4.2.2 指数函数的图象和性质-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 分层递进的同步练习，从基础巩固到高考对接，覆盖指数函数图象与性质全知识点，梯度合理，助力数学思维与应用能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|教材基础概念（定义域、单调性等）|基础填空、判断，结合生活情境（人口增长），夯实数学眼光| |B组|单一知识点（图象应用、性质应用等）|变式题与区域考题，如单调性判断、图象识别，培养数学思维| |C组|综合知识点（复合函数、奇偶性等）|跨知识点解答题，如函数性质与不等式结合，深化逻辑推理| |D组|高考考点|高考真题，如函数奇偶性、单调性应用，对接高考要求|

4.2.2　指数函数的图象和性质 1.解题思路　(1)观察题图,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过40年约为20万人,经过60年约为40万人,经过80年约为80万人,即由10万人增加到20万人所用的时间约为20年,由20万人增加到40万人所用的时间约为20年,由40万人增加到80万人所用的时间约为20年.所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年. (2)由(1)知倍增期约为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人. 2.(0,+∞)　减函数　增函数　>　0<y<1　=　=　0<y<1　> 3.(1)✕　(2)√　(3)√　(4)✕ 4.C　函数f(x)=中8-2x≥0,即2x≤8=23, 所以x≤3,即f(x)的定义域为(-∞,3].故选C. 5.BD　对于A,由题图可知函数f(x)单调递减,则0<a<1,故A错误; 对于B,当x=0时,f(0)=a0-b=1-b,由题图可得1-b<0,解得b>1,故B正确; 对于C,b-a>0,由y=2x是增函数,得2b-a>20=1,故C错误; 对于D,由b>1,得函数g(x)是增函数, 当x=0时,由0<a<1得g(0)=b0-a=1-a>0,故D正确. 故选BD. 6.(1)>　(2)<　(3)> 7.A　在第一象限内作直线x=1,则该直线与y1,y2,y3,y4的图象交点的纵坐标依次为,3,,10.因为10>3>>,所以在第一象限内从上到下的曲线依次为y4,y2,y1,y3,故选A. 一题多解　y2=3x与y4=10x单调递增,且y4=10x的图象上升得快,故排除B,C;y1=与y2=3x的图象关于y轴对称提示:y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,y3=10-x与y4=10x的图象关于y轴对称,故排除D,故选A. 变式7-1　B　作直线x=1,则该直线与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1,a),(1,b),(1,c),(1,d), 由图可知纵坐标的大小关系为b<a<1<d<c. 8.D　当x=1时,f(1)=a1-1+1=2, 所以f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(1,2). 故选D. 9.D　∵a0=1,∴f(x)=ax-1-2的图象恒过定点(1,-1), ∴m=1,n=-1,∴g(x)=1+,其图象不经过第四象限, 故选D. 10.A　当x>0时,f(x)=3x,在(0,+∞)上单调递增,排除C,D; 当x<0时,f(x)=-3x,在(-∞,0)上单调递减,排除B.故选A. 11.D　由已知得2b=3c=,易知a>0, 在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=3x的图象,如图: 由图知当>1,即0<a<6时,0<c<b, 当0<<1,即a>6时,b<c<0, 所以a<b<c不可能成立, 故选D. 12.解题思路　(1)将f(x)的图象向右平移一个单位即得f(x-1)的图象,如图1. (2)作出f(x)在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象,去掉f(x)图象在y轴左侧部分即得f(|x|)的图象,如图2. (3)将f(x)的图象向下平移一个单位即得f(x)-1的图象,如图3. (4)以x轴为对称轴,画出与f(x)的图象对称的图象即得-f(x)的图象,如图4. (5)将(3)所得图象在x轴下方部分翻折到x轴上方,x轴上及x轴上方保持不变即得|f(x)-1|的图象,如图5. 　　 13.C　指数函数y=单调递减,则0<<1,得0<a<2,所以实数a的取值范围是(0,2).故选C. 14.C　因为x∈[-1,2],所以|x|∈[0,2],所以y=3|x|-1∈[0,8].故选C. 15.A　因为y=在(0,+∞)上单调递增,且>, 所以>,故a>c, 因为y=是减函数,且>, 所以<,故b<c, 故b<c<a,故选A. 16.答案　 解题思路　易知指数函数y=在[1,+∞)上单调递减, 所以0<≤=, 即函数y=在[1,+∞)上的值域为. 17.答案　f(x)=(答案不唯一) 解题思路　由∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y),知f(x)=ax(a>0且a≠1)满足条件, 又x<0时,f(x)>1,所以0<a<1, 故满足这两个条件的一个函数为f(x)=. 18.解题思路　(1)由已知得f(0)=a0+b=1+b=2,f(2)=a2+b=10,所以b=1, 又a>0,所以a=3,所以f(x)=3x+1. (2)当0<a<1时,f(x)在区间[2,3]上单调递减, 此时f(x)max=f(2)=a2+b,f(x)min=f(3)=a3+b, 所以(a2+b)-(a3+b)=,解得a=或a=0(舍去); 当a>1时,f(x)在区间[2,3]上单调递增, 此时f(x)max=f(3)=a3+b,f(x)min=f(2)=a2+b, 所以(a3+b)-(a2+b)=,解得a=或a=0(舍去). 综上,a的值为或. 19.A　令u=|x-1|=则其单调递减区间为(-∞,1],又函数y=3x为增函数, 所以函数f(x)=3|x-1|的单调递减区间为(-∞,1].故选A. 方法总结　与指数函数有关的复合函数的单调区间的求法 形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调区间与f(x)的单调区间有关.