 1.元素:一般地,我们把研究______统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的______叫做集合(简称为集),集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合中元素的特征:_________、互异性与_________. 4.集合相等:只要构成两个集合的元素是_________,我们就称这两个集合是相等的. 知识梳理 对象 总体 确定性 无序性 一样的 8 集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,相同的元素在同一集合中只能出现一次. 温馨提示 9 (链接教材P5练习T1)(多选)下列每组对象能构成集合的是 A.不超过20的非负数 B.方程x2-9=0在实数范围内的解 C.未来世界的高科技产品 D.的近似值的全体 例1 √ √ 对于A,对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合; 对于B,能构成集合,方程只有两个实数根3和-3,所以能构成集合; 对于C,“高科技”无明确的标准,对于一个产品是不是高科技产品无法客观判断,因此不能构成一个集合; 对于D,“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合. 10 (2)若集合A中含有两个元素1和a2,则a的取值范围为____________.  (3)在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4,且集合A=B”,则a=____________.  a≠±1 ±2 (2)由元素是互不相同的,得a2≠1,即a≠±1. (3)由题意得a2=4,a=±2,符合题意. 11 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准. 2.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意两点:(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验. 3.若两个集合相等,则两集合的元素相同,但元素不一定按顺序对应相等. 思维升华 12 (1)(多选)下列所给对象能构成集合的是 A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B.高中数学必修第一册教材上的所有难题 C.著名的艺术大师 D.某校高一年级的16岁以下的学生 训练1 √ A,D能构成集合,二者有确定的判断标准.A中元素是“到原点的距离等于1的点”,D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”. B,C项的对象不能构成集合,因为“难题”与“著名”标准不明确. √ 13 (2)设集合A含有两个元素x,y,B含有两个元素0,x2,若A=B,则实数x=_________,y=_________.  1 0 由题意得 即 又当x=y=0时,不满足集合中元素的互异性, 所以x=1,y=0. 14 元素与集合之间的关系 二 15 1.元素与集合之间的关系 知识梳理 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与 集合的 关系 属于 如果a是集合A的元素 ________ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 _______ a不属于集合A a∈A a∉A 16 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 记法 ___ N*或N+ ___ ___ ___ N Z Q R 17 符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系,且二者必居其一. 温馨提示 18 √ (1)(链接教材P5练习T2)(多选)下列所给关系正确的是 A.π∈R B.∉Q C.0∈N* D.|-5|∉N* 例2 √ 对于选项A,π是实数,所以π∈R正确; 对于选项B,是无理数,所以∉Q正确; 对于选项C,0不是正整数,所以0∈N*错误; 对于选项D,|-5|=5为正整数,所以|-5|∉N*错误. 19 (2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,则实数a=____________.  因为-3∈A, 所以 解得a=0或a=-1. 0或-1 20 思维升华 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. 21 (1)(链接教材P5习题1.1T1)(多选)集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是 A. ∈M B.0∈M C.1∈M D.-∈M √ 训练2 √ >1,故A错误; -2<0<1,故B正确; 1∉M,故C错误; -2<-<1,故D正确. 22 (2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则实数a的取值范围为_________.  -4<a≤-2 因为1∉A,2∈A, 所以即-4<a≤-2. 23 集合的表示 三 24 角度1　用列举法表示集合 探究2 观察下面两个集合: ①中国的“五岳”组成的集合M; ②设集合N是小于6的正整数构成的集合. (1)上述问题中的集合M,N中的元素能一一列举出来吗? 提示　能.集合M中的元素为:泰山、华山、衡山、恒山、嵩山;集合N中的元素为:1,2,3,4,5. (2)上述集合M与N除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢?如何表示? 提示　列举法.M={泰山,华山,衡山,恒山,嵩山},N={1,2,3,4,5}. 25 把集合的所有元素____________出来,并用________________括起来表示集合的方法叫做列举法.  知识梳理 一一列举 花括号“{　}” 26 (1)列举法表示集合,集合中的相同元素只能列举一次;元素与元素之间用“,”隔开;“{　}”表示“所有”的含义,不能省略. (2)对于元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}. 温馨提示 27 (链接教材P3例1)用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合A; (2)小于8的质数组成的集合B; 例3 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10, 所以A={0,2,4,6,8,10}. (2)小于8的质数有2,3,5,7, 所以B={2,3,5,7}. (3)方程x2=x的实数根组成的集合C; (4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D. (3)由x2=x,得x=0或x=1, 所以方程x2=x的实数根组成的集合C={0,1}. (4)由 所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D={(1,4)}. 29 思维升华 1.列举法表示集合的三个步骤: (1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次; (3)用花括号括起来. 2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集,应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 角度2　用描述法表示集合 探究3 “大于-2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗?为什么? 提示　不能.集合中的元素有无数多个,元素不能完全列举. 探究4 设x为“大于-2且小于2的实数”构成的集合的元素,x有何特征? 提示　x∈R且-2<x<2. 31 一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为_____________,这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线. 知识梳理 {x∈A|P(x)} 32 描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略,如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时,可以省略x∈R,如集合{x|0<x<1}. 温馨提示 33 (链接教材P4例2)用描述法表示下列集合: (1)不等式2x-3<1的解组成的集合A; (2)被3除余2的正整数组成的集合B; (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C. 例4 (1)设代表元素为x,则x满足2x-3<1,则A={x|2x-3<1},即A={x|x<2}. (2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N, 所以集合B={x|x=3n+2,n∈N}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0, 故第二象限内的点组成的集合为C={(x,y)|x<0,y>0}. 思维升华 利用描述法表示集合应注意三点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x|x=2k},k∈Z,这种表示方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号,即{x|x=2k,k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母. 选择适当方法表示下列集合: (1)由小于8的所有自然数组成的集合A; (2)自然数的平方组成的集合B; (3)方程组的解组成的集合C; (4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D. 训练3 (1)列举法A={0,1,2,3,4,5,6,7},描述法A={x∈N|x<8}. (2)描述法B={x|x=n2,n∈N}. (3)列举法C={(2,1)},描述法C=. (4)描述法D={(x,y)|y=x2+2x-10}. 36 【课堂达标】 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有 A.某一天到商场买过商品的顾客 B.小于0的实数 C.(2 026,1)与(1,2 026) D.中国卓越的数学家 √ √ √ A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定,能构成集合; B中小于0是一个明确的标准,能构成集合; C中(2 026,1)与(1,2 026)是两个不同的点,是确定的,能构成集合; D中中国卓越的数学家对象不具备确定性,不能构成一个集合. 2 3 4 1 2.下列集合中,不同于另外三个集合的是 A.{0} B.{y|y2=0} C.{x|x=0} D.{x=0} √ 由集合的含义知{0}={y|y2=0}={x|x=0},集合{x=0}表示由元素“x=0”组成的集合,故选D. 2 3 4 1 3.已知集合A中有两个元素a2和a-1,集合B中有两个元素0和-1,若A=B,则a=____________.  0 由于A=B,且a2≥0, 所以 解之得a=0. 2 3 4 1 4.用列举法表示集合D={(x,y),x∈N,y∈N|y=-x2+8}为__________________.  {(0,8),(1,7),(2,4)} 由已知得集合D为点集,x∈N,y∈N, 当x=0时,y=8;当x=1时,y=7; 当x=2时,y=4. 若x≥3,则y=8-x2<0,不合题意. 所以集合D={(0,8),(1,7),(2,4)}. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.(多选)给出下列说法,其中正确的有 A.中国的所有直辖市可以构成一个集合 B.高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合 C.正偶数的全体可以构成一个集合 D.大于2 026且小于2 030的所有整数不能构成集合 √ A,C中的元素具备确定性,可以构成集合,A,C正确. B中高一(1)班较胖的同学不具有确定性,不能构成集合,B错误. D中的元素能构成集合,D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.已知集合A={x|x(x-1)=0},那么下列结论正确的是 A.0∈A B.1∉A C.-1∈A D.0∉A ∵A={x|x(x-1)=0}={0,1}, ∴0∈A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.集合{x|-3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为 A.{-3,-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3} {x|-3≤x≤3,且x∈N}={0,1,2,3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.(多选)集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为 A.2 B.-2 C.4 D.6 √ 若a=2,则6-2=4∈A; 若a=4,则6-4=2∈A; 若a=6,则6-6=0∉A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的是 A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15; B中除给定集合中的元素外,还有-3,-7,-11,…; C中当t=0时,x=-3,不属于给定的集合; 只有D是正确的. A.{x|x是小于18的正奇数} B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5} C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5} D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.下列说法正确的为 A.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 B.集合{0}中没有元素 C.{x|x2-4x+4=0}={y|y=2} D.集合{(2,2)}不满足元素的互异性 √ 由于集合{x|4<x<5}中有无数个元素,故不宜用列举法表示,故A错误; 集合{0}中只有一个元素0,故B错误; {x|x2-4x+4=0}={2}={y|y=2},故C正确; 集合{(2,2)}只有一个元素(2,2),符合集合的互异性,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.下列各组集合表示同一个集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={(1,2)},N={1,2} √ 选项A,两个集合中的元素是有序数对,显然元素不同; 选项C,集合M表示的是直线x+y=1上的点,而集合N表示的是直线x+y=1上的点的纵坐标,不是同一个集合; 选项D,集合M中的元素是有序数对,而集合N中的元素是实数,不是同一个集合; 选项B,两个集合都表示由2,3这两个元素构成的集合. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.以方程x2-5x+6=0和方程x2-2x-3=0的根为元素的集合中共有____________个元素.  3 方程x2-5x+6=0的根是2,3, 方程x2-2x-3=0的根是-1,3. 根据集合中元素的互异性知,以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.设集合A是关于x的不等式3x-m-1<0的解集,若1∈A,则实数m的取值范围是____________.  m>2 由3x-m-1<0,得x<, 又1∈A,∴1<,解之得m>2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.集合A={x|kx2-8x+16=0}中有两个元素,则实数k的取值组成的集合为________________.  {k|k<1,且k≠0} 由题意,方程kx2-8x+16=0有两个不相等实数根, 故k≠0,且Δ=64-64k>0, ∴k<1且k≠0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合. (1)0是否是集合A中的元素? (2)若-5∈A,求实数a的值. (1)将x=0代入方程,则02-0-5≠0, 所以0不是集合A中的元素. (2)若-5∈A,则(-5)2+5a-5=0, 所以5a=-20,则a=-4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B √ 集合A中的元素为y,是数集, 又y=x2+1≥1,故2∈A,集合B中的元素为点(x,y), 且满足y=x2+1, 经验证,(3,10)∈B. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.若由a,,1组成的集合A与由a2,a+b,0组成的集合B相等,则a2 026+b2 026的值为____________.  1 由已知可得a≠0, 因为两集合相等,又1≠0, 所以=0,所以b=0, 所以a2=1,即a=±1. 又当a=1时,集合A,B均不满足集合中元素的互异性,舍去, 所以a=-1.所以a2 026+b2 026=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.用适当的方法表示下列集合: (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集; (2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合; (1)用列举法表示为:{0,-1}. (2)用描述法表示为:{x|x=2n+1,且x<1 000,n∈N}. (3)用描述法表示为:{x|x>8}. (3)不等式x-2>6的解构成的集合; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合; (5)方程组的解集. (4)用列举法表示为:{1,2,3,4,5,6}. (5)解集用描述法表示为, 解集用列举法表示为{(2,-1)}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}____________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集________________________.   由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集. 若一个元素a∈A,则∈A. 若集合中有三个元素,故必有一个元素a=,即a=±1, 故可取的集合有,等. 不是 (答案不唯一) 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0). (1)若2∈A,写出集合A中的元素; 若a∈A,则∈A. 又因为2∈A,所以=-1∈A. 因为-1∈A,所以=∈A. 因为∈A,所以=2∈A. 再计算下去,仍然只得到2,-1,这三个数, 所以集合A中的元素只有2,-1和. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)证明:集合A不可能是单元素集. 若A为单元素集,则a=, 即a2-a+1=0,方程无实数解. 所以a≠,所以集合A不可能是单元素集. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $