精品解析：湖南省名校联合联考2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】量词命题的否定：改量词，否结论， 所以命题“，”的否定为，. 3. 已知集合，，则集合与的关系是（ ） A. B. C. ⫋ D. ⫋ 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，所以，， 所以⫋. 4. “”是“”成立的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题得或，进而得答案． 【详解】解：由得或， 则“”是“”成立的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题考查充要条件，属于基础题． 5. 若集合，则A的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，再求A的真子集. 【详解】因为集合，所有集合， 所以A的真子集个数为：. 故选：C 【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图； 连续型的数集用数轴； (2)一个集合有n个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为-2. 6. 若，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，取，满足，， 此时，不成立，A错误； 对于B，取，满足，， 此时，故不成立，B错误； 对于C，取，满足，， 此时，不成立，C错误； 对于D，由，，可知成立，D正确. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为4. 8. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定．已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】对集合中的元素个数进行分类讨论，确定集合中的元素，结合列举法可得出集合的个数. 【详解】由题意可知集合，是非空集合， ①当中1个元素时，中2个元素，则，，此时，共种； ②当中2个元素是，中1个元素，则，， 所以，共1种； ③当中三个元素时，中0个元素，则，不符合题意， 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项中的两个集合相等的是（ ） A. 是正方形，是两条对角线相等的菱形 B. ， C. ， D. ， 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，因为两条对角线相等的菱形就是正方形，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，，，故C错误； 对于D，因为集合是数集，集合是点集，所以，故D错误. 10. 已知集合，，若，则实数的取值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】ACD 【解析】 【详解】,是的子集. 当时, ,故A正确; 当时, ,故B错误; 当时, ,故C正确; 当时, ,故D正确. 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为4 C. 的最小值为8 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】已知正实数满足且先确定，选项A用基本不等式求得最大值为，选项B代入消元化为关于的二次函数求出最大值为8，选项C利用完全平方公式结合最大值推出最小值为，选项D中，利用“1”的妙用即可求解. 【详解】选项A，由，根据均值不等式，得， 平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A正确. 选项B，由，且，得. 而，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C，由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D，由，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为1，D错误. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知全集是小于的正整数，集合，则集合中元素的个数为_______． 【答案】 【解析】 【详解】是小于9的正整数， 因为，所以，共有个元素. 13. 已知，，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质可求出. 【详解】已知，，则，， 所以，因此的取值范围为. 14. 若命题“，使得”是假命题，则实数的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据该命题的否定是真命题将问题转化为恒成立问题求解. 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其否定“，使得”是真命题， 即对，恒成立，所以， 因为函数在单调递增，所以， 即，所以实数的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出集合，利用并集的定义即可求解； （2）分析可知，集合是的真子集，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合， 又， 所以． 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 又因为，， 所以，解得， 故实数的取值范围是． 16. 已知，集合，． （1）若，求，； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），． （2）或 理由如下：因为，所以． 当时，集合，集合，不满足元素的互异性，舍去； 当时，集合，集合， 因为，所以， 所以或，解得或或（舍去）． 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，满足，符合题意． 综上，实数的值为或． 【解析】 【分析】（1）当时，可得集合，根据交集、并集运算的定义，即可得答案. （2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，集合，集合， 则， ． 【小问2详解】 略 17. 已知，． （1）若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． （2）若，证明：． 【答案】（1）（ⅰ）16；（ⅱ）25． （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即，即，时取等号. 所以． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用基本不等式求出最小值；（ⅱ）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）由，可得，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． （ⅱ）由，可得， 则． 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最小值为． 【小问2详解】 略 18. 小张大学毕业后返乡创办“智慧大棚”种植有机蔬菜．经市场调查，需投入年固定成本万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本万元．在年产量不足万斤时，；在年产量不小于8万斤时，．每斤有机蔬菜售价为元，假设小张种植的有机蔬菜当年能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万斤时，小张在这一年种植的有机蔬菜中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当有机蔬菜年产量为万斤时，最大年利润为万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出和的函数表达式，用分段函数表示出来即可得解； （2）利用二次函数的图像和性质及基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意得，年销售收入为万元， 当时，； 当时，． 则. 【小问2详解】 当时，， 所以当时，取得最大值； 当时，， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取得最大值． 综上可知，当有机蔬菜年产量为万斤时，最大年利润为万元． 19. 设是的非空子集，若对任意，，都有且，则称为“和谐集”． （1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由； （2）若非空集合是“和谐集”，设全集为，证明：不是“和谐集”； （3）若有限集（，且）中的元素均为正整数，且满足．求出集合，并判断集合是否为“和谐集”． 【答案】（1）对于集合， 任取，，则，， ，， 集合是“和谐集” （2）证明：情形一：当时，， 不是非空集合，不满足“和谐集”定义，不是“和谐集”； 情形二：当时，反证法：假设是“和谐集”， ①若，则， 当时，可得，， 是“和谐集”，，与矛盾，不是“和谐集”； 当中含有非零元素时，在中任取一个数， 若，是“和谐集”，，与矛盾，． 非空集合是“和谐集”，是“和谐集”， ，，与矛盾， 时，不是“和谐集”； ②若，则， 当时，可得，， 是“和谐集”，，与矛盾，不是“和谐集”； 当中含有非零元素时，在中任取一个数， 若，是“和谐集”，，与矛盾，， 非空集合是“和谐集”，是“和谐集”， ，，与矛盾， 时，不是“和谐集”． 综上，假设不成立，故不是“和谐集”． （3），集合不是“和谐集”． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐集”的定义判断即可. （2）利用反证法，分和两种情况进行讨论，推导出的结论与假设矛盾，从而得到不是“和谐集”. （3）分类讨论的取值，求出集合，然后判断集合是不是“和谐集”即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ，得． 当时，即有，又为正整数，所以， 又，得，矛盾，故时不存在满足条件的集合； 当时，，又，，为正整数，故，， 又，解得，故； 当时，由，即有， 而，矛盾，故时不存在满足条件的集合， 综上，满足条件的集合． ，，而，不满足对任意，，都有， 集合不是“和谐集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则集合与的关系是（ ） A. B. C. ⫋ D. ⫋ 4. “”是“”成立的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若集合，则A的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定．已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项中的两个集合相等的是（ ） A. 是正方形，是两条对角线相等的菱形 B. ， C. ， D. ， 10. 已知集合，，若，则实数的取值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为4 C. 的最小值为8 D. 的最小值为2 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知全集是小于的正整数，集合，则集合中元素的个数为_______． 13. 已知，，则的取值范围为_______． 14. 若命题“，使得”是假命题，则实数的最小值为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知，集合，． （1）若，求，； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知，． （1）若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． （2）若，证明：． 18. 小张大学毕业后返乡创办“智慧大棚”种植有机蔬菜．经市场调查，需投入年固定成本万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本万元．在年产量不足万斤时，；在年产量不小于8万斤时，．每斤有机蔬菜售价为元，假设小张种植的有机蔬菜当年能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万斤时，小张在这一年种植的有机蔬菜中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 设是的非空子集，若对任意，，都有且，则称为“和谐集”． （1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由； （2）若非空集合是“和谐集”，设全集为，证明：不是“和谐集”； （3）若有限集（，且）中的元素均为正整数，且满足．求出集合，并判断集合是否为“和谐集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $