奥数培优——定义新运算（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义03：定义新运算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是定义新运算 定义新运算是奥数常见题型，题目会人为规定一个新的运算符号（如：☆、△、※、⊕、# 等），这个符号不是课本上的加减乘除，它的运算规则由题目给出。我们只需要严格按照题目规定的关系式，把新符号替换成普通的＋、－、×、÷ 进行计算。 2. 解题基本步骤 (1) 读规则：看清题目对新运算符号的规定，分清符号前面的数、符号后面的数分别对应算式里的哪一部分。 (2) 对号代入：把题目给出的数字，替换规则式子中对应的字母。 (3) 按四则运算顺序计算：先括号，再乘除，后加减；有多层括号先算小括号，再算中括号。 (4) 求出结果。 3. 常见几种定义新运算类型 类型 1：直接代入型（基础） 格式示例：规定 a※b = 2×a + b 含义：※前面的数是 a，※后面的数是 b，运算等于 2 乘 a 再加 b。 例：3※4=2×3+4=10 类型 2：含括号的新运算（运算顺序） 新运算也要遵守括号优先原则：要先算括号内部的新运算，再算括号外部。 例如求 (2※3)※5，先算出 2※3 的结果，再把这个结果当做新的左数，和 5 做※运算。 类型 3：交换律、结合律不一定成立 ⚠️非常重要：普通加减乘法的交换律、结合律，不一定适用于新定义运算！ 比如规定 a△b = 2a‑b 3△4=2×3‑4=2；4△3=2×4‑3=5，3△4≠4△3。 👉做题不能随便调换前后数字顺序，必须严格按题目给的顺序代入。 类型 4：反求未知数（方程型，中档） 告诉新运算的结果，反求式子里面的未知数。解题方法：代入规则，列出方程，利用等式性质解方程。 类型 5：多个新符号同时出现（拔高） 一道题出现两种不同新运算符号，分开套用各自的规则，互不干扰。 类型 6：找规律型定义新运算（奥数难题） 通过几组例子给出运算规律，不直接给公式，需要自己先总结规律，再计算。 4. 易错提醒 (1) 分清前后数字：a☆b，☆前面是 a，后面是 b，不要把数字代反； (2) 有括号必须先算括号里面的新运算； (3) 不要自己脑补运算规则，规则完全听题目的； (4) 新运算符号没有交换律，不能随意调换左右两个数； (5) 代入之后，严格遵守四则混合运算顺序。 例题讲解 【典型例题 1】基础直接代入计算 规定新运算：a※b = 3×a + 2×b，求 4※5。 【详解】 根据规则：※前面数字为 a，后面数字为 b，a※b=3×a+2×b。 这里 a=4，b=5，代入： 4※5 =3×4+2×5 =12+10 =22 【答案】22 【跟踪训练 1】 规定 a△b=5a‑3b，求 6△2。 【详解】 a=6，b=2 6△2 =5×6‑3×2 =30‑6 =24 【答案】24 【典型例题 2】带括号的定义新运算（先算括号内） 规定：a⊕b = 2a+b，求 (3⊕4)⊕5。 【详解】 新运算括号优先，先算括号内部 3⊕4： 3⊕4 =2×3+4 =6+4 =10 此时原式变为 10⊕5，再次套用公式： 10⊕5 =2×10+5 =20+5 =25 【答案】25 【跟踪训练 2】 规定 a#b =4a‑b，求 (2#3)#6。 【详解】 先算括号内 2#3 2#3 =4×2‑3 =8‑3 =5 再算 5#6 5#6 =4×5‑6 =20‑6 =14 【答案】14 【典型例题 3】方程型：已知结果求未知数 规定 a☆b = 2a+3b，已知 x☆4=26，求 x。 【详解】 把 a=x，b=4 代入运算规则： x☆4 =2×x+3×4 2x+12 =26 2x =26‑12 2x =14 x =7 【答案】x=7 【跟踪训练 3】 规定 a◆b=3a‑2b，已知 5◆x=11，求 x。 【详解】 a=5，b=x，代入： 3×5‑2x =11 15‑2x =11 2x =15‑11 2x =4 x =2 【答案】x=2 【典型例题 4】判断交换律是否成立 定义新运算：a▽b = a+2b。 ①求 2▽5；②求 5▽2；③判断这个运算▽有没有交换律。 【详解】 ① a=2，b=5 2▽5 = 2 +2×5 =2+10=12 ② a=5，b=2 5▽2 =5 +2×2 =5+4=9 ③ 2▽5=12，5▽2=9，12 不等于 9，前后数字交换结果不一样，没有交换律。 【答案】①12；②9；③该运算▽没有交换律。 【跟踪训练 4】 规定 a◎b = 4a‑b，计算 3◎2 和 2◎3，判断是否有交换律。 【详解】 3◎2=4×3‑2=12‑2=10 2◎3=4×2‑3=8‑3=5 10 不等于 5，没有交换律。 【答案】3◎2=10，2◎3=5，没有交换律。 【典型例题 5】找规律型定义新运算（奥数拔高） 规定：2※3=2+3+4；3※4=3+4+5+6；按照这个规律，求 4※5。 【详解】 观察找规律： 2※3：从 2 开始，连续写 3 个自然数相加：2+3+4 3※4：从 3 开始，连续写 4 个自然数相加：3+4+5+6 符号 m※n 含义：从 m 开始，连续 n 个自然数相加。 4※5：从 4 开始，连续 5 个自然数相加： 4※5 =4+5+6+7+8 =30 【答案】30 【跟踪训练 5】 按照例题同样规则：2※3=2+3+4，3※4=3+4+5+6，求 5※3。 【详解】 5※3：从 5 开始，连续 3 个自然数相加。 5※3 =5+6+7 =18 【答案】18 【典型例题 6】两种不同新符号混合计算（综合难题） 已知规定： a△b = a+2b；a※b = 3a‑b 求 (2△3)※4。 【详解】 先算括号内 2△3： 2△3 = 2+2×3 =2+6=8 原式变为 8※4，套用※的规则： 8※4 =3×8‑4 =24‑4 =20 【答案】20 【跟踪训练 6】 规定：a⊕b=2a‑b；a#b=a+3b，求 (1⊕4)#2。 【详解】 先算括号 1⊕4： 1⊕4=2×1‑4=2‑4=-2 再算 (-2)#2 (-2)#2 =-2+3×2 =-2+6 =4 【答案】4 提升练习 1. 规定 a※b=4×a+b，计算 5※6 【详解】a=5，b=6 5※6=4×5+6=20+6=26 【答案】26 2. 规定 a△b=6a‑2b，计算 7△3 【详解】a=7，b=3 7△3=6×7‑2×3=42‑6=36 【答案】36 3. 规定 a#b=2a+5b，计算 (3#2)#4 【详解】先算括号内：3#2=2×3+5×2=6+10=16 再算 16#4=2×16+5×4=32+20=52 【答案】52 4. 规定 a⊕b=3a‑b，已知 x⊕5=13，求 x 【详解】代入规则：3x‑5=13，3x=18，x=6 【答案】x=6 5. 规定 a☆b=a+4b，计算 4☆2 和 2☆4，判断是否有交换律 【详解】4☆2=4+4×2=12；2☆4=2+4×4=18；12≠18 【答案】4☆2=12，2☆4=18，没有交换律 6. 新运算规则：2△4=2+3+4+5，3△2=3+4，求 4△3 【详解】m△n：从 m 开始连续 n 个自然数相加 4△3=4+5+6=15 【答案】15 7. 规定 a◆b=5a‑3b，计算 (4◆1)◆2 【详解】先算 4◆1=5×4‑3×1=20‑3=17 再算 17◆2=5×17‑3×2=85‑6=79 【答案】79 8. 规定 a◎b=2 (a+b)，求 8◎3 【详解】a=8，b=3 8◎3=2×(8+3)=2×11=22 【答案】22 9. 规定 a※b=3a‑2b，已知 6※x=8，求 x 【详解】代入得：3×6‑2x=8，18‑2x=8，2x=10，x=5 【答案】x=5 10. 规定 a△b=a×b‑a，求 7△4 【详解】a=7，b=4 7△4=7×4‑7=28‑7=21 【答案】21 11. 已知 a⊕b=a+3b，a#b=4a‑b，求 (2⊕3)#1 【详解】先算括号 2⊕3=2+3×3=11 再算 11#1=4×11‑1=43 【答案】43 12. 规定 a☆b=a÷2 + b×3，求 10☆4 【详解】a=10，b=4 10☆4=10÷2 +4×3=5+12=17 【答案】17 13. 规定 a#b=4a+b，已知 (x#2)#3=41，求 x 【详解】先把 x#2 看成整体，设 A=x#2=4x+2 A#3=4A+3=41，4A=38，A=9.5 4x+2=9.5，4x=7.5，x=1.875 【答案】x=1.875 14. 按照规律：1※5=1+2+3+4+5，6※3=6+7+8，计算 3※4 【详解】从 3 开始连续 4 个自然数相加 3※4=3+4+5+6=18 【答案】18 15. 规定 a△b=(a‑b)×2，求 12△5 【详解】a=12，b=5 12△5=(12‑5)×2=7×2=14 【答案】14 16. 规定 a※b=5a+b，计算 2※(4※1) 【详解】先算括号内 4※1=5×4+1=21 再算 2※21=5×2+21=10+21=31 【答案】31 17. 规定 a◎b = a×2 + b÷2，求 8◎6 【详解】a=8，b=6 8◎6=8×2+6÷2=16+3=19 【答案】19 18. 规定 a☆b=3a+b，比较 5☆2 与 2☆5 的大小 【详解】5☆2=3×5+2=17；2☆5=3×2+5=11；17＞11 【答案】5☆2=17，2☆5=11，5☆2 大于 2☆5 19. 规定 a#b = a+b×a，求 6#3 【详解】a=6，b=3 6#3=6+3×6=6+18=24 【答案】24 20. 规定 a⊕b=2a‑b，已知 4⊕(x⊕1)=5，求 x 【详解】先算括号：x⊕1=2x‑1 4⊕(2x‑1)=2×4‑(2x‑1)=8‑2x+1=9‑2x 9‑2x=5，2x=4，x=2 【答案】x=2 模拟赛场 1. 定义新运算：a※b = 2a+3b；a△b = a‑2b。 计算：(3※2)△(4※1) 【详解】 先分别算两个括号 3※2=2×3+3×2=6+6=12 4※1=2×4+3×1=8+3=11 原式 = 12△11 =12‑2×11=12‑22= -10 【答案】-10 2. 观察新运算规律：2☆3=2+3+4；5☆2=5+6；4☆6=4+5+6+7+8+9。 ①求 7☆4；②若 x☆3=24，求 x。 【详解】 规律：m☆n 代表从 m 开始，连续 n 个自然数相加。 ①7☆4=7+8+9+10=34 ②x☆3 = x+(x+1)+(x+2)=3x+3 3x+3=24，3x=21，x=7 【答案】①34；②x=7 3. 规定：a#b = (a+b)÷2，已知 (x#4)#6 =5，求 x。 【详解】 先设 A = x#4 = (x+4)÷2 A#6 = (A+6)÷2 =5 A+6 =10，A=4 所以 (x+4)÷2 =4 x+4=8 x=4 【答案】x=4 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $小升初奥数培优讲义 小升初奥数培优讲义03：定义新运算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是定义新运算 定义新运算是奥数常见题型，题目会人为规定一个新的运算符号（如：☆、△、※、⊕、# 等），这个符号不是课本上的加减乘除，它的运算规则由题目给出。我们只需要严格按照题目规定的关系式，把新符号替换成普通的＋、－、×、÷ 进行计算。 2. 解题基本步骤 (1) 读规则：看清题目对新运算符号的规定，分清符号前面的数、符号后面的数分别对应算式里的哪一部分。 (2) 对号代入：把题目给出的数字，替换规则式子中对应的字母。 (3) 按四则运算顺序计算：先括号，再乘除，后加减；有多层括号先算小括号，再算中括号。 (4) 求出结果。 3. 常见几种定义新运算类型 类型 1：直接代入型（基础） 格式示例：规定 a※b = 2×a + b 含义：※前面的数是 a，※后面的数是 b，运算等于 2 乘 a 再加 b。 例：3※4=2×3+4=10 类型 2：含括号的新运算（运算顺序） 新运算也要遵守括号优先原则：要先算括号内部的新运算，再算括号外部。 例如求 (2※3)※5，先算出 2※3 的结果，再把这个结果当做新的左数，和 5 做※运算。 类型 3：交换律、结合律不一定成立 ⚠️非常重要：普通加减乘法的交换律、结合律，不一定适用于新定义运算！ 比如规定 a△b = 2a‑b 3△4=2×3‑4=2；4△3=2×4‑3=5，3△4≠4△3。 👉做题不能随便调换前后数字顺序，必须严格按题目给的顺序代入。 类型 4：反求未知数（方程型，中档） 告诉新运算的结果，反求式子里面的未知数。解题方法：代入规则，列出方程，利用等式性质解方程。 类型 5：多个新符号同时出现（拔高） 一道题出现两种不同新运算符号，分开套用各自的规则，互不干扰。 类型 6：找规律型定义新运算（奥数难题） 通过几组例子给出运算规律，不直接给公式，需要自己先总结规律，再计算。 4. 易错提醒 (1) 分清前后数字：a☆b，☆前面是 a，后面是 b，不要把数字代反； (2) 有括号必须先算括号里面的新运算； (3) 不要自己脑补运算规则，规则完全听题目的； (4) 新运算符号没有交换律，不能随意调换左右两个数； (5) 代入之后，严格遵守四则混合运算顺序。 例题讲解 【典型例题 1】基础直接代入计算 规定新运算：a※b = 3×a + 2×b，求 4※5。 【跟踪训练 1】 规定 a△b=5a‑3b，求 6△2。 【典型例题 2】带括号的定义新运算（先算括号内） 规定：a⊕b = 2a+b，求 (3⊕4)⊕5。 【跟踪训练 2】 规定 a#b =4a‑b，求 (2#3)#6。 【典型例题 3】方程型：已知结果求未知数 规定 a☆b = 2a+3b，已知 x☆4=26，求 x。 【跟踪训练 3】 规定 a◆b=3a‑2b，已知 5◆x=11，求 x。 【典型例题 4】判断交换律是否成立 定义新运算：a▽b = a+2b。 ①求 2▽5；②求 5▽2；③判断这个运算▽有没有交换律。 【跟踪训练 4】 规定 a◎b = 4a‑b，计算 3◎2 和 2◎3，判断是否有交换律。 【典型例题 5】找规律型定义新运算（奥数拔高） 规定：2※3=2+3+4；3※4=3+4+5+6；按照这个规律，求 4※5。 【跟踪训练 5】 按照例题同样规则：2※3=2+3+4，3※4=3+4+5+6，求 5※3。 【典型例题 6】两种不同新符号混合计算（综合难题） 已知规定：a△b = a+2b；a※b = 3a‑b 求 (2△3)※4。 【跟踪训练 6】 规定：a⊕b=2a‑b；a#b=a+3b，求 (1⊕4)#2。 提升练习 1. 规定 a※b=4×a+b，计算 5※6 2. 规定 a△b=6a‑2b，计算 7△3 3. 规定 a#b=2a+5b，计算 (3#2)#4 4. 规定 a⊕b=3a‑b，已知 x⊕5=13，求 x 5. 规定 a☆b=a+4b，计算 4☆2 和 2☆4，判断是否有交换律 6. 新运算规则：2△4=2+3+4+5，3△2=3+4，求 4△3 7. 规定 a◆b=5a‑3b，计算 (4◆1)◆2 8. 规定 a◎b=2 (a+b)，求 8◎3 9. 规定 a※b=3a‑2b，已知 6※x=8，求 x 10. 规定 a△b=a×b‑a，求 7△4 11. 已知 a⊕b=a+3b，a#b=4a‑b，求 (2⊕3)#1 12. 规定 a☆b=a÷2 + b×3，求 10☆4 13. 规定 a#b=4a+b，已知 (x#2)#3=41，求 x 14. 按照规律：1※5=1+2+3+4+5，6※3=6+7+8，计算 3※4 15. 规定 a△b=(a‑b)×2，求 12△5 16. 规定 a※b=5a+b，计算 2※(4※1) 17. 规定 a◎b = a×2 + b÷2，求 8◎6 18. 规定 a☆b=3a+b，比较 5☆2 与 2☆5 的大小 19. 规定 a#b = a+b×a，求 6#3 20. 规定 a⊕b=2a‑b，已知 4⊕(x⊕1)=5，求 x 模拟赛场 1. 定义新运算：a※b = 2a+3b；a△b = a‑2b。 计算：(3※2)△(4※1) 2. 观察新运算规律：2☆3=2+3+4；5☆2=5+6；4☆6=4+5+6+7+8+9。 ①求 7☆4；②若 x☆3=24，求 x。 3. 规定：a#b = (a+b)÷2，已知 (x#4)#6 =5，求 x。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $