4.3-4.4 相似三角形认识与判定分层练习 2026～2027学年浙教版九年级上册数学

4.3-4.4 相似三角形认识与判定分层练习 2026~2027 学年浙教版九年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.3 两个相似三角形　4.4 两个三角形相似的判定 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列说法中，错误的是（　　） A．全等三角形一定是相似三角形　B．两个等边三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似　D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 全等是相似比为 的特殊情形，所以 A 正确。 等边三角形的三个内角都是 ，任意两个等边三角形的三个角都分别相等、三边都成比例，所以 B 正确。 等腰直角三角形的三个内角都是 、、，所以 C 正确。 两个直角三角形只有一个直角相等，另外两个锐角不一定分别相等。例如内角为 、、 的三角形与内角为 、、 的三角形就不相似，所以 D 错误。 2． 与 相似，，，则 等于（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 在 中，。 因为 ，按表示法的顺序， 与 、 与 、 与 分别是对应顶点， 所以 ，选 C。 3． 与 的相似比为 。若 ，则 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 与 的相似比就是它们的对应边之比， 所以 。把 代入，得 ， 去分母得 ，所以 ，选 B。 4．、 分别是 与 的对应边，且 ，，则 与 的相似比是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 「 与 的相似比」是按顺序把第一个三角形的对应边作前项、第二个三角形的对应边作后项， 即 ，所以相似比是 。 如果写成 ，那是「 与 的相似比」，前、后项的顺序反了。 5．如图， 是 斜边 上的高。下列判断中，正确的是（　　） A． 只与 相似　B． 只与 相似 C． 与 、 都相似　D． 与图中的任何一个三角形都不相似 【答案】C 因为 是斜边 上的高，所以 ，。 在 与 中， 是公共角，， 所以 （两角分别相等的两个三角形相似）。 在 与 中， 是公共角，，所以 。 于是 。所以 与 、 都相似，选 C。 6．在 与 中，，，，，，则 与 （　　） A．相似，相似比为 　B．相似，相似比为 　C．不一定相似　D．不相似 【答案】A 因为 ，，所以 。 又 ，且 与 分别是 、 与 、 的夹角， 所以 （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），相似比是 ，选 A。 7．如图， 是 的边 上一点，连结 。要使 ，下列添加的条件中，错误的是（　　） A．　B． C．　D． 【答案】D 由 可知对应顶点是 与 、 与 、 与 。 A： 与 是对应角，再加上公共角 ，可用 AA 判定，正确； B： 与 是对应角，再加上 ，可用 AA 判定，正确； C： 是两组边成比例，而 正好是这两组边的夹角，可用 SAS 判定，正确； D： 中， 与 是 的边， 与 是 的边，它们不是同一个角的两边，不能判定相似，错误。 8．设 的三边长分别为 、、， 的两边长分别为 和 。若 ，则 的第三边长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 的三边之比为 。 把三项都除以 ，得 。 因为 ，所以 的三边之比也是 。 它已知的两边 、 正好对应这个比中的前两项，所以第三边对应 ，选 A。 9．在 中，点 在边 上，点 在边 上。下列条件中，不能判定 的是（　　） A．　B． C．　D． 【答案】D A：，由预备定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）可知 ，能判定； B：，再加上公共角 ，可用 AA 判定，能判定； C： 是两组边成比例，而 是这两组边的夹角，可用 SAS 判定，能判定； D： 中， 与 的夹角是 ，而 与 不是由这个角张开的两边，只有两组边成比例不足以判定相似，不能判定，选 D。 10．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 ， 与 的顶点都在格点上。下列说法中，正确的是（　　） A． 与 的相似比为 　B． 与 的相似比为 C． 与 不相似　D． 与 全等 【答案】A 由网格可以数出 ，，； ，，。 因为 ，，， 所以 （三边成比例的两个三角形相似）。 相似比要按顺序写：「 与 的相似比」是 ； 而 是「 与 的相似比」。 所以 A 正确、B 错；两个三角形对应边之比为 ，不是全等，C、D 也错。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若 与 相似，且 ，则当 中 时， 中 　　　　　。 【答案】 因为 ，所以 ， 即 。 注意相似三角形中所有对应边的比都等于相似比，所以 的比值可以直接用到 与 上。 12．若 ，，，则 　　　　　。 【答案】 ，对应顶点依次是 与 、 与 、 与 ， 所以 ，。 在 中，。 13．如图，在 中， 于点 ， 于点 。若 ，，，则 　　　　　。 【答案】 因为 ，，所以 。 在 与 中， 是公共角，， 所以 （两角分别相等的两个三角形相似）。 由对应边成比例得 ，即 ， 所以 ，。 14．已知 与 中 ，且 ，则判定它们相似的依据是 　　　　　（填「AA」「SAS」或「SSS」）。 【答案】SAS 因为 与 分别是 、 与 、 的夹角， 且 ，即这两组边成比例， 所以 ， 依据是「两边成比例且夹角相等的两个三角形相似」，简称 SAS。 15．已知 的三边长分别为 、、，与它相似的 的最长边长为 ，则 的最短边长是 　　　　　。 【答案】 两个三角形相似，它们的最长边对应最长边、最短边对应最短边。 的三边中 最长、 最短，所以相似比是 。 设 的最短边长为 ，则 ，解得 。 16．如图，点 是线段 上一点， 于点 ， 于点 ，。若 ，，，则 　　　　　。 【答案】 因为 ，，所以 。 在 中，； 又 ，而 、、 在同一条直线上，所以 。 所以 （同角的余角相等）。 在 与 中，，， 所以 （两角分别相等的两个三角形相似）。 由对应边成比例得 ，即 ， 所以 ，。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分） 与 、 与 、 与 分别是对应顶点，且 与 相似。若 ，，，。 (1) 求 的度数； (2) 求 的长。 【答案】(1) ；(2) (1) 因为 与 相似，对应顶点是 与 、 与 、 与 ， 所以 。 (2) 由相似三角形的对应边成比例，得 。 把 ，， 代入，得 ， 所以 ，。 18．（7 分）点 在 的边 上，连结 ，且 （如图）。 (1) 求证：； (2) 若 ，，求 的长。 【答案】(1) 见解析；(2) (1) 证明：在 与 中， 因为 （已知），（公共角）， 所以 （两角分别相等的两个三角形相似）。 (2) 因为 ，对应顶点是 与 、 与 、 与 ， 所以 。把 ， 代入，得 ， 所以 ，。 19．（7 分）如图，，，，，。 求证：。 【答案】见解析 证明：因为 ，，，， 所以 ，， 所以 。 又 （已知），且 与 分别是 、 与 、 的夹角， 所以 （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 20．（8 分）如图，在正方形 中， 是边 的中点，点 在边 上，且 ，连结 、。 (1) 求 与 的值； (2) 判断 与 是否相似，并说明理由。 【答案】(1) ，；(2) 相似，理由见解析 设正方形 的边长为 （），则 。 因为 是 的中点，所以 。 因为 ，所以 ，得 。 (1) ，。 (2) 与 相似。理由： 因为 是正方形，所以 ； 又 ，即 、 与 、 两组对应边成比例，且 与 是它们的夹角， 所以 （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 21．（8 分）等腰 中，， 为 延长线上一点， 为 延长线上一点，且 （如图）。 求证：。 【答案】见解析 证明：因为 ，所以 。 因为 、、、 在同一条直线上， 所以 ，， 从而 。 因为 ，即 ， 又 ，所以 。 两边同除以 ，得 。 在 与 中， （即 、 与 、 两组对应边成比例），且 是它们的夹角， 所以 （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 22．（9 分）已知在 中，，， 是边 上一点， 是边 上一点，且 。若 与 相似，求 的长。 求 的长。 【答案】 或 题目只说 与 相似，没有指明对应顶点的顺序，所以要分类讨论。 因为 在边 上、 在边 上，所以 ，即 是公共角， 与 一定对应。 ① 若 ，则对应顶点是 与 、 与 、 与 ， 于是 ，即 ，所以 ，； ② 若 ，则对应顶点是 与 、 与 、 与 ， 于是 ，即 ，所以 ，。 所以 的长为 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3-4.4 相似三角形认识与判定分层练习 2026~2027 学年浙教版九年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.3 两个相似三角形　4.4 两个三角形相似的判定 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列说法中，错误的是（　　） A．全等三角形一定是相似三角形　B．两个等边三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似　D．两个直角三角形一定相似 2． 与 相似，，，则 等于（　　） A．　B．　C．　D． 3． 与 的相似比为 。若 ，则 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 4．、 分别是 与 的对应边，且 ，，则 与 的相似比是（　　） A．　B．　C．　D． 5．如图， 是 斜边 上的高。下列判断中，正确的是（　　） A． 只与 相似　B． 只与 相似 C． 与 、 都相似　D． 与图中的任何一个三角形都不相似 6．在 与 中，，，，，，则 与 （　　） A．相似，相似比为 　B．相似，相似比为 　C．不一定相似　D．不相似 7．如图， 是 的边 上一点，连结 。要使 ，下列添加的条件中，错误的是（　　） A．　B． C．　D． 8．设 的三边长分别为 、、， 的两边长分别为 和 。若 ，则 的第三边长是（　　） A．　B．　C．　D． 9．在 中，点 在边 上，点 在边 上。下列条件中，不能判定 的是（　　） A．　B． C．　D． 10．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 ， 与 的顶点都在格点上。下列说法中，正确的是（　　） A． 与 的相似比为 　B． 与 的相似比为 C． 与 不相似　D． 与 全等 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若 与 相似，且 ，则当 中 时， 中 　　　　　。 12．若 ，，，则 　　　　　。 13．如图，在 中， 于点 ， 于点 。若 ，，，则 　　　　　。 14．已知 与 中 ，且 ，则判定它们相似的依据是 　　　　　（填「AA」「SAS」或「SSS」）。 15．已知 的三边长分别为 、、，与它相似的 的最长边长为 ，则 的最短边长是 　　　　　。 16．如图，点 是线段 上一点， 于点 ， 于点 ，。若 ，，，则 　　　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分） 与 、 与 、 与 分别是对应顶点，且 与 相似。若 ，，，。 (1) 求 的度数； (2) 求 的长。 18．（7 分）点 在 的边 上，连结 ，且 （如图）。 (1) 求证：； (2) 若 ，，求 的长。 19．（7 分）如图，，，，，。 求证：。 20．（8 分）如图，在正方形 中， 是边 的中点，点 在边 上，且 ，连结 、。 (1) 求 与 的值； (2) 判断 与 是否相似，并说明理由。 21．（8 分）等腰 中，， 为 延长线上一点， 为 延长线上一点，且 （如图）。 求证：。 22．（9 分）已知在 中，，， 是边 上一点， 是边 上一点，且 。若 与 相似，求 的长。 求 的长。 学科网（北京）股份有限公司 $