湖南省五市十校联考2026-2027学年高二上学期10月校内检测数学试题

2026年下学期高二10月校内检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签 字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知直线1：x-y-1=0,则直线1的倾斜角 A晋 B.3 c D呀 2.已知a=(2,一1，-3)，b=(1,-2,-1),若a⊥(a-b),则实数入的值为 A.-2 R-号 c D.2 3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC和BC1所成角的大小为 A.120° B.90° C.60° D.30° 4.已知在四面体OABC中，D是BC的中点，则AD= A.ZOA+70B+0C B.20A+70B-OC coi-号o-20d D.-0i+2o+20d 5.已知平行直线11,12分别过点A(2,5)和B(1,2),则这两条直线之间的距离的最大值为 A.3 B.4 C.23 D.√/10 6.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=3,AD=2,AA'= 3,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°，则CA'的长为 A.√13 B.5 C.√/31 D.√43 【高二数学第1页（共4页）】 7现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一 次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一 场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为3，则在 比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 2 4 A.243 B.243 c 8.设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)十g(x),f(x)十 h(x),g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的 函数；②若f(x)十g(x),f(x)十h(x),g(x)十h(x)均是增函数，则f(x),g(x),h(x) 均是增函数，下列判断正确的是 A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题· D.①为假命题，②为真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y十12=0与ax十8y-11=0,下列结论正确 的是 A.若l1∥12，则a=6 B,若4∥L2,则两条平行直线之间的距离为 C直线1：过定点0，) D.若112，则a=32 10.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有 A.a,a+b,a+b+c B.a+b,b+c;c+a C.a-b;b-c;c-a D.a+b;a-b,3b 11.在空间中，A,B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离 为√2.若二面角C一AB-D为45°，则 A.CD≥√2 B.CD⊥AB C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D.当sin(A店，C=号时，CD1=3厄 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.空间直角坐标系中，点A(1,2,3)和点B关于y轴对称，则点B的坐标为 13.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A(1,0,2),B(3,-1,2),C(-1,2,1),点M在线 段OA上运动，当MB·MC取得最小值时，点M的坐标为 ,此时点M到线段 BC的中点的距离为 14.两直线(m十2)x一y十m=0,x+y=0与x轴相交且能构成三角形，则m满足的条件 是 【高二数学第2页（共4页）】 ⊙ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知直线l经过点P(2,5). (1)若直线1不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程； (2)若直线1与11：2x十y一10=0平行，求直线1的方程，并求1与l1之间的距离. 16.(15分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6G,已知二-3smC 3 +cos C. (1)求角B; (2)若6=2，A币=号AC,且BD=,求△ABC的面积 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，E 为侧棱PD上动点（不含点D,P).PA=3,AB=1,AD=2AB,∠ABC=3 (1)若E为PD中点，证明PB∥平面ACE; (2)若平而PAC与平面ACE夹角的余弦值为2，求PB与平面ACE所成角的正弦值 【高二数学第3页（共4页）】 B 18.(17分) 如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， AD⊥AE,AE=√2.将△ADE沿AD翻折至△ADP,如图2.点M在线段PD上运动. P(E) B 图1 图2 (1)若PM=MD,证明：PB∥平面MAC; (2)若AM⊥CD,且VM-ABP=2VM-ACD,证明：平面PAD⊥平面PCD; (3)求二面角P一CD一A的余弦值的最小值. 19.(17分) 已知对于定义在集合I上的三个函数f1(x),f2(x),f3(x),设(i,j,k)为集合 {1,2,3}的一个无重复数字的排列（即将1,2,3排成一列，如(1,2,3），(1,3,2)等，共有 6种情况).若对任意x∈I,都同时满足f1(x)≤f:(x)且f1(x)十f2(x)≤f:(x)十 f,(x),则称排列(i,j,)是关于这三个函数的一个“1排列”记使得该条件成立的排列 (i,j,k)的个数为n1. (1)若I=[0,十∞)，f1(x)=x2-2x+2,f2(x)=1,f(x)=e,判断(2,1,3)与(1， 3,2)是否为I排列，并说明理由； (2)设f1(x)=x2,f2(x)=tx,f3(x)=x,其中t>0且t≠1. (i)若I=[0,2],讨论nr的值； (i)求正实数6的取值范围，满足当区间I'=[0,6]时，存在t>0,使得nr=4. 【高二数学第4页（共4页）】 B2026年下学期高二10月校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 4 5 6 7 8 答案 A D 0 0 C 题号 10 11 答案 AC AB ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【详解】因为直线1的方程为x一y一-1=0，故直线1的斜率为1， 设1的倾斜角为a,则ane=1,又00<，印a=至 2.【答案】D 【解析】由题意知a·(a-b)=0,即a2-·b=0,又a2=14,a·b=7,∴.14-7入=0，∴.入=2. 3.【答案】C 【详解】连接A1C1,A1B, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1且AA1=CC1,所以四边形AA1C1C 为平行四边形， .AC∥A1C1.∠A1C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角）， .AB=BC1=AiC1, .∠A1C1B=60°， .异面直线AC与BC1所成角的大小是60°. 4.【答案D 【详解】AD=AO+OD, D是BC的中点，故O币=之O+O心)， 故AD-A0+0i=A0+20成+0心)=-0+0成+0d. 5.【答案】D 【解析】如图，平行直线1，lz间的距离是直线1上的点与直线12上的点之间的 距离的最小值，所以当直线11，l2与直线AB垂直时，平行直线11，l2间的距离 最大，即|AB|,AB|=√(2-1)+(5-2)7=√10.所以这两条直线之间的距 离的最大值为√10. 6.【答案】A 【解析】因为CA=-AC=-AB-AD,所以CA=CA+CC=-AB-AD+AA,所以CA: (-AB-AD+AA)2=AB2+AD+AA?+2AB·AD-2AB·AA7-2AD·AA=9+4+9+ 2X3X2Xcos60°-2×3X3×cos60°-2X2X3Xcos60°=13，所以|CA1=√13，即CA'的长为√/13. 7.【答案】C 【高二数学参考答案第1页（共7页）】 B 【详解】甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙雕丙丁，概率为（兮）·台·（传） 81X3' 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为 )号) 2 81X3, 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 5 其概率为 2 2 51 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为P=81X3+81X3十81X3一27， 故选：C 8.【答案】C 【详解】对于①，根据周期函数的定义，f(x)十g(x)=f(x十T)十g(x+T), f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T), h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T), 前两式作差可得：g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x十T), 结合第三式可得：g(x)-g(x十T),h(x)=h(x十T), 同理可得：f(x)=f(x十T),所以①是真命题. 对于②，举反例说明：f(x)=2x,g(x)=一x,h(x)=3x; f(x)十g(x)=x,f(x)+h(x)=5.x,g(x)十h(x)=2x都是定义域R上的增函数， 但g(x)=一x不是增函数，所以②是假命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】AC 【详解】两条直线l1,l2的方程分别为3x十4y十12=0与ax十8y-11=0,它们不重合，若l1∥l2,则4a =3×8,得a=6,检验符合，故A正确；若l1∥l2,由A选项可知，l2:6x十8y一11=0，直线l1的方程可 化为6x十8y+24=0,故两条平行直线之间的距离为 36+6=2,故B错误；由=0， 111+241=7 解得 18y-11=0. x=0 ,即直线1：过定点0，号).故C正确，若1L则3a+4×8=-0,得a=-婴故D错误 8 10.【答案】AB 【解析】由题知a,b,c不共面.对于A,假设存在实数x,y,之，使得xa十y(a十b)十之(a十b十c)=0,即 (x十y十)a+(y十x)b十xc=0,则x=y=之=0，即a,a+b,a十b+c不共面，可以构成空间的一个 基底，故A正确；对于B,假设存在实数x,y,之，使得x(a+b)+y(b+c)+之(c+a)=0,即 (x十x)a十(x十y)b+(y十之)c=0,则x=y=之=0，即a十b,b十c,c十a不共面，可以构成空间的一 个基底，故B正确；对于C,因为(a一b)十(b一c)=一(c-a),所以a一b,b-c,c一a共面，不能构成 空间的-个基底，故C错误；对于D,因为(a十b)-(a一b)=2b= 3 ×3b,所以a十b,a-b,3b共面， 不能构成空间的一个基底，故D错误。 11.【答案】ACD 【高二数学参考答案第2页（共7页）】 【解析】设H,K分别为C,D在直线AB上的垂足，设AB方向的单位向量为e,并记HC=u,KD=v, HK-te, 由题意me1e,且a=2=反M=5,则4=u小cos5=2反.号-2.因为C元 =KD+HK-HC=te十v-u,所以|CD2=(te十v-u)2=t2+2,选项A,因为CD|2=t2+2≥2， 所以CD|≥√2，当且仅当t=0时取等号，则选项A正确选项B,因为CD·e=(te十v一u)·e=t,所 以不一定有CD⊥AB,则选项B错误.选项C,当AB⊥CD时，必有t=0,从而CD=v一u,又(v一u)· v=|v|?-W·v=2-2=0,故CD⊥KD;即CD⊥AB,直线AB,KD是平面ABD内两条相交直线， 所以CD⊥平面ABD,则选项C正确.选项D,设直线AB与CD的夹角为O,因为|CD|2=(te十v u)2=t2+2, 所以|CD=√2+2，t2=|CD2-2,因为HC=w,KD=v,HK=t,CD=KD+ HK-HC=te十v-u,所以|cos0= IcD·el_I(te+v-w)·e_lt IcDl·el CD CDI 1CD2-2 2 =/1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】(-1,2，-3) 【解析】因为点A(1,2,3)和点B关于y轴对称，所以B(-1,2,一3). 18【答案信0,8)（第一空3分，第二京2分） 【解析】设点M(x,y,z),因为点M在线段OA上运动，所以OM∥OA,因为点A(1,0,2),B(3,-1, 2),C(-1,2,1),设OM=tOA(0≤t≤1)，则点M(t,0,2t),所以MB=(3-t,-1,2-2t),MC （-1-,21-2.则成.=8-4.-12-2)(-1-121-2)=52-8-3=5-) 号当：一言时，远·沉取得最小的为号此时点M的华标为列（信）-因为点B8,12。 8 13) C(-1,2,1),所以线段BC的中点的坐标为1,2,2 ,所以点M到线段BC的中点的距离为 -)+台-+- -√30 10 14.【答案】m≠-2，m≠-3，且m≠0 【解析】由(m+2)x-y+m=0得：2x-y+m(x+1)=0,联立+1=0 得x=-1,y=-2,所以 2.x-y=0 直线(m十2)x-y+m=0过定点(-1，-2)，，(-1)+(-2)≠0，.(-1，-2)不在直线x+y=0 上，直线x十y=0与x轴相交于原点(0,0)，直线(m十2)x一y+m=0的斜率为m十2，直线x十y=0 的斜率为-1.，两直线(m十2)x-y十m=0,x十y=0与x轴相交且能构成三角形，.直线(m十2) x一y十m=0不能经过原点，∴.m卡0；直线(m十2)x一y十m=0与x轴不能平行，.m十2≠0，即 m≠-2；直线(m+2)x-y十m=0与直线x+y=0不能平行，∴.m+2≠-1，即m≠-3，综上得m 满足的条件是：m≠一2，m≠一3，且m≠0. 【高二数学参考答案第3页（共7页）】 B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)由直线l不过原点，设直线l的方程为x+y=a(a≠0)，则有2+5=a,解得a=-7,(4分)即 直线l的方程为x十y一7=0.(6分) (2)因为直线L与2x十y-10=0平行，所以设直线1方程为2x十y十m=0,(8分)又直线1经过点 P(2,5),所以2×2+5+m=0,所以m=-9,(10分)所以直线1的方程为2.x十y-9=0,(11分)故1 与1，之间的距离为d=-9二（-101_5.（13分) √22+17 16.答案]1)B=君 2⑤ 8 【详棉11浦正弦定理：二A品B可孙号-出合 又g-5snC+eosC,所以inA-BsnC b 3 sin B 3 +cos C, 即3sinA=√3 sin Bsin C十3 sin Bcos C,…3分 所以3sin(B+C)=√3 sin Bsin C+3 sin Bcos C, 所以3 sin Bcos C+3 cos Bsin C=√3 sin Bsin C+3 sin Bcos C, 得3 cos Bsin C=√3 sin Bsin C, 因为C为三角形内角，所以siC≠0，…5分 所以3cosB=√3sinB,得tanB=√3. 又B∈(0，x),所以B= ………………………………………………………………6分 31 (2)因为AD=号AC,所以D为AC中点，即B元=名B+BC), 所以BD?=BA+BC),所以BA+BC+2BA.BC=9, 即c2十a2十a0=9,①…10分 在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2十c2-2 ac cos B, 义6=2，B=若，所以a2十c2-a心=4，②…12分 由①②得：ac=2· 5 1 所以S△ABC 2 acsin B=号x5xg5v5 2 28 ………………………………………………15分 17.【答案】(1)见详解 (2)3g 26 【详解】(1)如图，连接BD交AC于点F,则F为BD的中点，连接EF,…1分 因为E,F分别为PD,BD中点，所以PB∥EF,…3分 又因为PB平面ACE,EFC平面ACE, 【高二数学参考答案第4页（共7页）】 B 所以PB∥平面ACE.……5分 (2)在平行四边形ABCD中，因为AB=1,AD=2AB,∠ABC= 3 所以在△ABC中，AB=1,BC=2,∠ABC= 3 由余弦定理，得AC=√JAB十BC2-2AB·BC·cOs∠ABC π 1+4-2X1X2×c0s3=3, 所以AB2十AC2=BC2,所以AB⊥AC,…7分 因为PA⊥平面ABCD,AB,AC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC. 所以AB,AC,AP两两垂直，…8分 以点A为坐标原点，AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0)，D(-1,√5,0)，P(0,0,√5) 设PE=入PD,入∈(0,1)，则E(-入，√5入，5(1-入)，…9分 1AC·n=0, 设平面ACE的法向量为n=(a,b,c),则 AE.n=0, 因为AC=(0,W5,0),AE=(-入，W3入，W3(1-), 所以36=0， -a+√5b+√3(1-λ)c=0. 令c=√5入，则a=3(1-入)，b=0,所以n=(3(1-入)，0，√5入)，…11分 设平面PAC与平面ACE的夹角为a, 因为AB=(1,0,0)是平面PAC的一个法向量， 所以cos&=cos(AB,n= 3(1-入) √3(1-λ) 1X√9(1-入)2+317√412-6以+3 由题意得50一)二29 0解得A=号所以a-26 …13分 因为PB=(1,0,一√3)，所以PB与平面ACE所成角的正弦值为 1os(P店，n>1=12-1=V39 26 …15分 2x4+ 18.【解析】1)如图，作出符合题意的图形，连接AC,BD相交于点O,连接OM, P(E) 四边形ABCD为菱形，所以O为BD中点，(2分)又M为PD中点，所以 PB/OM,又OMC平面MAC,PBC平面MAC,所以PB/平面MAC.(4 M 分) (2)如图，作出符合题意的图形，因为VM-AB即=2VM-ACD,有VB-AMp=C-O 2Vc-AMD,所以Vc-AP=2Vc-AMD,得S△MP=2S△AMD,有M是PD靠近D的 三等分点则财-+号ad.(6分) 【高二数学参考答案第5页（共7页）】 B 又ADLAPAP=E,aD=I,所以A-,√传A+号A时-9，pD PE) =百.，DM-PD-.(8分)则AM+DW:=AD,即AMI DM,AML B PD,又AM⊥CD,PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD,所以AM⊥平面 PCD,又AMC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD;(10分) (3)由AD LAE,以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示. A.0c.0. 由题意得平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1),设平面PCD的一个法向 量为n=a.C-(合小--（1. n·DC=0 n·DP=o 2y10 D 2 ,令1=3，则解得y1=5,1=3-5),13分)cos -x1+y1y十之1之=0 3-3y m·n (m,n）= m n ,令1=33y 12+3-3y 之 Z 因为AE1=2,所以y+2=2,令y=2sin0,=2cos,则有4=3-5·Esin0,得6n9+ √2cos0 √2tcos0=3,有sin(0+9)= 3 √2t+6 ≤1，得2≥号，(16分)即sm,a）=m0 m·n 3-√3y + V12+12 c[行小，即二面角P-CD-A的余致值的级小值为写1 V+1 分) 19.【详解】 将6种排列代入定义，化简可得成为I排列的等价条件（需在区间上恒成立）： (1,2,3):恒成立； (1,3,2):需f2≤f3; (2,1,3):需f1≤f2 (2,3,1):需f1≤f2且f1≤f3； (3,1,2):需f1≤f3且f2≤f3； (3,2,1):需f1≤f (1)结论：(2,1,3)不是I排列，(1,3,2)是1排列.理由： 若(2,1,3)是1排列，由引理可知，需f1(x)≤f2(x)在[0，十∞)上恒成立， 即x2-2x十2≤1→(x-1)2≤0→x=1.该不等式仅在x=1时成立，不能对任意x≥0恒成立（如x =0时不成立)，故(2,1,3)不是I排列；…2分 若(1,3,2)是I排列，由引理可知，需f2(x)≤f3(x)在[0，十∞)上恒成立， 【高二数学参考答案第6页（共7页）】 6 即1≤e.因为当x≥0时，指数函数e≥e°=1恒成立，故(1,3,2)是I排列.…4分 (2)()当I=[0,2]时，我们分析引理中涉及的三个基本不等式在该区间上恒成立的条件： ①f1(x)≤f2(x)台x2≤tx台x≤t.要使该式对任意x∈[0,2]恒成立，需t≥2； ②f1(x)≤f3(x)台x2≤x台.x≤1.因为x∈[0,2]，该式不可能恒成立； ③f2(x)≤f(x)台tx≤x台(t-1)x≤0.要使该式对任意x∈[0,2]恒成立，需t<1. 因为条件②绝不成立，所以凡是依赖条件②的排列(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)在此区间上均被淘汰 我们只需考查剩下的排列在不同t范围下的情况：…6分 当0<t<1时：条件①不成立，条件③成立.此时(1,2,3)成立；(1,3,2)因依赖条件③而成立； (2,1,3)因条件①不成立而淘汰.故汀一2.…………………7分 当1t2时：条件①不成立，条件③不成立.此时除了永远成立的(1,2,3)之外，其余均不成立， 故n)=1.…8分 当t≥2时：条件①成立，条件③不成立.此时(1,2,3)成立；(1,3,2)淘汰；(2,1,3)因依赖条件①而 成立.故n打=2…………………………………………………………………………9分 综上所述：当1<t<2时，n1=1;当0<t<1或t≥2时，n1=2.…10分 (ii)在区间I'=[0,8](⑥>0)上，我们分析三个核心不等式恒成立的条件： 条件A(f1≤f2):x2≤tx台x≤t,若要在[0,6]上恒成立，充要条件是6≤t 条件B(f1≤f3):x2≤x台x≤1，若要在[0,6]上恒成立，充要条件是6≤1. 条件C(f2≤f3):tx≤x台(t-1)x≤0，若要在[0,6]上恒成立，充要条件是t<1. ……………12分 6种排列成为I'排列的条件如下： (1,2,3):恒成立 (1,3,2):需条件C成立 (2,1,3):需条件A成立 (2,3,1):需条件A且B成立 (3,1,2):需条件B且C成立 (3,2,1):需条件B成立 我们要求n一4，即上述6个排列中，必须恰好有4个成立，…………………………14分 0δ1时，取t>1,易验证条件A、B成立而C不成立，即恰有4个成立，满足条件： …15分 1<6时，条件B不成立，则上述6个排列中的4,5,6均不成立，不满足条件.…16分 综上，所求6的取值范围为(0,1].………17分 【高二数学参考答案第7页（共7页）】 B