小升初奥数培优讲义01：分数四则混合运算与巧算-2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义01：分数四则混合运算与巧算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1.分数四则混合运算的基本顺序 ()同级运算：如果只有加减法或只有乘除法，从左往右依次计算。 (2)两级运算：既有加减又有乘除，先算乘除，后算加减。 (3)括号优先：有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2.整数运算定律在分数中的推广 整数的运算定律同样适用于分数，这是“巧算”的基础： (I)加法交换律/结合律：a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)。用于凑整（如凑成整数或分母 相同的分数)。 (2)乘法交换律/结合律：a×b=b×a:(a×b)×c=a×(b×c)。用于寻找互为倒数的数或易 约分的数。 (3)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c及其逆运算a×c+b×c=(a+b)×c。这是分数巧算 中最常用的定律，特别是提取公因数。 3.奥数常见巧算技巧 第1页 小升初奥数培优讲义 (1)拆分法（裂项）：将分数拆成两个分数之差，中间项相互抵消。 公式： 1=1×(1-1 n(n+k)kn n+k (2)换元法：当算式中出现重复的复杂部分时，设该部分为字母（如A),简化算式结构， 计算后再代回。 (3)带分数拆分：将带分数拆分为“整数+真分数”，分别进行运算。 (4)倒数法构造法：利用Q÷b=a×上转化除法为乘法，便于约分。 b 豆例题讲解 【典型例题1】乘法分配律的逆运用与变形 题目：计算 5x3+5x55 78787 【详解】 观察算式，发现每一项都含有公因数。 注意最后一项 5-7 可以看作 提取公因数 5× 3+5+1) 88 计算括号内的和： 第2页 小升初奥数培优讲义 =5×(1+1) 7 9(或1) 【答案】 10 【跟踪训练1】 计算： 4×5+4×6+4x1 911911911 【详解】 提取公因数 原式×品+品+ =4×12 911 8 99 分子分母同时除以3进行约分： 16 33 【答案】 8 第3页 小升初奥数培优讲义 【典型例题2】裂项相消法 题目：计算1t1+,1++。1 1×22×33×49×10 【详解】 利用裂项公式 1=1-1 nn+1nn+1,将每一项拆开： 原式=1-2+(33+写寻++写0》 去括号后，中间的项正负抵消： =1-++-…-1+1- 2233 9910 只剩下首项和末项： 1 9 10 【答案】 【跟踪训练2】 计算： 1+1+1+1 2×44×66×88×10 【详解】 注意分母两个因数的差是2，所以裂项时需要乘以 第4页 小升初奥数培优讲义 公式： 1一=1×1-1） n(n+2)2nn+2 原武哈哈言哈台哈 中间项抵消： 分 通分计算括号内： =1×4 210 1×2 -25 【答案】 吉 【典型例题3】换元法简化复杂算式 惠日计算1+分-1+写日好 【详解】 观察算式，发现兮子 重复出现。 设A=+是+1 234 第5页 小升初奥数培优讲义 则原式变为： (1+A×A+号-1+A+号×A 展开第一个乘积： =A+写A+若A-(A+N+号A 5 去括号（注意变号）： =A+号A2+号A-A--号A 5 合并同类项： A与-A抵消： A2与-A2抵消； 号A与A抵消： 剩余项： 【答案】青 【跟踪训练3】 舞：好兮好✉兮 2345 第6页 小升初奥数培优讲义 【详解】 设B=1+1 34 原式=吃+B×(B+-(3+B*×B 展开： 1 51 去括号： 号B*0++B8-g-号B 5 抵消所有含B和B的项： 【答案】 【典型例题4】带分数拆分与分组计算 愿目：计算3对+5宁+7合+9后 816 【详解】 将带分数拆分为整数部分和分数部分，分别相加。 原试-35+79*日*六 第7页 小升初奥数培优讲义 计算整数部分： 3+5+7+9=24 计算分数部分（这是一个等比数列求和，也可以通分）： 1+1+1+1 2'4816 =8+4+2+1 16161616 s15 16 或常利用规#1后君 总和=24+15=2415 16 16 【答案】245 6 【跟踪训练4】 计算1时-9时*8哈 【详解】 拆分整数和分数： 原式10-9+8)+（分言岩 整数部分：10-9+8=9 第8页 小升初奥数培优讲义 分数部分：通分，公分母为6 1-1+1=3-2+1=2=1 23666663 总和=9+ 【答案】9时 提升练习 1.计算： 【详解】观察算式，两项均含有公因数 41 =1×4 【答案】 3-4 2.计算： 99× 6 【详解】将99拆分为(100-1，利用乘法分配律。 原式=(100-1)×7 8 2-1× =100×8 7 8 第9页 小升初奥数培优讲义 =7007 88 =693 (或865) 8 【答案】 693 8 3.计算： 4x5+5x4 911911 【详解】观察发现分子分母交叉对应，交换第二项的分子位置（乘法交换律），使公因数显 现。 推导： 5×4-4×5 911911 原式=2×( 2x20 99 s40 99 【答案】 0 99 4.计算：3.6×5+6.4× 9 【详解】提取公因数 59 原式=3.6+6.4) 第10页 小升初奥数培优讲义 =10× 9 -50 9 <或5 【答案】 50 9 5.计算： 7x5+6÷8 X 138135 【详解】先将除法转化为乘法： ÷8=x5 5-89 原式=品君*品×得 5+6×5 提取公因数 =品+品婚 -1君 8 【答案】日 6.计算： 111+…+1 1x2+2x3+3×4++9x10 【详样】利用公式问片点 原式1-3+分专++写0 中间项相互抵消，只剩首尾： 第11页 小升初奥数培优讲义 =1 9 10 【答案】 9 7.计算： 1+1+1 41 2×44×66×88×10 【详解】分母两数之差为2，放需提取系数· 公式： 1=1(1-1 n(n+22nn+2 原式分+（子+日日后】 持 品品 =1×2=1 255 【答】昌 8.计算： ,1+1+1+1+1 1×33×55×77×99×11 【详解】分母差为2，提取系数 原式=}3+（号君+…+写1】 第12页 小升初奥数培优讲义 1品 9 品 品 【答案】 9.计算： 1+1+1+1 6122030 【详解】先将分母分解为连续整数乘积：6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6。 原式=，1+1+1+1 2×33×44×55×6 利用裂项公式（差为1，系数为1）： =分*分+子言+目 =11 26 =3-1=2-1 6663 【答案】昌 2+2+ 10.计算：x33x55x7如3 19×21 【详解】分子是2，分母差也是2，可以直接裂项，无需额外系数。 2 -11 n(n+2)nn+2 第13页 小升初奥数培优讲义 原式=(1-++…+马分》 【答案】 器 1计第1+写分号+-1*+分+好 【销解】设A-兮子8=号+甘 则原式变为：(1+A)×B-(1+B)×A 展开：=B+AB-A-AB =B-A 代国数值：8-A=吃号甘-兮片号 【答案】吉 12.计算： ✉哈-哈 -+2b=3*4*有 【详解】设a=3+4' 1,1,1 注意第一项括号内为}+a,第二项大括号为}+b。 第14页 小升初奥数培优讲义 原式=(+axb-(号+bxa =b+ab2-ab --(b-a) 因为b-a片 所拟原式兮最 1 【答案】 13.计算：(1+0.23+0.34)×(0.23+0.34+0.45)-(1+0.23+0.34+0.45)×(0.23+0.34) 【详解】设x=0.23+0.34,y=0.23+0.34+0.45。 原式=(1+x)y-(1+y)x =y+xy-x-xy =y-X =0.23+0.34+0.45)-（0.23+0.34) =0.45 【答案】0.45 14计第：若A=号+0求1+A×A+0-(1+A+品)xA 23 【详解】直接展开代数式，无需计算A的具体值。 设B=A+101 1 第15页 小升初奥数培优讲义 原式=(1+A)B-(1+B)A =B+AB-A-AB =B-A A+0-A 1 101 【答案】 1 101 15.计算： 分号*哈号✉培片 2345 【详解】设M=是+1+1+1 十 2345 原式=M+M×名(M+君×M =M2+1M-(M2+2M) =M2+1M-M2-1M 6 6 =0 【答案】0 16计第，+2好对*4合 【详解】拆分整数部分和分数部分。 整数部分：1+2+3+4=10 第16页 小升初奥数培优讲义 分数部分： 通分计算分数部分： 8+4+2+1-15 16 16 总和： 10+5-10l5 16 016 【答案】105 6 17.计算：2023× 2021 2022 【详解】将2023拆分为2022+1。 原式=(2022+1)×2021 2022 =2022×2021+1× 2021 2022 2022 =2021+ 2021 2022 -20212021 2022 【答案】 20212021 2022 111,111 18.计算：2+4+8+6+2+32 【详解】从后往前合并。 1+1-2-1 32323216 1+1=2=1 1616168 第17页 小升初奥数培优讲义 1+1=2=1 8884 1+1=2=1 4442 分 【答案】1 19.计算： 917xg 18 【详解】将9品看作0尚. 原式=(10- 1)×9 =10×9-0×9 =90号 =89.5(或892分 【答案】 89 20.计算： 1 【详解】去括号，观察规律。 原试安片好*付茹品 中间所有项子分子号等均抵消 第18页 小升初奥数培优讲义 最后品+品 也抵消。 剩余：习 【答案】为 模拟赛场 1 1.计算： 1,1 1 1×44×77×10 28×31 【详解】 观察分母，两个因数的差为3，使用裂项公式： 1 n(n+3）3 In n+3 原式 -好份a副 1 9 【答*】品 第19页 小升初奥数培优讲义 2.计算： 6始+6帽+甘+后甘+6 【详解】 换元法，设×日日 则合+好始片× 1,1,1,1,1 +方=x+气 4567 上+L+上+1+=+x+ 345673 7 原式 合*xx*唱*x*升x 3x+21+ 1 1+x2+十、1 321 【答案】员 3.计算：505×3+482×4+36×5 34 45 °56 第20页 小升初奥数培优讲义 【详解】 把每一个带分数拆成“整数十分数”，再用乘法分配律展开： 50348+ 481=45+13 4 4 3630+ 5 原式 =4烟*3*经4×号+号×号+30×8+碧*得 434 `656 =36+7+36+13+25+31 5 6 =(36+36+25)+ +13+31 456 =97+ 210,312,620 120120120 =97+1142 120 =97+571 60 第21页 小升初奥数培优讲义 =97+931 0 -1063 0 【答案】1063 0 第22页小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义01：分数四则混合运算与巧算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1.分数四则混合运算的基本顺序 (1)同级运算：如果只有加减法或只有乘除法，从左往右依次计算。 (2)两级运算：既有加减又有乘除，先算乘除，后算加减。 (3)括号优先：有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2.整数运算定律在分数中的推广 整数的运算定律同样适用于分数，这是“巧算”的基础： (I)加法交换律/结合律：a+b=b+a:（a+b)+c=a+(b+c)。用于凑整（如凑成整数或分母 相同的分数)。 (2)乘法交换律/结合律：a×b=b×a:(a×b)×c=a×(b×c)。用于寻找互为倒数的数或易 约分的数。 (3)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c及其逆运算a×c+b×c=(a+b)×c。这是分数巧算 中最常用的定律，特别是提取公因数。 3.奥数常见巧算技巧 第1页 小升初奥数培优讲义 (1)拆分法（裂项）：将分数拆成两个分数之差，中间项相互抵消。 公式： 1=是x(L-1 n(n+k)kn n+k (②)换元法：当算式中出现重复的复杂部分时，设该部分为字母（如A)，简化算式结构， 计算后再代回。 (3)带分数拆分：将带分数拆分为“整数+真分数”，分别进行运算。 (④倒数法构造法：利用a÷b=a×转化除法为乘法，便于约分。 h 恩例题讲解 【典型例题1】乘法分配律的逆运用与变形 题目：计算×君+号×君+月 【跟踪训练1】 计算：×点+4x6+4x1 911911911 【典型例题2】裂项相消法 第2页 小升初奥数培优讲义 题目：计算，1t1+1+…+1 1×22×3'3×49×10 【跟踪训练2】 计算：，t1+1+1 2×44×66×88×10 【典型例题3】换元法简化复杂算式 题日：算1+×分号+好-1+分分号*号宝 2341 2345 【跟踪训练3】 计第：片兮宁分分兮 345 2"345 第3页 小升初奥数培优讲义 【典型例题4】带分数拆分与分组计算 题目：计算3号+52+71+91 24816 【跟踪训练4】 计绿10吃-9+8哈 提升练习 1.计算： 2.计算：99×7 第4页 小升初奥数培优讲义 3.计算： 4x5+5x4 911911 4.计算：3.6×5+6.4× 5.计算： 7×5+6:8 13*8+35 +1+1 6.计算：1×2+233×4“9×10 1 7计算：4+1+1 2×44×66×88×10 第5页 小升初奥数培优讲义 8计算1妇35g以77女gg以 9计算：+是+1+1 612'20"30 10计第品3品与品*可 1计第1*安后✉哈号子-1+分写号甘×号好 2计算分号×好-号好号 第6页 小升初奥数培优讲义 13.计算：（1+0.23+0.34)×(0.23+0.34+0.45)-(1+0.23+0.34+0.45)×(0.23+0.34) 14计算：若A*+求1+A×A+-1*A+×A 1计算：分号+子号++×君*宁+岩×+号++ 16计第：1号+2好+3日+46 24 °816 17.计算： 2023×2021 2022 第7页 小升初奥数培优讲义 18.计算： 好哈6豆品 19.计算：97×9 18 20计算：分号+兮*子++写+0 模拟赛场 1 1 十…十 1.计算：1×44×77×1028×31 第8页 小升初奥数培优讲义 3.计算：50×3+482×4+ 61×5 3 34 4 56 第9页