精品解析：山东省日照第一中学2026-2027学年高二上学期第一次调研测试数学试题

2025级高二上学期第一次调研测试 数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求出点，结合空间中的两点间的距离公式求解即可. 【详解】点P与点A关于平面对称，则，所以； 故选：A 5. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 6. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 7. 如图，正方体的棱长为2，动点分别在面对角线和上，若大于零），则与所成的角（ ） A. 与都有关 B. 与有关，与无关 C. 与有关，与无关 D. 与都无关 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，判断两直线得到两直线垂直，得出结果. 【详解】 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 正方体的棱长为2，，则 ， ， 因为， 所以与垂直， 所以与所成的角与都无关. 故选：D. 8. 在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则， 直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在三棱锥中， C. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，设，即， 即①， 由于是空间的一个基底，故①式无解， 所以也是空间的一个基底，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，异面直线所成夹角范围为，而， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，若空间向量与的夹角为锐角， 则且不共线， 其中，解得， 令，即， 故，方程组无解，所以不同向共线， 综上，实数的取值范围是，故D正确. 10. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线在轴上的截距为 C. 坐标原点到直线的距离的最大值为 D. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，将方程变形为，即可列方程求解定点判断；对B，令，求出截距判断；对C，求出原点到定点的距离即是原点到直线的距离的最大值；对D，根据直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数的取值范围；. 【详解】对于A，直线可变形为， 由，得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，令，得，所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于C，因为直线恒过定点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由选项A知直线恒过定点，如图， 因为，， 要使得直线与线段相交，则或， 解得或，所以的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】设分别为在直线上的垂足，设的单位向量为，记，从而得到，且，求出，，，选项A，由的范围得到的范围，从而得到结论；选项B，求出，结合向量的垂直公式得到结论；选项C，由得到，从而求出，计算，得到故，即，结合线面垂直的判定定理得到结论；选项D ，设直线与的夹角为，利用向量的数量积公式求出，求出，结合已知条件得到，从而得到结论. 【详解】设分别为在直线上的垂足，设方向的单位向量为， 并记， 由题意，，且， 则， 因为， 所以， 选项A，因为，所以， 当且仅当时取等号，则选项A正确. 选项B，因为， 所以不一定有，则选项B错误. 选项C，当时，必有，从而， 又，故； 即，直线是平面内两条相交直线， 所以平面，则选项C正确. 选项D ，设直线与的夹角为， 因为， 所以，， 因为，， 所以， 则， 因为，所以，解得，则选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【详解】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为： 13. 已知，，，若、、共面，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【详解】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 14. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】首先用向量展开四个切点到球面点的距离平方和，结合正四面体内切球四个切点关于球心对称的向量和为零的性质，可得四段距离平方和为定值，原总和的最大值等价于球面上点到顶点的最大距离. 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为， 利用正四面体的体积公式可得：， 将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连， 则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、 、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为）， 高就是球心到面的距离，也就是内切球半径， 因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为：  ，则​，化简可得， 记，，，，， 由对称性可知， 为定值， 所以要求的最大值，即求的最大值， 又因为的最大值为，故所求的最大值为， 正四面体的棱长为，则， 所以的最大值为12． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． （1）求； （2）设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 【答案】（1）-1 （2）①；② 【解析】 【分析】（1） 利用及空间向量的数量积运算法则进行计算；（2）结合题干中的数量关系，把用、、向量的线性关系表达出来. 【小问1详解】 由题意可知：，因为，，，所以 【小问2详解】 由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 16. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； （2）直线的方程为 或 。 【解析】 【小问1详解】 由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 所以，即，. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 又，所以由唯一确定一个平面，故平面即平面； 又，所以是两条相交直线，且平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）； （3）存在，点的坐标为，理由如下： 由（2）得，设， 则，又，所以， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 若直线与平面所成的角为，则，即， 整理得，解得，则. 所以在线段上存在一点使直线与平面所成的角为，点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）由题证得平面平面，即可得平面； （2）建立适当空间直角坐标系，求出两平面的一个法向量，由两法向量夹角余弦值即可求解； （3）设，求出和平面的一个法向量为，由题设建立关于t的等量关系求出t即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以， 因为平面平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则可得， 所以， 所以平面与平面夹角为； 【小问3详解】 略 19. 如图，四边形是周长为6的矩形，四边形满足，且，现将四边形以直线为轴旋转，记二面角的大小为．点M在直线上，且平面． （1）求证：； （2）已知平面和平面垂直． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，证明：几何体的体积小于． 【答案】（1）如图，因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面. 因为平面，所以． （2）（i） （ii）由题意知，几何体的体积， 由，知， 因为，，，所以， ， 所以， 又， 所以几何体的体积小于． 【解析】 【分析】（1） 利用线面垂直性质，由平面得，结合矩形中，证平面，推出； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，利用面面垂直则法向量点积为0得到，用基本不等式求最小值； （ⅱ）拆分几何体体积为两部分，代入最小值算出总体积，作差比较证明小于． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，，知， 由（1）知，平面，则平面， 故在平面内过点D作的垂线，交直线于点G， 以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， ，， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以； 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期第一次调研测试 数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 5. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为2，动点分别在面对角线和上，若大于零），则与所成的角（ ） A. 与都有关 B. 与有关，与无关 C. 与有关，与无关 D. 与都无关 8. 在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在三棱锥中， C. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线在轴上的截距为 C. 坐标原点到直线的距离的最大值为 D. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 13. 已知，，，若、、共面，则_____. 14. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． （1）求； （2）设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 16. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 17. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 19. 如图，四边形是周长为6的矩形，四边形满足，且，现将四边形以直线为轴旋转，记二面角的大小为．点M在直线上，且平面． （1）求证：； （2）已知平面和平面垂直． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，证明：几何体的体积小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $