15.4 综合与实践 最短路径问题学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.4综合与实践最短路径问 复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为 什么？ ① ② A ③ B 2如图，点P是直线1外一点，点P与该直线1上各点连 接的所有线段中，哪条最短？为什么？ D 1 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的 基本事实？ 4如图，如何做点A关于直线1的对称点？ ●A 活动一牧民饮马问题 任务1如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1 饮马，然后到B地。牧民到河边的什么地方饮马可使所 走的路径最短？ 抽象成 4 实际问题 数学问题 作图问题：在直线1上求作一点C,使AC+BC最短问题. 问题(1)如果点A,B是直线I异侧的两个点，如何在 I上找一点C,使AC与CB的和最小 ●A ●B 问题(2)在任务1中，点A,B在直线I的同侧，你能 利用轴对称，把这个问题转化为(1)中的问题吗 .B ●A 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到1的另一 侧B处，满足直线I上的任意一点C,都保持CB与CB 题 班级 姓名 的长度相等？ ●A ●B 作法： (1) (2) 问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 活动二牧民饮马问题的拓展 任务1如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧 马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所 走的路径最短？ 草 地 A 任务2如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路 径最短？ 河 草 地 A B 任务3如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到 草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处 如何确定A,B,C的位置，使从A处出发，到B处牧马， 再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？ 河 草地 生活区 活动三造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假 定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ A。 ·B 思维分析 1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到 B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短 呢？ B 2利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 思维火花我们能否在不改变AM+MN+BW的前提下把 桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 方法归纳解决最短路径问题的方法 1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最 短路径的选择。 2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形， 从而将问题转化为平行四边形的问题解答， 当堂练习 1.如图，直线1是一条河，P、Q是两个村庄.欲在1上的 某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四 种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道 最短的是() 2.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有 村庄A和村庄B,现要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸 垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看， 正确的是( A.M A.B B. C 3.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM 上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值 时，求∠APB的度数. 0 M 4.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A 处到B处，须经两座桥：DD',EE'(桥宽不计)，设护城 河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD'E 'EB的路程最短？ 15.4 综合与实践 最短路径问题 班级 姓名 . 复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 答：②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的 所有线段中，哪条最短？为什么？ 答：PC最短，因为垂线段最短 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 答：三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 活动一 牧民饮马问题 任务1如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 问题（1）如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找一点C，使AC与CB的和最小 答：连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 问题（2）在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称， 把这个问题转化为(1)中的问题吗 想一想：　对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处， 满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 答：利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. 作法： （1）作点B关于直线l的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求． 任务2　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合）， 连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′． 即AC+BC最短． 活动二 牧民饮马问题的拓展 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 作图问题：在直线a上找一点P，在直线b上找一点Q，使AP+PQ+AQ最小 答：①如图，分别作点A关于直线a，b的对称点A′，A′′. ②连接A′A′′分别交a，b于点P，Q. ③连接AP，AQ，则路径 AP－PQ－QA即为最短路径. 任务2 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 作图问题：在直线a上找一点P，在直线b上找一点Q，使AP+PQ+QB最小. 答：①如图，作点A关于直线a的对称 点A′，作点B关于直线b的对称点B′. ②连接A′B′分别交a，b于点P，Q. ③由“两点之间，线段最短”可 知，此时路径AP－PQ－QB即为最短路径. 任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短? 作图问题：如图，在△NMP中， A，B，C分别为MP，MN，NP上一动点，当点A，B，C在什么位置时，AB+ BC+CA最小. 答：如图，作A分别关于MN，NP的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交NM，NP于点B，C，于是△ABC的周长等于线段A1A2的长. 要使△ABC的周长最短， 就是要使△NA1A2的边A1A2最短. 由于NA1=NA=NA2，因此△NA1A2是等腰三角形，∠A1NA2=2∠MNP(固定值)， 要使A1A2最短，则NA1最短即NA最短. 因此，NA应取MP边上的高，即点A是过N作边MP边上的垂线的垂足，可以证明此时B，C分别是过P，M作对边NM，NP的垂线的垂足. 此时，△ABC的周长最短，则此时路径AB－BC－CA即为最短路径. 活动三 造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ 思维分析 1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 答:把A平移到岸边. 把B平移到岸边. 把桥平移到和A相连. 把桥平移到和B相连. 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 分析：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△A１N１B中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B. 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN. 证明：由平移的性质，得BN∥EM 且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE, 所以A，B两地的距离：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处， 连接AC,CD,DB,CE, 则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB＞AM+MN+BN， 所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短. 方法归纳 解决最短路径问题的方法 1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答. 当堂练习 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ） 2.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是( D ) 3.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 解：如图，依题意，分别作点P关于ON、OM的对称点P1、P2，连接P1P2交ON于点B，交OM于点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为最小值. 由四边形内角和360°可得: ∠P1PP2=360°-90°-90°-40°=140° ∵BP=BP1，AP=AP2. ∴∠P1=∠BPP1，∠P2=∠APP2 ∵∠P1+∠P2=180°-140°=40° ∴∠BPP1+ ∠APP2=40° ∴∠APB=∠P1PP2-∠BPP1-∠APP2=100° 4.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ 解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′, 同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.4 综合与实践 最短路径问题 班级 姓名 . 复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 活动一 牧民饮马问题 任务1如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 问题（1）如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找一点C，使AC与CB的和最小 问题（2）在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为(1)中的问题吗 想一想：　对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 作法： （1） ； （2） ． 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 活动二 牧民饮马问题的拓展 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 任务2 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短? 活动三 造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ 思维分析 1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 方法归纳 解决最短路径问题的方法 1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答. 当堂练习 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） 2.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是( ) 3.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 4.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ 学科网（北京）股份有限公司 $