安徽省六安第一中学2026-2027学年高二上学期周末检测数学试卷(四)

六安一中2026年秋学期高二年级周末检测 数学试卷(四) 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知直线1:x-y-1=0,圆C:(x-1)2+(y+1)2=3,则直线1与圆C的位置关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 2.若直线l:2x-y+1=0与l2:ax+y+a=0平行,则4与2的距离为() A. B.5 C.2 D.4 3.已知直线:x-2y-8=0和A(-2,0),B(2,4)两点,若直线1上存在点P使得PA+PB最小, 则点P的坐标为() A.(0,-4) B.(-2,-5) C.(2,-3) D.(-12,-10) 4.己知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足,则线 段PP的中点M的轨迹方程为() A若+蓝=1>0) 16+4 B.+2=1(y>0) 6*8 c若*若1y0) D.若+号1(y>0) 5.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m 需用一个支柱支撑,则支柱AP的长为() PP P2 P:P A Ps OA A2 A3 A As B A.12W6+24m B.(126-24)m c.(24-12v6)m D.不确定 6.若关于x的方程V1-x2=x+b有实数解,则实数b的取值范围是( A.[-l,1] B.[-V2,V2] C.[-1,2] D.[-2,] 7.己知直线1:mx+y+3m-√3=0与圆x2+y2=16交于A,B两点,过A,B分别作1的垂线与 x轴交于C,D两点,若AB=2W7,则CD=() A.4 B.4V万 C.45 D.4V27 3 8.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M1,√2),则四边形 ABCD面积的最大值为() A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.直线x+y+2=0在y轴上的截距为2 B.直线x+y+1=0的一个方向向量为(1,-1) C.若直线ax+by+c=0不经过第三象限,则ab>0,bc<0 D.过点(xo,yo)的直线均可表示为A(x-xo)+B(y-o)=0,其中A,B不同时为0 10.已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P(x,y)在圆0:x2+y2=4上运动,则() A.点A在圆O内 B.圆O为 ABC的内切圆 C.x-√3y的最小值为-4 D.PA+PB+1PCP的最大值为88 11.己知点P满足PA=√2PB到,点A(-1,0),B(,0),C(0,V7),则() A.当∠PCA最小时,IPC=22 B.当∠PCA最大时,|PC=2W2 C.当 PAB面积最大时,|PA=25 D.当V2PC-PA最大时, PAB的面积为√万 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知直线l:2x+3y+1=0,l2:ax+2y-2=0,若l⊥l2,则实数a的值为 13.己知直线ax+by-a+2b=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则AB的最小值为 为 14.已知圆x2+(y+2)2=r2口>0)上到直线y=√5x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的 取值范围是 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 己知直线l:2x-3y+7=0与l2:3x+y-6=0的交点为P,圆C的圆心在x轴上,且过点P 和点Q(3,5) (1)求C的标准方程: (2)若过点(-1,1)的直线1与C交于A,B两点,且AB=2W5,求1的一般方程. 16.(本小题满分15分) 已知 ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方 程为y=0,点C的坐标为(1,2). (1)求点A和点B的坐标: (2)过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M,N,求 MON(O为坐标原点)的面积 最小值及此时直线的方程。 17.(本小题满分15分) 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=I,M为BC的中点, 且PB⊥AM. (1)求BC: (2)求二面角A-PM-B的正弦值. 2 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中,己知圆C:(x+4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,P两点,圆 C2过O,P两点,且与直线l:x+2y=0相切. (1)求圆C,的一般方程: (2)过直线2x+y+2=0上任意一点M作圆C,的切线,切点为N,求MN的最小值; (3)若直线l2:y=c与圆C,C2的交点分别为点A,B,则以线段AB为直径的圆是否过点P? 请说明理由 19.(本小题满分17分) 如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=6O ,E为BC的中 点 (1)证明:BC⊥DA: (2)点F满足EF=DA,求直线AF与平面DAB所成角的正弦值. B 2 六安一中2026年秋学期高二年级周末检测 数学试卷(四) 参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D BD BCD ABD 12.-3 13.4 14.(1,3) 15.(1)联立2x-3y+7=0与3x+y-6=0,解得交点P(1,3), 由圆心在x轴上,则设圆心C(a,O),则CP=|Cg, 所以Va-1)2+(0-3)2=V(a-3)2+(0-√52,解得a=1, 则C(1,0),半径r=√0-1)+(0-3)=3,所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=9: .5分 (2)因为AB=25,半径r=3,设圆心C到直线1的距离为d, 则2P-d2=29-d2=25,解得d=2, .7分 当直线/垂直x轴时,方程为x=-1,此时符合题意: 9分 当直线I不垂直x轴时,设斜率为k,则直线I的方程为y-1=k(x+), 即kx-y+k+1=0, 则圆心C到直线的距离=牛-2,解得k-子 √k2+1 则1的方程为2x-y+子-0,即3x-4+7=0, 综上,直线1的一般方程为x+1=0或3x-4y+7=0. .13分 16.(1)因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上, x-2y+1=0 且在∠A的平分线所在的直线y=O上,所以解方程组 y=0 ,得4(-1,0) 因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,所以kc=-2,因为点C的坐标为(1,2) 所以直线BC的方程为2x+y-4=0,因为kAc=1,k=-k4C=-1,所以直线AB的 x+y+1=0 方程为x+y+1=0,解方程组 2x+y-4=0'得B5,6), 3 故点A,点B的坐标分别为(-1,0),(5,-6). 8分 (2)依题意得直线的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-)(k<0), 则M(20 N(0,2-k) 质u3m安是0-〔4-引4+3肉-4 2 k 当且仅当- 上二=-k,即k=-2时取等号, 所以(S.Mov)mn=4,此时直线1的方程是2x+y-4=0. 15分 17.(1)[方法一] :PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,不妨以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分 别为x、y、:轴建立如下图所示的空间直角坐标系D-2, 设BC=2a,则D(0,0,0)、P(0,0,1)、B(2a,l,0)、M(al,0)、A(2a,0,0), 则PB=(2a,l-1),AM=(-a,l,0), :PB1M,则P丽孤=-2a+1=0,解得a=怎,故BC=2a=2: 2 方法二 如图,连结BD.因为PD⊥底面ABCD,且AMC底面ABCD,所以PD⊥AM. 又因为PB⊥AM,PB∩PD=P,所以AM⊥平面PBD. 又BDC平面PBD,所以AM⊥BD.从而∠ADB+∠DAM=90 . 因为∠MAB+∠DAM=90 ,所以∠MAB=∠ADB. 所以08aaM,于是治器所以ac=1.所以C=5. 6分 2)设平面PM的法向为m-化).则西-气要d,办-(巨0, 由 mM=-巨 x+=0,取x=反,可得m=(5,12, 9分 m.p=-√2x,+,=0 3 设平面PM的法向量为=(6,%丽-(号a0,即-(E-, 由 n.BM=-v2 5=0,取为=1,可得万=(01,, .12分 nBp=-√2x2-2+2=0 功嗣万语所以低动=w可=西 14 因此,二面角A-PM-B的正弦值为Y而. …15分 14 18.(1)由题意令x=0,代入圆C,中得y=0,y2=4,则0(0,0),P(0,4), 设圆C,的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将O,P坐标代入得F=0,E=-4, E 又0C,14,则号=2,得D=-2, 故圆C2的方程为x2+y2-2x-4y=0. 5分 (2)5 (过程略); 9分 5 (3)因为y=:与两圆都有两个交点,易知k≠2,k≠-】 将y=与x2+y2+8x-4y=0联立得,(1+k2)x2+(8-4k)x=0, 得4-82-8), 1+k2,1+k2 .12分 将y=与x2+y2-2x-4y=0联立得,(1+k2)x2-(2+4)x=0, 得B2+4k42+2k, +1+力则1+2=23 15分 2-k 得kM kB=-I,即PA⊥PB,所以以线段AB为直径的圆过点P. .17分 19.(I)因为DA=DB,∠ADB=60 ,所以 ABD为等边三角形,则AB=DA. 同理,因为∠ADC=60 ,DA=DC,所以 ACD为等边三角形,则AC=DA,所以AB=AC. 因为E为BC的中点,所以AE⊥BC, 又因为DB=DC,E为BC的中点,所以DE⊥BC 因为AEODE=D,AE,DEC平面ADE,所以BC⊥平面ADE, 因为DAC平面ADE,所以BC⊥DA. 5分 (2)不妨设DA=DB=DC=2.由(1)可知AB=AC=2. 在RtABDC中,BD⊥CD,DB=DC=2,所以BC=√DB'+DC=2√2: 因为E为BC的中点,所以DE=BC=反,BE=反. 在 4BC中,AB=AC=2,BC=2N2,所以AE=√AB2-BE2=√4-2=√2. 在 ADE中,AE2+DE2=2+2=4=DA,所以AE⊥DE. 由(I)知BC⊥平面ADE,且DE,AEc平面ADE,所以BC⊥DE,BC⊥AE, 故ED,EB,EA两两垂直. 10分 以E为坐标原点,分别以ED,EB,EA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 ZA E-xyz. F 则E(0,0,0),DW2,0,0,02,0,0,02: 所以DA=(-√2,0,√2),DB=(√2,√2,0), 因为EF=DA=(-√互,0,√2),所以F(-√2,0,V2) 所以AF=(-√2,0,0). i.DA=-√2x+√22=0 设平面DAB的法向量为n=(x,y,z), 则 i.DB=-√2x+V2y=0 ,取x=1,则万=(1,1,), 方.AF 设直线AF与平面DAB所成角为O,则sinO=cos元AF AF2x3 3' 所以直线4F与平面DAB所成角的正弦值为 …17分 3 4