精品解析：河北衡水市安平中学2026-2027学年高一A 部上学期10月月考数学试题

河北安平中学高一年级A部第一学期月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用该结论，则函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ） A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关 8. 若正实数，，满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为2 10. 已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 在上为减函数 B. 的最大值是1 C. 的图象关于直线对称 D. 在上 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 关于的方程有2个解 D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则正实数的范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数为奇函数，则______. 13. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，若集合，则的非空真子集个数是______． 14. 已知若，且，则的取值范围是______ 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 设集合． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数为二次函数，的最小值为，的两根为. （1）求的解析式； （2）当时，求的值域； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 18. 某市为了改善交通，缓解交通压力，完善交通道路网，在该市交通部门的配合下，对该市某个重要路口的交通情况做了一个调查统计，发现一天中，该路口的交通拥堵指数与时刻（时）有如下关系： （常数，我们把的最大值记作，用作为当天的拥堵指数. （1）当时，求当天拥堵指数的值； （2）求当天拥堵指数的表达式. 19. 已知函数定义域为，若存在，，实数大于0，对，有成立，则称为定义在上的函数. （1）已知为定义在上的函数，求最大的区间； （2）已知为定义在上的函数，求实数的取值范围； （3）已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北安平中学高一年级A部第一学期月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即， 所以. 故选：D 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断选项A、B、C，由不等式的性质可判断选项D. 【详解】对于选项A，当时，若，则，与矛盾，故选项A错误； 对于选项B，当时，若，则，与矛盾，故选项B错误； 对于选项C，当，，满足，， 但，这与矛盾，故选项C错误； 对于选项D，因为，， 所以由不等式性质可得：，即. 因为，，由不等式性质可得：，故选项D正确. 故选：D. 3. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 4. 若幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过得，再判断是否幂函数以及在上单调递减. 【详解】由，得，不是幂函数，A错误. 由，得，在上单调递增，B错误. 由，得，的定义域为，C错误. 由，得，在上单调递减，D正确. 故选：D. 5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性、单调性，再借助性质求不等式得解. 【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减， 因此函数在R上单调递减，又， 即函数是奇函数，不等式， 于是，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 6. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用该结论，则函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为奇函数，由奇函数满足的关系式即可列方程求解. 【详解】设的图象关于点，令，则， 由为奇函数，故，即， 化简得，故且，解得， 故对称中心为， 故选：C 7. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ） A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关 【答案】B 【解析】 【分析】易证得函数关于对称，分，，和四种情况讨论，求出函数得最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】解：因为，， 所以， 所以函数关于对称， ， 当时，， 则，与无关，与无关， 当时，， 则，与无关，与无关， 当时，， 则，与有关，与无关， 当时，， 则，与有关，与无关， 综上所述与有关，但与无关. 故选：B. 8. 若正实数，，满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用等式变形构造基本不等式即可得所求得最大值 【详解】由正实数，，满足 所以 即 所以 当时取到等号， 所以最大值为：4 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式结合1的妙用，逐项判断即可. 【详解】因为为正实数，， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则A错误； ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由A项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 故选：BC. 10. 已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 在上为减函数 B. 的最大值是1 C. 的图象关于直线对称 D. 在上 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD正确. 【详解】因为当时，，则函数在上递减， 又函数是偶函数，所以在上为增函数；故A错； 因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，，则， 所以，则，即， 所以以为周期； 则，所以关于直线对称， 因此当时，； 当时，，则，又，所以； 因为偶函数关于轴对称，所以当时，； 综上，当时，； 又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确； 因为，函数为偶函数， 所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确； 因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数， 所以在上也满足恒成立；故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛： 求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 关于的方程有2个解 D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则正实数的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数解析式可直接得出为奇函数，即A正确，画出函数图象可知B错误，结合图象可得方程有2个解，即C正确，根据不等式中整数解的个数可得，即可得正实数的范围是，即D正确. 【详解】易知函数的定义域为，即定义域为关于原点对称； 且满足，即可得为奇函数，即A正确； 当时，可得， 可得函数在上单调递减，即B错误； 画出函数图象如下图所示： 易知代表函数图象与和交点个数，由图可知方程有2个解，即C正确； 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，可知不等式有无数个整数解； 当时，区间上无整数解， 因此只需在上包含一个即可，当时，, 当时，， 因此若不等式恰有1个整数解，只需，解得； 又为正实数，所以正实数的范围是，可得D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式判断得出其奇偶性并利用对称性画出函数图象，再由函数与方程的思想即可得出方程根与不等式的解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数为奇函数，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得，代入运算求解即可. 【详解】设，则，则，， 因为是奇函数，则，即，可得， 即，所以. 故答案为：3. 13. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，若集合，则的非空真子集个数是______． 【答案】30 【解析】 【分析】先化简分式求出其值域，再结合取整函数的定义确定集合的元素个数，最终代入元集合的非空真子集个数公式算出结果. 【详解】， 由得， ，， 中元素的个数为5． 故A的非空真子集个数为． 14. 已知若，且，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用函数图象的对称性分别计算和的范围求解. 【详解】画出的图象，如图所示： 设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为， 由对称性可得，且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， 所以． 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 设集合． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）转化为的两个根分别为，2，且，由韦达定理得到，求出结果； （2）求出，利用补集和交集概念求出集合. 【小问1详解】 依题意，可知一元二次方程的两个根分别为，2，且． 由韦达定理，得， 解得，故． 【小问2详解】 由，可得， 所以． 由（1）知，， 所以或， 故或． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上的单调递减，证明如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 17. 已知函数为二次函数，的最小值为，的两根为. （1）求的解析式； （2）当时，求的值域； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，设，求出，即可求解； （2）令，利用二次函数的单调性求值域即可； （3）令，，利用二次函数的单调性求出的最小值，，解一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 设，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 ，令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 所以的值域为. 【小问3详解】 ， ， 令， 令，， 在上单调递增，则， 所以恒成立，即， 即，解得. 所以实数的取值范围为. 18. 某市为了改善交通，缓解交通压力，完善交通道路网，在该市交通部门的配合下，对该市某个重要路口的交通情况做了一个调查统计，发现一天中，该路口的交通拥堵指数与时刻（时）有如下关系： （常数，我们把的最大值记作，用作为当天的拥堵指数. （1）当时，求当天拥堵指数的值； （2）求当天拥堵指数的表达式. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再结合基本不等式及二次函数求出最大值. （2）探讨函数在上的性质及可能最大值，在上的最大值，再比较大小得的表达式. 【小问1详解】 当时，，， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当取等号， 而，所以当天拥堵指数的值为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 而，函数在的图象与直线有唯一公共点， 令该公共点的横坐标为，则，当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 而，，，显然， ，则当时，；当时，， 所以当天拥堵指数的表达式. 【点睛】思路点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 19. 已知函数定义域为，若存在，，实数大于0，对，有成立，则称为定义在上的函数. （1）已知为定义在上的函数，求最大的区间； （2）已知为定义在上的函数，求实数的取值范围； （3）已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意，令求解的范围即可. （2）结合题意令转化成二次函数在定区间上的恒成立问题求解. （3）结合题意，将题目转化成恒成立的问题求解即可. 【小问1详解】 即解得: 故最大的区间为： 【小问2详解】 恒成立，即且 即且令则且 则且 故 【小问3详解】 因为 为定义在 上的 函数, 所以对 恒成立, 分别取 , 得 , 则 . 所以 . ,, 当 时, , 解得: . 故答案为：. 【点睛】新结构题目读懂题目的含义结合所学知识求解是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $