4.5 相似三角形的性质（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

4.5 相似三角形的性质（第2课时） 题型一：已知相似比求周长（比） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课前预习）已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（    ） A．63 B．54 C．45 D．162 6．（2026·云南昆明·二模）如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 题型二：已知相似比求面积（比） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 6．（2026·甘肃天水·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． 题型三：相似的性质解答题综合 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 2．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 5．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）如图，的顶点在的边上，，，现以点为圆心，为半径画弧，交于点． (1)求证：； (2)已知，求边的长． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 题型四：利用相似求坐标 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    题型五：在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：相似三角形的性质与判定证明 1．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 3．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 5．（25-26八年级下·山东泰安·阶段检测）已知：中，，点D、E分别是线段、延长线上的点，满足． (1)求证：； (2)若点D在线段的垂直平分线上，求证：． 6．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 题型七：利用相似三角形的性质与判定求解 1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 2．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 4．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 5．（2026·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______． 题型一：相似三角形的性质与判定动点问题 1．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 2．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 4．（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 6．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为， (1)用含t的式子表示的长； (2)经过几秒，与相似？ 7．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 题型二：相似三角形的性质与判定中最值问题 1．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为4；点在圆上运动（坐标轴上的点除外），若点，点其中，如果，则_____；若，则的最小值为_____． 2．（25-26九年级下·山东威海·阶段检测）如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 3．（2026·广西梧州·二模）已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，点是线段上一点，，，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，点是线段上一动点，过点分别作，，垂足分别为、．连接，则的最小值是__________． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 3．（2026·云南楚雄·二模）的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，P是正方形的对角线上一动点（不与点A，C重合），过点P且垂直于的直线交正方形的边于M，N两点，，设，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 9．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，点在上，点在上，点关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于点，点，若，，，则的长度为 __________________ ． 10．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 11．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接，求证：． 12．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，等边的边长为3，点是边上任意一点（点与点，点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，线段与边交于点． (1)求证：； (2)若，求边的长； (3)求线段的最大值． 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 相似三角形的性质（第2课时） 题型一：已知相似比求周长（比） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 3．（26-27九年级上·全国·课前预习）已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，即可求出△ABC的周长． 【详解】解：∵，且相似比为 ， 又∵的周长为， ∴的周长为． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（    ） A．63 B．54 C．45 D．162 【答案】B 【分析】先确定原三角形的最短边，得到相似比，再计算目标三角形的周长． 【详解】解：在中，，，， 可得原三角形最短边为，原的周长为． 设所求相似三角形的周长为， ∵两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比， ∴， 解得． 6．（2026·云南昆明·二模）如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的周长之比等于． 题型二：已知相似比求面积（比） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解答． 【详解】解：点D，E分别是，的中点， ，， ， ． 4．（2026·河南周口·二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求原等边三角形面积，根据三角形中位线定理得到，相似比为，归纳得出第个三角形面积公式． 【详解】解：如图，过点作， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， 面积比为相似比的平方，即， ∴每个新三角形的面积是前一个三角形面积的 时， 时， 依此类推，可得的面积为：． 5．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 6．（2026·甘肃天水·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，的面积为， ∴， ∴的面积为． 题型三：相似的性质解答题综合 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 2．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 【答案】(1)证明：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，根据平行线的性质可知，进而问题可求证； （2）由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得，再证，，根据两组对角相等，可证； （2）作于点G．由等腰三角形三线合一，可得，再由勾股定理计算出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且，，，， ，． ． （2）解：如图，作于点G． ，， ． 由勾股定理得． ， ． 由（1）得， ， ． 5．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）如图，的顶点在的边上，，，现以点为圆心，为半径画弧，交于点． (1)求证：； (2)已知，求边的长． 【答案】(1) 证明：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由作图可知，即，进而得到，根据平行线的性质得到，即可证明； （2）由题意可知，根据相似三角形的性质得到，即可求出边的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 题型四：利用相似求坐标 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 题型五：在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质,为使,需满足对应边成比例和对应角相等的条件,通过分析的形状和比例,确定中点的位置,使得与,与,与成比例. 【详解】解：应该为; 当在时,若设每一个小正方形的边长为， 则的各边分别为， 原的各边长为， 此时对应边成比例且比例相等为， 则可得到两个三角形相似， 故选：C ． 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 题型六：相似三角形的性质与判定证明 1．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先证出，则，再得出即可得证； （2）先求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 由（1）已证：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 3．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵点M为中点， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边的中线，， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明，得到，根据斜边上的中线得到，进而推出，即可得出结论； （2）证明，得到，进而得到，设，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段之间的数量关系，求出的值，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E为边中点， ∴， ∵在和中， ， ∴； (2)10 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由中点的定义可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·山东泰安·阶段检测）已知：中，，点D、E分别是线段、延长线上的点，满足． (1)求证：； (2)若点D在线段的垂直平分线上，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)证明：∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质，易证，再结合相似三角形对应边成比例求证即可； （2）根据垂直平分线的性质和等边对等角，易证，再结合相似三角形对应边成比例求证即可． 【详解】（1）略 （2）略 6．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明：延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接． ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用直角三角形的斜边的中线的性质即可解决问题； （2）延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接．想办法证明是的中位线即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 题型七：利用相似三角形的性质与判定求解 1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 2．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【答案】2.4 【分析】设正方形的边长为，证明，，求出的长，作差即可. 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ． ，，正方形的边长为， ， 解得， ． 又由得， ， 即， 解得， ． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先证明，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 4．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 5．（2026·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______． 【答案】 【分析】连接，首先求出、的长，证明，可得，求出即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 题型一：相似三角形的性质与判定动点问题 1．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 2．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 【答案】2.4 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设经过t秒后，， ∵， ∴，即， 解得， 即经过2.4秒后，． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 4．（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 6．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为， (1)用含t的式子表示的长； (2)经过几秒，与相似？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)经过3秒或秒或8秒时，与相似 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，，再分当时，当时，分别表示即可得出结果； （2）分四种情况：当且时；当且时；当且时；当且时；分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴当时，；当时，； （2）解：当且时，则， 即， 解得：； 当且时，则， 即， 解得； 当且时，则， 即，此方程无解； 当且时，则， 即， 解得； 综上所述：经过3或或8秒时，与相似． 7．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 题型二：相似三角形的性质与判定中最值问题 1．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为4；点在圆上运动（坐标轴上的点除外），若点，点其中，如果，则_____；若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应边成比例求；利用相似关系得到，将所求式子转化为两点线段长度，根据两点之间线段最短求最小值． 【详解】解：如图： ∵，，圆半径为， ∴，，（） ∵， ∴ ∴， 解得 由得， ∵， ∴ 即， ∴ 根据两点之间线段最短，的最小值等于线段的长度， ∵，， 由勾股定理得：， 因此的最小值为． 2．（25-26九年级下·山东威海·阶段检测）如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 【答案】16 【分析】作点关于直线的对称点，过点作于点，此时的值最小，最小值为线段的长，利用面积法求出的长，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作于点，连接， 由对称性可知，，，， ， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，最小，最小值为的长， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， ， ， 故的最小值为16． 3．（2026·广西梧州·二模）已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 【答案】1.6 【分析】线段的最小值即点到的距离．作，利用相似三角形对应边成比例求出即可． 【详解】解：过点E作，垂足为， ∵中，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， ∴当点与点重合时，线段最小，线段的最小值为米． 4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，点是线段上一点，，，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，点是线段上一动点，过点分别作，，垂足分别为、．连接，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长交于点Q，连接，过点Q作于点H，证明，，，再证明四边形为矩形，可得，从而得到当最小时，最小，当时，最小，此时点P与点H重合，根据，可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点Q，连接，过点Q作于点H， ∵四边形和均是正方形， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时点P与点H重合， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即最小值为． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 3．（2026·云南楚雄·二模）的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据相似三角形的性质确定相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵∽，的最长边长为，的最长边长为， ∴两三角形的相似比为， ∵的周长为，且相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为． 4．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行且相等的性质证明，结合中点定义得出相似比，进而推导线段与的数量关系． 【详解】解： 四边形是矩形， ，， ， ， 点是边的中点， ， ， ，即， ， ， ∴． 5．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知， 在矩形，， ， ． ∵， ，， ． 又， ， ∴， ． 6．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质说明，可得，再根据一元二次方程根的判别式得出答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴，． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理，得． 关于x的方程中， ∴方程有两个相等的实数根． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，P是正方形的对角线上一动点（不与点A，C重合），过点P且垂直于的直线交正方形的边于M，N两点，，设，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出函数解析式，然后进行判断即可． 【详解】解：∵正方形中， ∴，，， 当在左侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向上，顶点在原点的抛物线的一部分； 当在右侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向下，顶点在的抛物线的一部分； 综上，y关于x的函数图象大致是选项C中的函数图象． 8．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 【答案】 【分析】由折叠性质得，，结合平分可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由折叠的性质可知，， 平分， ， ， 又， ， ， 设，则， ， ， 解得， 的长为． 9．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，点在上，点在上，点关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于点，点，若，，，则的长度为 __________________ ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质、轴对称图形性质证明三角形相似，再根据两个三角形相似对应边成比例求出长度，进而求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵点关于直线的轴对称点为点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据正方形得到，进而证明，结合相似三角形的性质可得；设，则，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：延长交于点，如下图， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，点在的延长线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故； (2) (3)证明：如图，在线段上取点，使得， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 【分析】（1）证明，得到，即可得到，则； （2）先证明，得到，设，则，即可得到，解方程得到． （3）在线段上取点，使得，证明，得到，即可得到为等腰直角三角形，最后得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴． （3）略 12．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，等边的边长为3，点是边上任意一点（点与点，点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，线段与边交于点． (1)求证：； (2)若，求边的长； (3)求线段的最大值． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 由旋转得，， ，即， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，得出，可证明，即可得到结论； （2）先证明，得到，即可求出； （3）由（2）知，，即，设，则，得到，即可得出有最大值． 【详解】（1）略 （2）解：由旋转得，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）知，，即， 设，则， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，有最大值，为． 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $