微专题 空间几何体的外接与内切问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

微专题 空间几何体的外接与内切问题（原卷） 【题型归纳】 一、 空间几何体的外接球模型 1.墙角模型 （长方体/正方体型） 2.汉堡模型 （直棱柱/圆柱的外接球） 3.垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 4.切瓜模型及推广 （面面垂直） 二、几何体的内切球 三、 多球与多面体的相切问题 【知识点归纳】 一、 空间几何体的外接球模型 模型一 墙角模型 （长方体/正方体型） 1.长方体（正方体）的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 长方体的长、宽、高分别为，则外接球的半径 正方体的棱长.则外接球半径；内切球半径；棱切球半径 2.补成长方体的三棱锥如下： （1）三条侧棱两两互相垂直，如图1所示． （2）四个面均是直角三角形，此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）三棱锥的对棱两两相等，如图4所示 图1 图2 图3 图4 模型二 汉堡模型 （直棱柱/圆柱的外接球） 已知：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 1.确定球心的位置，是的外心，则平面； 2.算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 3.勾股定理：，解出 模型三 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 1.将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 2.为的外心，所以平面，算出小圆的半径 三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得，； 3.利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②． 若底面是等边三角形的三棱锥（柱）： 若底面是等腰直角三角形的三棱锥（柱）： 若底面是直角三角形的三棱锥（柱）： 模型四 切瓜模型及推广 （面面垂直） 两面互相垂直的外接球半径公式：． （1），表示两垂直面外接圆半径，表示两垂直面交线的长； （2）过两垂直面的外接圆圆心，分别作两垂直面的垂线，两条垂线的交点即为外接球的球心． 证明：如图1，在三棱锥中，面面，面面，为中点，，分别为，外接圆圆心，分别过，作面和面的垂线交于点，则点为三棱锥外接球球心． 由图可知三棱锥外接球半径，外接圆半径，外接圆半径，， 步骤：①确定球心的位置，找到面ABC和面S AB的外接圆圆心，分别过作所在平面的垂线，两条垂线的交点即为外接球的球心． ②构造直角三角形，利用勾股定理求出外接球的半径R 推广：两面不互相垂直可推导出已知二面角外接球公式：．(拓展拔高) 推导思路： （1），表示二面角两个面对应的外接圆圆心到两面交线的距离，表示构成二面角交线的长； （2）过二面角两个面对应的外接圆圆心，分别作两面的垂线，两条垂线的交点即为外接球的球心． 证明：如图2，在三棱锥中，面面为中点，，分别为，外接圆圆心，分别过，作面和面的垂线交于点，则点为三棱锥外接球球心．易得BC垂直于面,，所以BC垂直于面，过作垂直BC于，则可证垂直BC，二面角为. 由图可知，三棱锥外接球半径，令，，在中，由余弦定理得，由图可知四边形对角互补，四点共圆，且为圆直径，由正弦定理得，在Rt中，． 2．外接球中的体积最值、范围问题．解题方法策略： （1）当底面积为定值时，高取最大或最小值； （2）当高为定值时，底面积取最大或最小值. 求外接球问题的方法总结：一定球心，二定半径 (1)通法---双外心垂线法，分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心．常用正弦定理求外接圆半径和勾股定理. (2)特殊补形法---通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置． 二、几何体的内切球 1. 内切球的概念 如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球. 2.求内切球问题的方法总结 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的通用方法，等体积法求内切球半径． 例如 内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和与三棱锥体积相等. (可与三角形内切圆的半径类比，均可由等积法求得.) (3)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1．（二级结论） (a为该正四面体的棱长) 【经典例题】 一、外接球 【例1】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 【例2】已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 【例4】在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 如图所示，三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【变式3】已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 . 【变式4】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、 内切球问题 【例5-1】 棱长为的正四面体的内切球的体积为 . 【例5-2】 如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为(　　) A． B． C． D． 【变式5-1】已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，求球与球的体积比. 【变式5-2】（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 题型三 多球与多面体的相切问题（拓展拔高） 【例6】 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【变式6】 在棱长为的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切. 球两球的半径之和； 球的半径分别为多少时，两球体积之和最小. 【练习】 1．（单选题）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2.（单选题）已知三棱锥 P-ABC 中，PA ⊥ 平面 ABC，AB=2，，∠BAC=30°，，则三棱锥 P-ABC 的外接球表面积为（　　） A．8π　　B．16π　　C．20π　　D．28π 3．（多选题）已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（     ） A．该圆台的母线长为4 B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为 D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 4. （多选题）在四棱锥中，，四边形是平行四边形，分别为棱的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则（    ） A．平面 B．线段的长为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．平面与平面夹角的余弦值为 5.已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 6.(2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知球 O 的体积为，点 A、B、C、D 均在球 O 的表面上，若 △ABC 为正三角形，且，则 △ABC 的面积为______. 7.三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 . 8．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 9. 将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离. 10．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________．    微专题 空间几何体的内切与外接问题（解析） 【经典例题】 一、外接球 【例1】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【解析】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得， 因此，， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 故选：A. 【例2】已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积. 【解析】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 【例3】在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【解析】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 【例4】在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先取中点，利用面面垂直性质推出平面，结合的形状确定，得出外接球球心是等边的外心，求出外接球半径后计算外接球表面积. 【解析】取中点，连接，因为，所以， 由于平面平面，且平面平面，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心即为的外心， 设球的半径为，则， 故外接球的表面积为. 【变式1】已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积. 【解析】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 【变式2】 如图所示，三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】中，，， 设的外心为，外接圆半径为， 则， 取的中点，连接，则是线段的中垂线， 根据三角形外心的定义，可知点在直线上， ，点在外， 在中可得，，， 所以可得，即∠ABC， 取的中点，则可得为的外接圆的圆心，， 过分别作平面的垂线， 垂直且相交，设交点为，即为球心， 在中，， 所以外接球的表面积， 故选：． 【变式3】已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】折叠型，法一：的外接圆半径为，， 法二：，，， 【变式4】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【解析】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 二、 内切球问题 【例5-1】 棱长为的正四面体的内切球的体积为 . 【答案】 【解析】 法一 运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之. 如图，设是内切球的球心，由对称性可知，点也是外接球的球心， 设内切球的半径为，外接球的半径为， 将正四面体放置正方体中，轻松求出，即， 在等边中，(是的外接圆圆心)， 在中，. 本题可用二级结论：若a为该正四面体的棱长，则正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1． 法二 连接，将四棱锥分成四个小棱锥，正四面体的四个面面积相等， 易知小棱锥的高是内切球的半径， 由 得 【例5-2】 如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】其轴截面如图所示， 是正三角形，设，则，． ，∴． 设，则， ∴，即． ∴内切球的体积为， 圆锥的体积为， ． 故选：C． 【变式5-1】已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，求球与球的体积比. 【答案】 【解析】要求两球体积之比与表面积之比，关键是求两个球的半径之比. 先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系. 如图： 由题意可得两球、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面， 设正三棱柱底面边长为， 则,正三棱柱的高, 在中有 . 【变式5-2】（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 【答案】 【解析】设内切球半径为， 则，则， 则内切球的体积为 题型三 多球与多面体的相切问题（拓展拔高） 【例6】 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【解析】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 【变式6】 在棱长为的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切. 球两球的半径之和； 球的半径分别为多少时，两球体积之和最小. 【答案】（1）（2）， 【解析】 (1)如图，画出轴截面(对角面)，球心在上，过分别作的垂线交于,设两个球的半径分别为, 则由得，, 所以，则 (2)设两球球体之和为,则 于是当时，有最小值， 故当时，体积之和最小 【练习】 1．（单选题）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三条侧棱两两互相垂直的三棱锥补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，求其对角线即得球的直径. 【解析】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 2.（单选题）已知三棱锥 P-ABC 中，PA ⊥ 平面 ABC，AB=2，，∠BAC=30°，，则三棱锥 P-ABC 的外接球表面积为（　　） A．8π　　B．16π　　C．20π　　D．28π 【答案】D 【解析】在 △ABC 中 AB=2，，∠BAC=30°， 由余弦定理， 所以 BC=2 所以底面外接圆半径 r 满足， 得 r=2 因为 PA 垂直于底面 ABC，球心到底面的距离等于 所以， 又球的表面积。 3．（多选题）已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（     ） A．该圆台的母线长为4 B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为 D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 【答案】ACD 【分析】根据圆台的结构特征和表面积的有关计算、体积公式和台体与球的内、外接问题，结合选项依次计算即可. 【解析】对于A，设圆台上底面的半径为，下底面的半径为， 由于母线与底面所成的角为，则母线长，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B错误； 对于C，由题意有：，圆台的高， 所以该圆台的体积为，故C正确； 对于D，设梯形为圆台的一个轴截面，如图所示： 设圆台上､下底面圆心分别为，点为线段的中点，则，， 由已知，取，则， 连接， 因为，，，所以，， 又，所以， 由余弦定理可得，所以，， 由对称性可得以点为圆心，为半径的圆与梯形内切， 所以以为球心，为半径的球与圆台的两个底面和侧面都相切， 所以能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为. 故选：ACD. 4．（多选题）在四棱锥中，，四边形是平行四边形，分别为棱的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则（    ） A．平面 B．线段的长为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】对于A，取线段的中点，证明四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；对于B，取线段、的中点、，证明四边形是平行四边形，求出长即可；对于C，以为原点建系，设球心坐标，建立方程组，求出球的半径即可；对于D，计算平面和平面的法向量，求得两向量夹角的余弦值即可. 【解析】对于A，取线段的中点，连接，， 因为棱的中点，则为的中位线，则，且， 因为棱的中点，且四边形是平行四边形，则且， 则且，则四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，则平面，故A正确； 对于B，取分别取线段、的中点、，连接、、， 由于为的中位线，则，且， 由于为的中位线，则，且， 又因为四边形是平行四边形，则，且， 则，且，则四边形是平行四边形，则， 因，则 ， 则，即，故B正确； 对于C，因点在平面的射影恰好是棱的中点，则以为原点， 分别以平行于、的直线为轴、轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 在中，， 则， 则， 则， 设三棱锥的外接球的球心，半径为， 则，解得， 则外接球的表面积为，故C错误； 对于D，由C选项可知，， 设平面的法向量为， 则，令，则得， 容易知平面的法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 5. （多选题）已知三棱锥中，和是全等的等边三角形，边长为，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】 如图，当平面平面时，三棱锥体积最大， 取中点，连接，则，， 因为平面平面，所以可证得平面，平面， 取三角形的外心，作，则四点共面， 取三角形的外心，过点作的平行线交于点， 因为垂直平面，则垂直平面， 于是点到四点的距离相等， 所以点为三棱锥外接球的球心． 连接，可求得，， 所以， 所以外接球表面积为． 6.(2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知球 O 的体积为，点 A、B、C、D 均在球 O 的表面上，若 △ABC 为正三角形，且，则 △ABC 的面积为______. 【答案】 【解析】球 O 的体积为， 由得， 所以。这是后面列方程的依据。 因为 DA=DB=DC，点 D 在底面 ABC 上的投影就是 △ABC 的外心 H， 所以直线 DH 垂直于底面，球心 O 一定在直线 DH 上。 设 △ABC 的边长为 3x，则底面外接圆半径。 设 OH=y 则球心到底面顶点的距离满足，即； 又，故 得，即。 所以， 所以 7.三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 . 【答案】 【解析】，，， ， 8．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 【答案】 【分析】设正四棱台上底面边长为，利用题设条件可求出石球的半径为，然后利用台体和球体的体积公式计算即可得到答案． 【详解】设正四棱台上底面边长为， 则其上底面的面积，下底面的面积，高， 故， 由题知石球与棱台上下底面相切，如图所示正四棱台，沿斜高作出如下截面， 则，故球的半径， 所以， 因此． 9. 将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离. 【答案】 【解析】将球心连接起来构成侧棱为，底面边长为的正三棱锥, 设底面三角形的中心为,则 故正三棱锥的高, 显然平面到桌面的距离为， 所以上层小球的最高点到桌面的距离为. 10．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________．    【答案】 【分析】根据题意可得该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，利用等体积法可知：，分别计算出该几何体的体积以及表面积即可求解. 【解析】取的中心O，连接DO，EO，则DO，EO即分别为两个正三棱锥的高，易知D，O，E三点共线，连接AO，延长后与BC相交于点M，则为中点，   ，，， ，，， 该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，其半径为， 由题意可得：， 又， 则， 由等体积法可知：，所以可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $