第十三章 三角形 单元综合练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十三章《三角形》五星版单元综合练习 人教版（2025）八年级数学上册 · 第十三章 三角形（约9课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用分层测评 适配江苏、广东、浙江、上海、山东等地区（情境素材可替换为当地数据） 项目 内容 考试范围 13.1 三角形的概念；13.2 与三角形有关的线段（边、中线、角平分线、高）；13.3 三角形的内角与外角；本卷不涉及多边形内角和与全等三角形 建议时长 60分钟（基础＋提升＋综合）；月考仿真小测另计15分钟 卷面满分 100分（难度配比：基础∶提升∶综合＝5∶3∶2，按分值计） 素养指向 几何直观、空间观念、推理意识、应用意识 地区素材 江苏（观景亭测量）、浙江（游船码头）、上海（工程测量）、广东、山东（情境可替换） 题量结构（细目表） 板块 题号 题量 分值 难度 题型 基础巩固 A1–A10 10 50 ★ 选择4＋填空6 能力提升 B1–B6 6 30 ★★ 选择2＋填空2＋解答2 综合应用 C1–C3 3 20 ★★★ 解答3（含跨学科情境） 合计 — 19 100 — — 综合与实践（附加） 项目 1 课标对接 — 项目式学习（可选做） 月考仿真小测（附加） M1–M5 5 50（另计） ★～★★ 限时15分钟 【作答说明】 1．本卷分三部分，先易后难，建议按卷面顺序作答。 2．三边关系：较短两边之和＞最长边；第三边取值范围＝两边之差＜x＜两边之和。 3．求角度优先用“内角和180°”“外角等于不相邻两内角和”“直角三角形两锐角互余”。 4．独立完成后对照“参考答案与解析”自评，错题归入错题本。 一、基础巩固（过关必会，每题5分，共50分） A1（选择·★）下列说法正确的是（　） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 C．三条线段一定能组成三角形 D．三角形由三条线段组成，与角无关 A2（选择·★）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝（　） A．60°　B．70°　C．80°　D．90° A3（选择·★）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　） A．1，2，3　B．2，2，5　C．3，4，5　D．4，5，9 A4（选择·★）下列图形中，具有稳定性的是（　） A．正方形　B．平行四边形　C．三角形　D．六边形 A5（填空·★）三角形有＿＿条边、＿＿个内角；在△ABC中，顶点A的对边是＿＿。 A6（填空·★）已知三角形的两边长分别为5和9，则第三边x的取值范围是＿＿＿。 A7（填空·★）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝36°，则∠C＝＿＿°。 A8（填空·★）直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为＿＿°。 A9（填空·★）如图1，∠ACD是△ABC的外角（延长BC到D），∠A＝60°，∠B＝50°，则∠ACD＝＿＿°。 图1　三角形的外角（A9） A10（填空·★）三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的＿＿＿＿＿。 二、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（选择·★★）下列说法正确的是（　） A．三角形的三条高都在三角形内部 B．钝角三角形有两条边上的高在三角形外部 C．直角三角形只有一条高 D．三角形的高、中线、角平分线都是射线 B2（选择·★★）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长是（　） A．17　B．22　C．17或22　D．26 B3（填空·★★）已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长为整数，则满足条件的第三边共有＿＿个，其中最大的是＿＿。 B4（填空·★★）在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则∠A＝＿＿°，△ABC是＿＿三角形。 B5（应用·解答·★★）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A＋20°，求∠A、∠B、∠C的度数。 B6（应用·解答·★★）如图2，在△ABC中，∠A＝70°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，两平分线交于点O，求∠BOC的度数。 图2　两内角平分线交于点O（B6） 三、综合应用（素养落地，共20分） C1（跨学科·生活·★★★）（江苏·示例数据）玄武湖公园有三座观景亭A、B、C，测得AB＝120米，AC＝180米。（本题6分） (1) 求BC的取值范围； (2) 若BC的长度是整数米，它的最大值是多少米？ C2（跨学科·工程·★★★）（浙江·示例数据）西湖游船码头示意图：如图3，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，延长BC到D，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD。（本题6分） (1) 求∠ACD的度数； (2) 求∠ACE的度数。 图3　外角与角平分线（C2） C3（跨学科·工程·★★★）（上海·示例数据）某建筑工地：如图4，AD是△ABC的中线，△ABC的周长为32，AB＝10，AC＝8。（本题8分） (1) 求BC、BD的长； (2) 若△ABC的面积为42，求△ABD的面积，并说明理由。 图4　三角形中线与面积（C3） 四、综合与实践 · 项目式学习（附加，可选做） 【项目名称】设计校园“三角形支架”（工程·美术·信息科技） 任务1　建模：用三根木条首尾相接做一个三角形支架，其中两根木条长40厘米、60厘米，第三根木条长x厘米，求x的取值范围。 任务2　制作：用硬纸板剪出满足条件的三角形，验证其稳定性，并解释“较短两边之和＞最长边”。 任务3　找重心：用悬挂法（或画三条中线）找出三角形支架的重心，在纸板上标出。 任务4　AI辅助：可借助AI工具（如豆包）核对三边关系与角度计算；AI答案仅供参考，以课本法则为准。 任务5　分享：展示支架与重心标记，说明三角形在建筑、桥梁中广泛应用的原因。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决实际问题、以跨学科主题学习为主。本项目融合工程（支架设计）、美术（模型制作）、物理（重心与平衡）与数学（三边关系、中线），体会“稳定性”的价值。 评价维度 分值 评价标准 建模计算 20 三边范围求解正确，理由充分 模型制作 30 支架符合三边关系，稳定性验证清楚 重心探究 20 能用中线交点说明重心，操作规范 展示交流 20 作品完整，表达清楚 AI使用与反思 10 规范使用AI工具、有反思 延伸思考：三角形“形状唯一确定”的特性，也是测量、定位的数学基础；九年级学习二次函数时，图象与坐标轴围成的三角形面积问题仍要借助本章的线段与高。 五、月考加油站 · 仿真小测（限时15分钟，满分50分，每题10分） M1（选择·★）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　） A．2，3，6　B．3，4，8　C．5，6，10　D．5，6，11 M2（选择·★）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝65°，则∠C＝（　） A．60°　B．70°　C．80°　D．90° M3（填空·★）等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为＿＿＿＿。 M4（填空·★★）在△ABC中，∠ACD是外角，∠ACD＝120°，∠A＝45°，则∠B＝＿＿＿＿°。 M5（解答·★★）在△ABC中，AD是中线，AB＝6cm，AC＝9cm，比较△ABD与△ACD的周长大小，并说明理由。 六、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．先默写主线：三角形概念 → 三边关系 → 高、中线、角平分线 → 内角和 → 外角 → 分类与稳定性。 2．三边问题口诀：“较短两边之和＞最长边”；第三边范围＝“差＜x＜和”。 3．角度问题三把钥匙：内角和180°、外角＝不相邻两内角和、直角三角形两锐角互余。 4．等腰三角形一定要分类讨论，并检验能否构成三角形。 5．限时自评：基础＋提升部分建议40分钟内完成，对照答案解析记录丢分类型。 衔接展望（教师参考）：三角形是初中几何的基石——第十四章全等三角形、第十五章轴对称（等腰三角形）都建立在本章概念之上；九年级二次函数图象与坐标轴围成的三角形面积问题，也用到本章的线段与高。学生题目中不涉及上述超纲内容。 七、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它判断错在“概念”还是“计算” 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出2道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用课本定义与定理逐条检验AI解析（如“高是否垂直对边”） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤、评分要点与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固（每题5分，共50分） A1　B。解析：三角形必须是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形；A漏掉“不在同一直线上”，C、D表述不完整。 A2　B。解析：∠C＝180°－50°－60°＝70°。 A3　C。解析：A中1＋2＝3，不能；B中2＋2＝4＜5，不能；C中3＋4＝7＞5，能；D中4＋5＝9，等于9，不能。 A4　C。解析：三角形具有稳定性。 A5　3；3；BC。解析：三角形有3条边、3个内角；顶点A的对边是BC。 A6　4＜x＜14。解析：9－5＝4＜x＜9＋5＝14。 A7　54。解析：∠C＝180°－90°－36°＝54°。 A8　48。解析：两锐角互余，90°－42°＝48°。 A9　110。解析：外角∠ACD＝∠A＋∠B＝60°＋50°＝110°。 A10　重心。解析：三条中线的交点叫重心。 （二）能力提升（每题5分，共30分） B1　B。解析：钝角三角形有两条边上的高在三角形外部；A、C、D均错（直角三角形三条高，高、中线、角平分线都是线段）。 B2　B。解析：若腰为4，三边4、4、9，4＋4＝8＜9，不能组成三角形；腰为9，三边9、9、4，能组成，周长9＋9＋4＝22。 B3　5；9。解析：7－3＝4＜x＜7＋3＝10，x为整数可取5、6、7、8、9，共5个，最大为9。 B4　90；直角。解析：∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∠A＝∠B＋∠C，所以2∠A＝180°，∠A＝90°。 B5　∠A＝40°，∠B＝80°，∠C＝60°。解析：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°＋20°，x＋2x＋x＋20＝180，x＝40。评分要点：设元2分、列式3分。 B6　125°。解析：∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝110°；∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)÷2＝55°；∠BOC＝180°－55°＝125°。评分要点：三步各1～2分。 （三）综合应用（共20分） C1　(1) 60米＜BC＜300米；(2) 299米。解析：180－120＝60＜BC＜180＋120＝300；BC为整数米，最大299米。评分要点：第(1)问4分，第(2)问2分。 C2　(1) 110°；(2) 55°。解析：∠ACD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°；CE平分∠ACD，∠ACE＝∠ACD÷2＝55°。评分要点：每小题3分。 C3　(1) BC＝14，BD＝7；(2) 21。解析：BC＝32－10－8＝14；D是BC中点，BD＝7；中线把三角形分成面积相等的两部分，△ABD面积＝42÷2＝21。评分要点：第(1)问4分（BC、BD各2分），第(2)问4分。 （四）月考仿真小测（每题10分，共50分） M1　C。解析：5＋6＝11＞10，能组成三角形；其余均不能（2＋3＝5＜6，3＋4＝7＜8，5＋6＝11）。 M2　B。解析：∠C＝180°－45°－65°＝70°。 M3　17。解析：腰为3时3＋3＝6＜7不能组成三角形；腰为7，周长7＋7＋3＝17。 M4　75。解析：外角∠ACD＝∠A＋∠B，∠B＝120°－45°＝75°。 M5　△ACD的周长更大，大3cm。解析：AD是中线，BD＝CD；△ABD周长＝AB＋BD＋AD＝6＋BD＋AD，△ACD周长＝AC＋CD＋AD＝9＋CD＋AD，因为BD＝CD，所以△ACD周长比△ABD大9－6＝3cm。评分要点：说明BD＝CD 5分，结论5分。 说明：本卷题目为原创命制；情境数据（长度、角度等）为示例或公共常识性约值，教师可替换为当地真实数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $