湖南衡阳市衡阳县演陂中学 2026--2027学年上学期九年级数学9月学情自测

九年级数学9月月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于( ) A. B.2 C.或2 D.0 2.抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是( ) A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B.向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C.向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移2个单位，再向上平移1个单位 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 4.某商场购进一批文创商品，进价为每件20元.当售价为每件28元时，每周可卖出160件；每件售价每降低1元，每周销量增加20件.设每件售价为x元，每周利润为元，则与的函数关系式为( ) A. B. C. D. 5.若关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是( ) A.2 B.4 C.2或4 D.-2或4 6.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎.例如：1◎.若◎，则m的值为( ) A.-3 B.4 C.-3或4 D.无法计算 7.已知，若关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 8.下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的一些对应值： x … -2 -1 0 1 2 … y -5 -5 0 3 4 3 … 则下列说法正确的是 A.图象对称轴为直线 B.当时， C.当时，y随x的增大而增大 D.此函数有最小值4 9.已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 10.已知抛物线过点，，，若点A在对称轴右侧，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请把答案填在题中横线上） 11.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行______________m才能停下来. 12.小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在将其化为一般式的过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在将其化为一般式的过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原方程是________________. 13.已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________.（写出一个即可） 14.已知是方程（m，p为常数）的两个实数根，若，则p的值为______. 15.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使得以P，A，O，B四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点P的坐标为______. 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16.（8分）长春南湖公园的石拱桥以石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅.桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图1.桥中间的大拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是. （1）按如图2所示建立平面直角坐标系，求大桥拱部分抛物线的解析式. （2）同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在大桥拱下方且距O点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到大桥拱（假设船底与水面齐平）. 17.（8分）解方程： (1)； (2). 18.（9分）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）.如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套.经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套.设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且为整数）. （1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本. （2）求当a为何值时，每天的利润W最大. 19.（9分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由. 20.（9分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点. (1)求抛物线的对称轴； (2)点M是抛物线上的一点，且在直线下方.过点M作x轴的垂线，垂足为P，直线交直线于点N，设点P为.若的长随的长的增大而增大，求t的取值范围. 21.（10分）已知关于x的一元二次方程. （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若原方程的两个实数根分别为，且，求m的值. 22.（10分）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，. （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作轴于点D，交BC于点K，记，的面积分别为，求的最大值. 23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上. （1）求抛物线的解析式. （2）①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围：______. （3）连接AC，交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以AC为直角边的直角三角形.若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由. 答案与解析 1.答案：A 解析：由题意得：，解得：. ，，. 故选A. 2.答案：A 解析：原抛物线 的顶点为. 新抛物线 ，顶点为. 顶点从平移到，即向左平移1个单位，向下平移2个单位. 因此，平移方法是向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 故选：A. 3.答案：C 解析：一元二次方程有实数根，，，且. 4.答案：A 解析：由每件售价为x元，得每件售价降低了元，每件利润为元，则每周销量增加了件，.故选A. 5.答案：C 解析：由题意得是的一个根，则该方程的另一个根为-1，设，则可化为，或，解得，.故选C. 6.答案：C 解析：◎， ◎即为，整理得，解得或4.故选C. 7.答案：B 解析：关于x的方程的解为抛物线与直线的公共点的横坐标，关于x的方程的解为抛物线与直线的公共点的横坐标，如图： 由图象可知，，故选B. 8.答案：C 解析：∵当和时，，即和是该函数图象上一组对称点，∴图象对称轴为直线，故A错误； ∵图象对称轴是直线，当时的函数值与当时的函数值相等，∵当时，，当时，，故B错误； 由题表中数据得y随x的增大先增大后减小，∴图象开口向下，∵图象对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，故C正确； ∵图象开口向下，对称轴是直线，当时，y取最大值4，故D错误. 故选C. 9.答案：C 解析：∵二次函数的图象开口向上，.一次函数经过第一、第二、第三象限，，，函数的图象开口向上.，，函数的图象与y轴交于负半轴.，，，即函数的图象的对称轴在x轴左侧，∴符合上述条件的是C选项. 10.答案：D 解析：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∴点在对称轴上，为顶点，即最低点，故最小.∵点在对称轴右侧，，即，，点在对称轴左侧.点B离对称轴的距离为，点A离对称轴的距离为.，点B离对称轴更远，故.综上，. 11.答案：600 解析：， 函数有最大值. ， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600. 12.答案： 解析：∵小影写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，，即， ∵小冬写错了一次项的系数，得到方程的两个根是， ∴原方程是. 13.答案：（答案不唯一） 解析：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）. 14.答案： 解析：方程的两边直接开平方，得，解得，，，，，. 15.答案：或 解析：对于，当时，，当时，，，.∵抛物线的对称轴是直线，点P的横坐标为-2.由平行四边形的性质可得.设，分两种情况：①当点P在点A的上方时，；②当点P在点A的下方时，.综上，点P的坐标为或. 16.答案：（1） （2）工人直立时头顶不会触碰到大桥拱 解析：（1），桥拱顶点B到水面的距离是，∴顶点B的坐标为. 设大桥拱部分抛物线的解析式为，把点的坐标代入解析式，得，解得， ∴大桥拱部分抛物线的解析式为. （2）把代入解析式，得. ，工人直立时头顶不会触碰到大桥拱. 17.答案：(1)，； (2)，. 解析：(1) ， ， ，； (2)， ， ， ， 或， ，. 18.答案：（1）每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元 （2）当时，每天的利润W最大 解析：（1）设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元， 由题意得 解得 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元. （2）由题意，得每套成本为（元），每套的售价为a元，∴每套利润为元. ∵每套售价为72元时的销售量为80套，每套每降价1元，销售量增加10套， ∴销售量为套. . ，且a为整数， ∴当时，每天的利润W最大. 19.答案：(1)进馆人次的月平均增长率为 (2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 解析：(1)设进馆人次的月平均增长率为x， 则由题意得： 化简得： ， 或（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为. (2)进馆人次的月平均增长率为， 第四个月的进馆人次为： 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 20.答案：(1)对称轴为直线 (2) 解析：(1)将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得；此时该抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为直线； (2)∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 设直线的表达式为，代入， 那么， ∴， ∴直线为， 将代入，可得，即， ∵抛物线位于直线下方， ∴，其中， 对于，，则其图象开口向下，对称轴为直线， ∵的长随的长的增大而增大，即的长随t的增大而增大， ∴ t的取值范围为. 21.答案：（1）证明见解析 （2）-1或-2 解析：（1）证明：，，， .，，即， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2），， .，， 整理得，， 解得，，的值为-1或-2. 22.答案：（1） （2） 解析：（1），. ，，，. 把点，的坐标分别代入抛物线的解析式，得解得 . （2）由（1）知， ∴设直线BC的解析式为， 把点的坐标代入得，. 设，则，， ，，，，， ∵，当时，取最大值，最大值为. 23.答案：（1） （2）① ② （3）存在符合条件的点P，坐标为或 解析：（1）将点，的坐标分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为. （2）①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为. ② （3）存在符合条件的点P，坐标为或. 提示：设点P的坐标为， ，， ，，. 是以AC为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则， ，解得， . 当CP为斜边时，则， ，解得， . 综上，存在符合条件的点P，坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $