4.2.2指数函数的图象和性质 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课题

4.2.2　指数函数的图象和性质

教学目标

1.类比幂函数的研究方法，通过描点法画出指数函数的图象，归纳出指数函数的性质，并能利用单调性比较两个指数幂的大小，培养直观想象与逻辑推理素养。

2.类比指数函数图象的对称性，探究底数互为倒数的两个指数函数图象的关系并加以证明，体会数形结合思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。

教学内容

教学重点：指数函数的图象与性质。教学难点：利用指数函数的单调性比较大小及底数对图象的影响。

教学过程

一、整体概览

引言：前面我们学习了幂函数，通过画出幂函数的图象，研究了幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。现在我们引入了另一种重要的函数模型——指数函数，本节课我们将类比研究幂函数的方法，进一步研究指数函数的图象和性质。

前面学过的相关内容有幂函数的图象与性质，以及指数与指数幂的运算。

本小节主要研究指数函数的图象画法、图象特征及其性质。

设计意图：通过回顾幂函数的研究路径，类比引出指数函数的研究思路，让学生明确本节课的学习方向，体会数学研究方法的一致性和连贯性，为后续探究指数函数的图象和性质做好铺垫。

二、新知探究

1.指数函数图象的探究

问题1：指数函数的图象是怎样的？它具有哪些性质？在同一直角坐标系中画出函数和的图象。如图1，通过描点法可以发现，这两个函数的图象都经过点，且当底数大于1时，图象呈上升趋势；当底数大于0小于1时，图象呈下降趋势。预设学生回答：图象都在轴上方，且都过定点。

实例1：细胞分裂时，一个细胞分裂一次变成2个，分裂两次变成4个，分裂次变成个。随着分裂次数的增加，细胞数量急剧增长，这对应了函数图象在轴右侧迅速上升的趋势。预设学生回答：指数增长非常快。

结论名称为指数函数的单调性。文字表示：当底数时，指数函数在定义域上单调递增；当时，单调递减，且都过定点。图形表示为上升或下降的曲线。符号表示：当时，若，则；当时，若，则。作用：用于比较大小和实际建模。设计意图：通过实例观察，归纳出指数函数的基本性质，培养直观想象能力。

例1．比较与的大小。

追问1：这两个值可以看作哪个函数的函数值？预设回答：函数。追问2：该函数的单调性如何？预设回答：因为底数，所以是增函数。追问3：自变量的大小关系如何？预设回答：。

证明：根据单调性比较。

因为，所以指数函数在定义域上是增函数。又因为，所以。这表明利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系。

答案：

追问4：若比较与的大小呢？预设回答：因为，所以函数是减函数，且，所以。

答案：

设计意图：通过追问引导，让学生掌握利用指数函数单调性比较同底数幂大小的方法，提升逻辑推理能力。

2.图象对称性的探究

问题2：底数互为倒数的两个指数函数的图象有什么关系？实例2：在同一直角坐标系中画出函数和的图象。如图2，观察发现这两个函数的图象关于轴对称。因为，点与点关于轴对称，所以函数图象上任意一点关于轴的对称点都在函数的图象上。预设学生回答：它们关于轴对称。

动画演示过渡：通过几何画板动态展示一个图象翻折得到另一个图象的过程，直观感受对称性。实例3：继续观察图象，回答下列问题。

当时，两个函数的函数值范围是什么？预设学生回答：当时，，