若a>1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调递增(减)区间;若0<a<1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递减(增)区间,即“同增异减”. 20.D　令t=f(x)=x2-2x+3,其图象的对称轴为直线x=1,开口向上,∴t=f(x)≥f(1)=2, 对于y=,∵0<<1, ∴函数y=在[2,+∞)上单调递减, ∴y∈,故选D. 21.答案　;[1,3] 解题思路　令-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3, 所以函数y=的定义域为[-1,3], 当x∈[-1,3]时,-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[0,4],所以∈[0,2], 所以∈,即函数y=的值域为. 令t=,x∈[-1,3],令u=-x2+2x+3,其在[-1,1)上单调递增,在[1,3]上单调递减, 而函数t=在定义域内为增函数,所以函数t=在[-1,1)上单调递增,在[1,3]上单调递减, 又因为函数y=是减函数,所以函数y=的单调递增区间为[1,3]. 方法总结　与指数函数有关的复合函数的值域的求法 (1)求形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的值域,先令u=f(x),求出u=f(x)的值域,再结合y=au(a>0且a≠1)的单调性求出y=af(x)(a>0且a≠1)的值域.当a与1的大小关系不确定时,需要对a分类讨论. (2)求形如y=f(ax)(a>0且a≠1)的函数的值域,令u=ax(a>0且a≠1),先求出u=ax(a>0且a≠1)的值域,再结合y=f(u)的单调性求y=f(ax)(a>0且a≠1)的值域. 22.AC　若0<a<1,则1<2-a<2,y=ax是R上的减函数,y=x2-a在[0,+∞)上单调递增,且图象呈现下凸趋势,故A正确,B,D错误; 若a>1,则不妨取a=3,则2-a=-1,y=3x是R上的增函数,y=x-1=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故C正确.故选AC. 23.B　对于A,由2x-1≠0,得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0}, 由f(x)为奇函数,得f(x)+f(-x)=0, 即+=0,即+==0, 又2x-1≠0,所以a-1=0,解得a=1,故A中说法正确; 对于B,由对选项A的分析知f(x)==1+, 当x<0时,2x-1<0. 又函数y=2x-1在(-∞,0)上单调递增, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,故B中说法不正确; 对于C,令y=,得2x=>0,且2x≠1,解得y<-1或y>1, 所以f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故C中说法正确; 对于D,因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(x)为奇函数, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 由3x>0,f(3x)>f()得0<3x<=,解得x<, 即原不等式的解集为,故D中说法正确. 故选B. 24.C　f(x)==1+,因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<<1,所以0<<3, 所以1<f(x)<4,即f(x)∈(1,4), 所以y=[f(x)]={1,2,3}.故选C. 解题关键　分离常数得到f(x)=1+,进而结合指数函数的单调性研究函数f(x)的值域,最后根据高斯函数定义求解即可. 25.C　因为对任意x1≠x2,都有 >0成立, 所以f(x)为R上的增函数, 所以解得a>2, 故a的取值范围是(2,+∞). 故选C. 易错警示　在根据分段函数的单调性求参数时,既要注意每一个区间内的函数的单调性,还要注意函数在分段点处的函数值的大小关系,以确保函数在整个定义域上具有单调性. 26.A　因为定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 当x≥1时,f(x)=3x-1,则函数f(x)在[1,+∞)上单调递增, 因为f =f =f ,f =f =f ,且>>>1, 所以f >f >f ,即f >f >f ,故选A. 27.答案　-1 解题思路　当x>0时,-x<0,f(-x)==3x=f(x), 又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为偶函数, 又当x≥0时,f(x)单调递增, 所以由f(m)≥f(m+2),得|m|≥|m+2|, 即m2≥(m+2)2,即4m+4≤0,解得m≤-1, 故实数m的最大值为-1. 28.解题思路　(1)证明:f(x1)+f(x2)=+==. 若x1+x2=2,则·==4. 故f(x1)+f(x2)==2. (2)由(1)可知f +f =2,f +f =2. 易得f(1)=1,所以f +f +f(1)+f +f =5. 29.解题思路　(1)因为函数f(x)=是定义域为R的奇函数,所以f(0)==0,f(-1)=-f(1),即=-,所以n=-1,m=3, 当m=3,n=-1时,f(x)=, 此时f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数,故m=3,n=-1. (2)函数f(x)在R上单调递增,证明如下: f(x)==-, ∀x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=, 因为x1<x2,所以-<0,(+1)(+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上单调递增. (3)因为f(x)为奇函数,所以不等式f(2kx2)+f(4x-1)>0可变形为f(2kx2)>f(1-4x), 又f(x)在R上单调递增,所以2kx2>1-4x, 即对任意x∈,k>=-2·恒成立, 令t=,则t∈,令g(t)=t2-2t=(t-2)2-2,t∈, 则g(t) max=g=-,所以k>-,故实数k的取值范围为. 30.解题思路　(1)f(x)=4x-a·2x+1=(2x)2-2a·2x,x∈[-1,2]. 设2x=t,因为x∈[-1,2],所以t∈, 令g(t)=t2-2at,t∈, 当a=2时,g(t)=t2-4t=(t-2)2-4,t∈, 所以t=2时,g(t)min=g(2)=-4, 故当x=1时,f(x)min=-4. (2)易知y=t2-2at的图象的对称轴为直线t=a. ①当a≤时,g(t)在上单调递增, 所以g(t)min=g=-a; ②当<a<4时,g(t)min=g(a)=-a2; ③当a≥4时,g(t)在上单调递减, 所以g(t)min=g(4)=16-8a. 综上,g(a)= 解后反思　对于含有ax,a2x(a>0且a≠1)的函数表达式,通常进行换元,令t=ax(a>0且a≠1),换元过程中要注意新元的取值范围.本题中,令2x=t,则t∈,原函数可化为g(t)=t2-2at,t∈,对于第(2)问,根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得g(a). 31.D　由题意知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(x)是偶函数,1,-1在f(x)的定义域内,所以f(1)=f(-1),即=,整理得(ea-1)(ea-e2)=0,所以a=2或a=0.当a=0时,eax-1=0,函数无意义,舍去,经检验a=2符合题意.因此a=2.故选D. 32.D　审题指导　观察指数幂a,b,发现底数相同,均为1.01,构造函数y=1.01x,利用函数单调性得到b>a>1.比较a,b与c的大小考虑中间量1,通过构造函数y=0.6x,可得1>c,又因为b>a>1,所以b>a>1>c. 解题思路　 易知y=1.01x在R上单调递增, 所以1=1.010<1.010.5<1.010.6,即1<a<b. 易知y=0.6x在R上单调递减,所以1=0.60>0.60.5=c, 所以b>a>1>c,故选D. 33.D　因为函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以函数y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以≥1(结合函数y=x(x-a)的图象,根据对称轴的位置与区间(0,1)的关系列不等式),即a≥2,故a的取值范围是[2,+∞),故选D. 34.C　因为f(x)=, 所以f(-x)===, 所以f(-x)+f(x)=+==1, f(-x)-f(x)=.故选C. 35.A　因为f(x)=由y=et,t=-(x-1)2复合而成,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 因为<<1<, 所以a=f<f=b.易知c=f=f. 下面比较,与2-的大小关系. 先比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较+与4的大小, 易得(+)2=8+4,42=16, 又<2,所以8+4<16, 故<2-; 再比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较+与4的大小, 易得(+)2=9+6,42=16, 又<,所以9+6>16,故>2-, 故<2-<,故a<c<b,故选A. 36.答案　1 解题思路　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,且f(x)的定义域为R, ∴f(1)=f(-1), ∴2a-=-, ∴a=1. 当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.故a=1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2　指数函数的图象和性质 A组　教材夯基础限时15分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)如图,某城市人口呈指数增长. (1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期); (2)该城市人口从80万人开始,估计经过20年会增长到多少人. 2.(填一填,记一记) 指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 　　　  过定点 图象过定点(0,1),即x=0时,y=1 单调性 在(-∞,+∞)上是　　　  在(-∞,+∞)上是　　　  函数值的 变化范围 当x<0时,y　　1  当x<0时,　　　  当x=0时,y　　1  当x=0时,y　　1  当x>0时,　　　  当x>0时,y　　1  　底数对指数函数图象的影响 (1)左右比较:在直线y=1的上方,a>1时,a越大,图象越靠近y轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近y轴. (2)上下比较:比较图象与直线x=1的交点的纵坐标,交点的纵坐标越大,对应的指数函数的底数越大. 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自下而上,图象越高的指数函数的底数越大,即“底大图高”. am>bm>cm>dm(特别地,m=1时,有a>b>c>d). 3.(判对错) (1)指数函数y=ax中,a可以为负数.(　　) (2)指数函数的图象一定在x轴上方.(　　) (3)y=ax(a>0且a≠1)是单调函数.(　　) (4)函数y=2-x的定义域为{x|x≠0}.(　　) 4.(教材P118习题4.2T1改编)函数f(x)=的定义域为(　　) A.R B.(0,3] C.(-∞,3] D.(-∞,3) 5.(教材P118练习T1改编)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列选项正确的是(　　) A.a>1 B.b>1 C.2b-a<1 D.g(x)=bx-a的图象不经过第四象限 6.(教材P117例3改编)比较下列各组中两个数的大小: (1)31.5　　　　31.3;  (2)0.31.5　　　　0.31.3;  (3)31.5　　　 . B组　单一知识点限时35分钟 　　　　　　　 知识点1　指数函数的图象及应用 7.()已知y1=,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式7-1　(改变条件和结论)指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大 小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.a<b<1<d<c D.1<a<b<c<d 8.(2025吉林长春期末)函数f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过的定点是(　　) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 9.(2025重庆渝中阶段练习)已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.(2024四川绵阳期中)函数f(x)=·3x的大致的图象是(　　) 11.(2025江苏期中)若实数a,b,c满足a2b=a3c=6,则下列不等关系中不可能成立的是(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 12.()利用函数y=f(x)=2x的图象,作出下列各函数的图象: (1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1; (4)-f(x);(5)|f(x)-1|. 知识点2　指数函数的性质及应用 13.(2024海南期末)已知指数函数y=单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(-∞,2) C.(0,2) D.(-2,0) 14.(2024北京平谷期末)函数y=3|x|-1的定义域为[-1,2],则其值域为(　　) A.[2,8] B.[1,8] C.[0,8] D.[-1,8] 15.(2025江西九江阶段练习)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a 16.(2025上海静安阶段练习)函数y=,x∈[1,+∞)的值域是　　　　.  17.开放题(2024重庆期末)已知函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y);当x<0时,f(x)>1.则满足这两个条件的一个函数为　　　　.  18.(2024广东潮州期末)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若函数f(x)的图象过(0,2)和(2,10)两点,求f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间[2,3]上的最大值比最小值大,求a的值. 知识点3　指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1)的性质 19.知方法()函数f(x)=3|x-1|的单调递减区间为(　　) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,0] D.[0,+∞) 20.(2025广东惠州期中)函数y=的值域是(　　) A.[2,+∞) B. C. D. 21.知方法(2024重庆沙坪坝阶段练习)函数y=的值域为　　　　　,单调递增区间为　　　　　.  C组　综合知识点限时40分钟 　　　　　　　 22.(2024黑龙江哈尔滨期中)(多选)在同一平面直角坐标系中,函数y=x2-a,y=ax(a>0且a≠1)的图象C1,C2可能是(　　) 23.(2025天津宝坻阶段练习)已知f(x)=是奇函数,则下列说法中不正确的是(　　) A.a=1 B.f(x)在(-∞,0)上单调递增 C.f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞) D.f(3x)>f()的解集为 24.(2024湖北武汉期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为(　　) A.{0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} 25.明易错(2024广东惠州期末)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)满足对任意x1≠x2,都有 >0成立,则a的取值范围是(　　) A.(0,1) B. C.(2,+∞) D. 26.(2024山东菏泽期末)定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),当x≥1时,f(x)=3x-1,则下列各式正确的是(　　) A.f >f >f B.f >f >f C.f >f >f D.f >f >f 27.(2025上海松江期末)已知函数f(x)=则满足f(m)≥f(m+2)的实数m的最大值为　　　.  28.(2024广西期末)已知函数f(x)=. (1)证明:若x1+x2=2,则f(x1)+f(x2)=2; (2)求f +f +f(1)+f +f 的值. 29.(2024湖北武汉期末)已知函数f(x)=是R上的奇函数. (1)求实数m,n的值; (2)判断函数f(x)的单调性,并用单调性的定义证明; (3)若f(2kx2)+f(4x-1)>0在上恒成立,求实数k的取值范围. 30.(2024云南昆明期末)已知函数f(x)=4x-a·2x+1,x∈[-1,2]. (1)当a=2时,求f(x)的最小值; (2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的解析式. D组　高考怎么考限时15分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 31.(2023全国乙)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 32.(2023天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 33.(2023新课标Ⅰ)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 34.(2022北京高考)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 35.(2023全国甲)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 36.(2021全国新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $