1.2 集合间的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集及子集个数规律。通过数集、班级集合、图形集合三组情境导入，引导学生从具体实例抽象出概念，构建从情境到定义再到性质应用的学习支架。 其亮点在于以情境探究和规范训练培养数学核心素养，通过实例辨析（如判断子集、空集识别）发展抽象能力与推理意识，强调符号规范（区分∈与⊆）提升数学语言表达。结构化小结与分层练习帮助学生系统掌握，教师可借助清晰流程与实例提升教学效率。

集合间的基本关系 第一章 集合与常用逻辑用语 · 1.2　人教A版必修一 口令：先板书课题“集合间的基本关系”，再问一句“两个实数之间有相等关系、大小关系，两个集合之间有没有类似的关系”，不给答案，直接进学习目标。本课时只讲集合与集合之间的包含、相等关系与空集，集合的交、并、补运算放到1.3。 这节课要达成的三条目标 第 2 页 学习目标 1. 能用子集、真子集、集合相等的定义判断两个集合之间的关系，并正确使用⊆、⊊、＝。 2. 记住空集的定义与“空集是任何集合的子集”这条规定，能在含参数的问题中先讨论空集。 3. 能按元素个数从少到多不重不漏地写出有限集的全部子集，并说出子集个数的规律。 关键词 • 子集⊆ • 真子集⊊ • 集合相等 • 空集∅ • 子集个数2ⁿ 口令：三条目标齐读一遍，把“任意一个元素”六个字写在黑板一角，本课所有判断都回到这六个字。本课时不出现交集、并集、补集，那是1.3的内容。 第 3 页 情境导入　两个集合之间 过渡：从实数之间的相等关系、大小关系出发，观察三组集合，让学生自己发现两个集合之间也有“谁在谁里面”的关系。 先看三组集合，它们各有什么关系 第 4 页 第一组　数集 A＝{2，4，6}，B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}。 A中的每一个元素都能在B中找到，B中还有元素不在A中。 第二组　班级 C为高一（3）班参加接力赛的同学组成的集合， D为高一（3）班全体同学组成的集合。 C中的每一名同学都在D中。 第三组　图形 E＝{x｜x是四个角都是直角的四边形}，F＝{x｜x是矩形}。 E中的每一个图形都在F中，同时F中的每一个图形也都在E中。 口令：三组逐条读，每读完一组追问“两个集合里的元素是怎样对应的”。学生说出“A里的都在B里”“C里的都在D里”“E与F里的一样”即可，不在这里下定义，留到探究一、探究二。 第 5 页 探究一　子集与真子集 过渡：把情境里的第一、第二组关系交给数学，先给子集下定义，再把“还剩下元素”的情形单独命名为真子集。 记住子集的定义与两种读法 第 6 页 子集 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素， 就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）， 读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 回到情境 由A＝{2，4，6}，B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}可知A⊆B。 由C中的每一名同学都在D中可知C⊆D。 Venn图 在数学中，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。 A⊆B在Venn图中表示为：代表A的曲线整个落在代表B的曲线内部。 口令：定义齐读并抄在书上，重点圈出“任意一个元素”。追问“把任意改成有一个行不行”，学生答“不行”，再举A＝{2，9}与B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}说明。Venn图只讲读法，本页不画图。 真子集：里面还剩着元素 第 7 页 真子集 如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集， 记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。 回到情境 在A＝{2，4，6}，B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}中，已经有A⊆B， 又1∈B，且1∉A，所以A⊊B。 两条常用结论 任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A。 如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。 口令：先读真子集的定义，强调它是在A⊆B的基础上再加一个条件。追问“A⊊B能不能推出A⊆B”，答“能”；再问“A⊆B能不能推出A⊊B”，答“不能，A与B可能相等”，这一句为探究二埋伏笔。 判断A是不是B的子集 第 8 页 题目 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：（1）A＝{1，3，5}，B＝{x∈N*｜x是9的约数}；（2）A＝{x｜x是正方形}，B＝{x｜x是菱形}。 分析 判断A⊆B，就是看A中的每一个元素是不是都是B中的元素。 要否定A⊆B，只需在A中找出一个元素不属于B。 （1）先把B用列举法写出来；（2）先回忆正方形与菱形的定义。 口令：先给两分钟独立判断，再请两名学生分别说（1）（2）的理由。提醒第（1）题必须先把B写成列举法，不要凭感觉。 解答：一个反例就能否定包含关系 第 9 页 规范解答 （1）9的正约数为1，3，9，所以B＝{1，3，9}。 A中的元素5不是9的约数，即5∉B，所以集合A不是集合B的子集。 （2）若x是正方形，则x的四条边都相等，从而x是菱形。 所以A中的任意一个元素都是B中的元素，即A⊆B。 答：（1）A不是B的子集；（2）A是B的子集，且A⊊B。 方法小结 肯定包含关系要逐个元素验证，否定包含关系只需举出一个反例。 口令：核对后追问“（2）中A是B的真子集吗”，学生要举出一个菱形不是正方形的例子，例如有一个内角为60度的菱形。 第 10 页 探究二　集合相等与空集 过渡：情境第三组里E与F互相包含，这一段给它命名；再把“一个元素也没有”的集合单独定义为空集。 集合相等：互为子集 第 11 页 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 同时集合B的任何一个元素也都是集合A的元素， 那么集合A与集合B相等，记作A＝B。 判定方法 若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。 这与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”完全类似。 注意 集合是否相等只看元素是否一样，与元素排列的先后无关。 情境第三组中E与F的元素完全相同，所以E＝F。 口令：把“双向包含”四个字板书出来。追问“证明两个集合相等要证几件事”，学生答“两件：A⊆B与B⊆A”，这是高中证明集合相等的标准写法，务必落实。 空集：一个元素也没有 第 12 页 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。 一条规定 规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A。 当集合A中至少含有一个元素时，还有∅⊊A。 怎样识别空集 方程x²＝-1的实数根组成的集合中没有元素，它是空集。 集合{x∈R｜x＜0且x＞1}中也没有元素，它同样是空集。 口令：“空集是任何集合的子集”这句是规定，不是推出来的，要求学生原样记住。追问“∅与{∅}是不是同一个集合”，答“不是，后者含有一个元素”，这一句只点到为止，留给对比页细讲。 判断相等与识别空集 第 13 页 题目 设A＝{x｜x²＝9}，B＝{3，-3}，C＝{x∈R｜x²＝-9}。（1）判断A与B之间的关系；（2）指出C是什么集合，并写出C与B之间的关系。 分析 判断两个集合是否相等，就看它们是不是互为子集。 （1）先由方程把A用列举法写出来，再与B逐个元素比较。 （2）平方等于负数的实数不存在，据此判断C中有没有元素。 口令：先请学生把A写成列举法，再动笔比较。提醒不要漏掉负根，这是本题最常见的失分点。 解答：A与B相等，C是空集 第 14 页 规范解答 （1）由x²＝9得x＝3或x＝-3，所以A＝{3，-3}。 A中的每一个元素都在B中，B中的每一个元素也都在A中，所以A＝B。 （2）任何实数的平方都不小于0，所以不存在实数x使x²＝-9， 因此C不含任何元素，C是空集，即C＝∅。 由规定知∅⊆B，又3∈B，且3∉C，所以C⊊B。 答：（1）A＝B；（2）C是空集，C＝∅，且C⊊B。 方法小结 判断相等要双向验证；判断空集先看集合中到底有没有元素。 口令：核对后追问“能不能写C＝{∅}”，答“不能，C本身就是空集，写成{∅}就变成含一个元素的集合了”。 第 15 页 探究三　子集的个数 过渡：会判断关系之后，再解决一个计数问题——一个有限集到底有多少个子集，方法是按元素个数分类列举，再归纳规律。 写子集：按元素个数从少到多 第 16 页 列举的顺序 写一个有限集的全部子集时，按子集中元素的个数从少到多逐类写出。 先写∅，再写含1个元素的，接着写含2个元素的，最后写这个集合本身。 以{a，b}为例 集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}，共2×2＝4个。 其中真子集为∅，{a}，{b}，共4-1＝3个。 两处最容易漏 ∅是任何集合的子集，写子集时不能把它漏掉。 集合本身也是它自己的子集，但不是它自己的真子集。 口令：以{a，b}示范一遍列举顺序，边写边数。追问“为什么真子集要减去1个”，学生答“减去集合本身”，把这句写在旁边，下一页的表就好读了。 从个数看规律 第 17 页 按元素个数把集合排成一列，再看子集个数的变化。 集合 元素个数 所有子集 子集个数 真子集个数 ∅ 0 ∅ 1 0 {a} 1 ∅，{a} 2 1 {a，b} 2 ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 3 {a，b，c} 3 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 7 含n个元素 n 按元素个数从少到多列举 2ⁿ 2ⁿ-1 含n个元素的集合有2ⁿ个子集，其中真子集2ⁿ-1个，非空真子集2ⁿ-2个。 口令：前四行逐行核对，让学生在表上指出每一行的∅与集合本身。最后一行由学生归纳，教师只补写符号。非空真子集要再去掉∅，这一句单独强调一遍。 写出所有子集并数出个数 第 18 页 题目 写出集合P＝{-1，0，1}的所有子集，并指出其中的真子集共有多少个、非空真子集共有多少个。 分析 按子集中元素的个数从少到多分类写出，做到不重不漏。 P含3个元素，依次写出含0个、1个、2个、3个元素的子集。 真子集是去掉P本身，非空真子集在此基础上再去掉∅。 口令：要求全班在练习本上按四类写，写完同桌互相数个数。提醒元素是-1时括号里要带负号。 解答：分类列举，共8个子集 第 19 页 规范解答 含0个元素的子集：∅。 含1个元素的子集：{-1}，{0}，{1}。 含2个元素的子集：{-1，0}，{-1，1}，{0，1}。 含3个元素的子集：{-1，0，1}。 子集共2×2×2＝8个，真子集共8-1＝7个，非空真子集共7-1＝6个。 答：P的所有子集为∅，{-1}，{0}，{1}，{-1，0}，{-1，1}，{0，1}，{-1，0，1}；真子集共7个，非空真子集共6个。 方法小结 先按元素个数分类再罗列，比随手写更不容易重复和遗漏。 口令：核对后用表上的规律复核一次：3个元素对应2×2×2＝8，与列举结果一致，两条路互相验证。 两组符号，各用在哪里 第 20 页 容易混的写法 a⊆A：把元素a当成集合去写包含关系。 {a}∈A：把集合{a}当成元素去写属于关系。 ∅＝{0}：认为空集就是只含一个元素0的集合。 ∅∈{0}：把空集当成集合{0}中的元素。 正确的写法 a∈A：∈用在元素与集合之间，a是A中的一个元素。 {a}⊆A：⊆用在集合与集合之间，{a}是A的一个子集。 ∅不含任何元素，{0}含有一个元素0，二者不相等，应写∅⊊{0}。 ∅是{0}的子集，不是{0}的元素，应写∅⊆{0}。 先看符号两边各是什么：元素与集合之间用∈或∉，集合与集合之间用⊆、⊊或＝。 口令：左栏四句逐句请学生指错，右栏四句全班齐读。重点讲清{0}是含有一个元素的集合，它不是空集，这是本课时最高频的错误。 两处最常见的失分点 第 21 页 错误做法 已知A＝{x｜0≤x≤8}，B＝{x｜a≤x≤2a-2}，由B⊆A直接令a≤2a-2，a≥0且2a-2≤8。 由此得2≤a≤5就交卷，漏掉了B可能是空集的情形，范围写窄了。 由A⊆B就断定A⊊B，把A与B相等的情形一并算了进去。 在集合本身身上出错，例如写出{1，2}⊊{1，2}。 正确做法 B⊆A的第一步是讨论B是不是空集：B＝∅时2a-2＜a，得a＜2，此时B⊆A成立。 B≠∅时a≤2a-2，且a≥0，2a-2≤8，得2≤a≤5；两种情形合起来得a≤5。 A⊆B允许A＝B；只有A⊆B且A≠B时，才能写A⊊B。 任何集合都是它本身的子集，但不是它本身的真子集，应写{1，2}⊆{1，2}。 含参数的包含关系先讨论空集；子集与真子集的差别，只在能不能取到相等。 口令：左栏第一、二句合起来是一道完整错解，请学生指出错在哪一步。右栏两种情形分开板书，空集情形写在前面，养成先讨论空集的习惯。第三、四句讲子集与真子集的界限。 练一练（一）　用符号填空 第 22 页 在括号里填入∈、∉、⊆、⊊或＝ 1. 3（　　）{1，3，5}；　{3}（　　）{1，3，5}。 2. ∅（　　）{x∈R｜x²＝-4}；　∅（　　）{0}。 3. {1，2}（　　）{x∈N｜x＜3}；　N*（　　）N。 4. {x｜x是等边三角形}（　　）{x｜x是等腰三角形}。 口令：动笔前先判断符号两边各是元素还是集合，再决定用哪一类符号。第2、3题必须先把描述法写成列举法。 练一练（一）　参考答案 第 23 页 参考答案 1. ∈；⊊ 2. ＝（该集合中没有元素，它就是空集）；⊊ 3. ⊊（该集合为{0，1，2}）；⊊ 4. ⊊（等腰三角形中还有不是等边三角形的） 口令：逐题核对，第2题第一空重点讲：两个集合都没有元素，所以相等，不能写⊊。第3题提醒N中含0，N*中不含0。 练一练（二）　子集的个数 第 24 页 填一填 1. 集合{5}的所有子集是（　　），它的真子集共有（　　）个。 2. 集合{0，1}的所有真子集是（　　）。 3. 集合{1，2，3，4}的子集共有（　　）个，非空真子集共有（　　）个。 4. 若集合M的子集共有32个，则M中元素的个数是（　　）。 口令：第1、2题要求把子集一个一个写出来，不许只写个数。第3、4题可以直接用规律，但要写清依据。 练一练（二）　参考答案 第 25 页 参考答案 1. ∅，{5}；1 2. ∅，{0}，{1} 3. 2×2×2×2＝16；16-2＝14 4. 5（因为2×2×2×2×2＝32） 口令：核对时重点看有没有漏掉∅。第3题的非空真子集要减去两个：集合本身与∅。 练一练（三）　判断集合间的关系 第 26 页 判断并填空 1. 集合A＝{x｜x＜2}与B＝{x｜x＜5}之间的关系是（　　）。 2. 集合A＝{x｜x是正整数}与B＝{x｜x是自然数}之间的关系是（　　）。 3. 已知A⊆B，B⊆C，且C⊆A，则A，B，C之间的关系是（　　）。 4. 已知集合A＝{x｜x≥a}，B＝{x｜x≥1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）。 口令：第1、2题必须举出一个属于B而不属于A的元素，光写⊊不给分。第4题把两个集合画在同一条数轴上再判断。 练一练（三）　参考答案 第 27 页 参考答案 1. A⊊B（例如3∈B，但3∉A） 2. A⊊B（0∈B，但0∉A） 3. A＝B＝C 4. a≥1 口令：第3题讲清推理链：由A⊆B与B⊆C得A⊆C，又C⊆A，所以A＝C，从而三个集合两两相等。第4题提醒a＝1时A与B相等，仍满足A⊆B，端点能取到。 随堂检测 第 28 页 独立完成 1. 下列关系中正确的是（　　）。 　　A．0∈∅　　　　B．{0}⊆∅ 　　C．∅⊆{0}　　　D．∅∈{0} 2. 集合{x｜x是12的正约数}的子集共有（　　）个。 3. 已知集合A＝{x｜-2≤x≤7}，B＝{x｜2m≤x≤m＋3}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（　　）。 4. 已知集合M满足M⊊{1，2，3}，且2∈M，写出所有这样的集合M。 口令：6分钟独立完成，第3题动笔前先写“讨论B是否为空集”。写完先自查有没有漏掉空集的情形。 随堂检测　答案与订正 第 29 页 参考答案 1. C（∅是任何集合的子集） 2. 64（12的正约数为1，2，3，4，6，12，共6个，子集个数为2×2×2×2×2×2＝64） 3. m≥-1（B＝∅时2m＞m＋3，即m＞3；B≠∅时由2m≤m＋3，2m≥-2，m＋3≤7，得-1≤m≤3） 4. {2}，{1，2}，{2，3} 口令：同桌互批。第1题讲清B错在{0}含有元素、D错在把空集当成元素。第3题错的同学在题号旁写“漏空集”三个字，当堂订正。第4题提醒M不能取{1，2，3}本身。 课堂小结 第 30 页 这节课我们学会了 1. A中任意一个元素都是B中的元素，就称A是B的子集，记作A⊆B。 2. 若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A⊆B，且B中存在元素不属于A，则A⊊B。 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，空集是任何集合的子集。 4. 含n个元素的集合共有2ⁿ个子集，其中真子集2ⁿ-1个，非空真子集2ⁿ-2个。 记住 元素与集合之间用∈　集合与集合之间用⊆　含参数先讨论空集 口令：四条结论由四名学生接龙说完，再全班齐读“记住”框。最后点一句：集合的交、并、补运算留到1.3，今天只解决集合与集合之间的关系。 课后作业 第 31 页 作业 1. 数学书第8页练习第1～3题：写出全部子集，用适当的符号填空，并判断两个集合之间的关系。 2. 数学书第9页习题1.2第1、2题：选用适当的符号填空，并指出四个集合之间的关系。 3. 数学书第9页习题1.2第3、4题：各写出一个子集，并说明两个集合之间的关系。 4. 选做：数学书第9页习题1.2第5题第（2）小题，动笔前先讨论B是不是空集。 口令：前三项明天交，选做题下节课讲评。提醒第2题要把四个集合的关系写全，只写其中一对不给分。 第 32 页 谢谢观看 口令：下课前回扣一句——判断集合关系只看元素，含参数问题先想空集。作业见上一页。 $