7.3 万有引力理论的成就 讲义-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 7.3　万有引力理论的成就【单元复习】 （解析版） 人教版高中物理必修第二册　|　第七章《万有引力与宇宙航行》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．了解卡文迪什扭秤实验“称量地球质量”的意义：引力常量 G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² 测出后，即可由地球表面重力加速度 g 和地球半径 R 求出地球质量 M＝；知道万有引力定律的成就之一是“称量”此前无法测量的天体质量； 2．掌握“环绕法”测中心天体质量：由万有引力提供向心力 ＝，只需测出环绕天体的轨道半径 r 和运行周期 T，即可求出中心天体质量 M＝；注意环绕天体自身质量 m 在推导中被约去，此法只能求出中心天体的质量； 3．会估算天体的平均密度：由 ρ＝、V＝(4/3)πR³ 得 ρ＝；当卫星近地运行时 r≈R，得 ρ＝，即只要测出近地卫星的周期 T 即可估算中心天体的平均密度； 4．了解万有引力定律在天文学上的成就：天王星轨道的异常促使亚当斯、勒维耶用万有引力定律预言了海王星的位置，伽勒于1846年按计算发现海王星，海王星被称为“笔尖下发现的行星”；哈雷根据定律预言了哈雷彗星的回归；定律既能解释已知现象，又能预言未知天体。 【思维导图】 万有引力理论的成就 称量地球质量 卡文迪什扭秤测G M地＝gR²/G 黄金代换 GM＝gR² 万有引力理论的成就 环绕法测中心天体质量 GMm/r²＝m·4π²r/T² M＝4π²r³/(GT²) 只需求 r、T·环绕体质量被约去 万有引力理论的成就 密度估算 ρ＝M/V·V＝(4/3)πR³ ρ＝3πr³/(GT²R³) 近地 r≈R·ρ＝3π/(GT²) 万有引力理论的成就 发现未知天体与前沿 天王星轨道异常 海王星·笔尖下发现 哈雷彗星回归·天问嫦娥探测 考点一　称量地球与中心天体的质量 1．卡文迪什扭秤——“称量地球质量”的实验：牛顿发现万有引力定律后，引力常量 G 一直未能测出。英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置，通过光的反射把极其微弱的引力扭转效果放大，第一次在实验室里较准确地测出了引力常量。G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² 的测出，使万有引力定律有了真正的定量实用价值；卡文迪什把自己的实验说成是“称量地球的质量”，因为从此人们可以“称”出地球乃至其他天体的质量。 2．表面重力法求天体质量：若不考虑天体自转，天体表面质量为 m 的物体所受重力等于万有引力，即 mg＝（如图1）。由此得天体质量 M＝，并得到重要的“黄金代换”关系 GM＝gR²。该法只需知道天体表面的重力加速度 g 和天体自身的半径 R，即可求出该天体的质量。 图1　天体表面质量为 m 的物体：万有引力 F 的一个分力表现为重力 mg，忽略自转时 mg＝GMm/R²，即 GM＝gR² 3．环绕法求中心天体质量：测出环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r，由万有引力提供向心力有 ＝，约去环绕天体质量 m，得中心天体质量 M＝。此法只需 r、T 两个量即可求出中心天体的质量；由于 m 被约去，无法求出环绕天体自身的质量。现代借助天问、嫦娥等探测器环绕火星、月球运行，正是用这一方法精确测定天体质量（如图2）。 图2　前沿实例：火星探测着陆器（NASA/JPL）。环绕火星运行时由轨道半径与周期即可“称量”火星质量——万有引力定律从地面走向深空 ▎重难诠释 ①GM＝gR²（黄金代换）是本章最常用的代换，凡出现 g 与 R 都应联想到把 GM 换成 gR²； ②表面重力法 M＝ 需要天体自身半径 R 和表面 g；环绕法 M＝ 需要环绕轨道半径 r 和周期 T，两者不要混淆； ③环绕法中环绕天体质量 m 被约去，只能求中心天体质量，不能求环绕体（卫星）自身质量； ④第一宇宙速度 v₁＝ 可与 M＝ 联立，把未知质量转化为可测的 g、R、v₁。 考点二　天体密度、发现未知天体与定律的意义 1．天体平均密度的估算：由密度定义 ρ＝ 与球体体积 V＝(4/3)πR³ 出发：用环绕法求出中心天体质量 M＝ 后，若已知天体自身半径 R，则 ρ＝＝。当卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径 r≈R，于是 ρ＝——只要测出近地卫星的周期 T，即可估算出中心天体的平均密度。 2．发现未知天体——“笔尖下发现的行星”：1781年发现天王星后，人们发现天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的轨道总有偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶各自独立地利用万有引力定律，推算出在天王星之外还存在一颗未知行星并预言了它的位置；1846年德国天文学家伽勒在预言位置附近发现了海王星（如图3）。海王星因此被称为“笔尖下发现的行星”。此外哈雷根据万有引力定律预言了一颗彗星的回归周期，后来该彗星如期回归，被命名为哈雷彗星。 图3　前沿实例：海王星（旅行者2号1989年实拍）。它是人类首次依据万有引力定律计算出轨道、再按预言位置观测到的行星——“笔尖下发现的行星” 3．定律的意义与匀质球壳推论：万有引力定律把“天上的力”与“地上的力”统一起来，既能解释已知的天体运动，又能预言尚未发现的天体及其轨道，充分显示了理论对实践的巨大指导作用。研究天体内部引力时常用两个推论：匀质球壳对其空腔内任意位置质点的万有引力合力为零；匀质球体内部距球心 r 处质点所受引力，等效于半径为 r 的同心球体对它的引力（如图4）。 图4　匀质球体内部引力：距球心 r 处质点 m 所受引力等效于半径 r 内球体 M′ 的引力，球壳部分（M 中 r 以外）对 m 的合力为零 ▎重难诠释 ①密度 ρ＝ 同时需要轨道半径 r、中心天体半径 R 和周期 T；近地时 r≈R 简化为 ρ＝； ②若只给出环绕轨道 r、T 而未给天体自身半径 R，则只能求质量 M，不能求密度； ③海王星、哈雷彗星都是先由计算预言、后被观测证实，体现“计算、预测、观察”的科学方法； ④区分“称量天体质量”（求 M）与“估算天体密度”（求 ρ）：后者多需要天体自身半径 R。 考向一　称量地球与天体质量（卡文迪什扭秤·表面重力法 M＝gR²/G·黄金代换 GM＝gR²·由 g、R 求 M） 1．若科研探测车在某行星上执行科研任务时突然失去动力，从倾角为θ＝30°的斜坡上静止滑下，从车上传感器获取其速度平方v²与位移x的关系如图所示，且图像斜率为k。已知该行星半径为R，引力常量为G，不计一切摩擦和该行星的自转影响。下列说法正确的是（　　） A．探测车滑下过程处于超重状态 B．该行星的质量为 C．该行星表面的重力加速度为2k D．该行星的第一宇宙速度大小为 【答案】D 【详解】 A．根据题意分析可知，垂直斜面方向没有加速度，支持力为N＝mgcos30°＜mg 支持力小于重力，探测车处于失重状态，故A错误； BCD．根据题意分析可知，取沿斜面向下为正方向。由牛顿第二定律得mgsin30°＝ma 由匀变速直线运动速度—位移公式得v²＝2ax 由图像斜率得k＝2a联立可得g＝k，该行星表面物体所受万有引力等于重力，有G=mg。整理得M= 第一宇宙速度对应近地圆轨道，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有G=m 联立前述结果得v₁=，故BC错误，D正确。 故选：D。 2．2024年6月，嫦娥六号开始在月球背面的艾特肯盆地进行挖土工作。若挖土之前，传感器测得装土容器对支撑平台的压力为R1，当装入质量为m的月土后，传感器测得容器对支撑平台的压力为R2，已知月球半径为r，引力常量为G，不计月球自转，则月球的质量为（　　） A． B．((R₂-R₁)r²)/(Gm) C．((R₂-R₁)m)/(Gr²) D． 【答案】B 【详解】 在月球表面，物体的重力由万有引力提供=m′g月 装土前，容器对平台的压力R1为容器自身的重力大小； 装土后，总压力R2为容器与月土的总重力大小。 故月土的重力为R2-R1＝mg月 联立解得月球质量M=((R₂-R₁)r²)/(Gm) 故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 物体从静止释放做初速度为0的匀加速直线运动，由位移公式h=g月t² 解得月球表面的重力加速度g月= 月球表面的物体，万有引力等于重力，有G=mg月 约去物体质量m，将g月=代入，解得月球质量M= 故ACD错误，B正确。 故选：B。 4．假设以同样大小的初速度分别从距水平月面和水平地面相同高度处水平抛出小球，水平射程之比为：1。已知地球半径为月球半径的4倍，不计空气阻力，则地球和月球的质量之比为（　　） A．8：3 B．：1 C．：8 D．96：1 【答案】D 【详解】 根据平抛运动的规律有x＝v0t，h=gt²，得x＝v0，依题意有==：1，又由黄金代换式=mg，得M=，联立可得===96：1，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量，该实验巧妙运用了放大法 B．已知引力常量和行星的环绕半径、周期，可以求出行星的质量 C．当飞行器的速度等于或大于7.9km/s时，它就会克服地球的引力，永远离开地球 D．地球同步卫星一定会出现在北京上空 【答案】A 【详解】 A．卡文迪什利用扭秤实验测引力常量时，借助光的反射把极其微弱的引力扭转效果放大，将不易观测的微小形变转化为光斑的明显偏移，实验方法属于放大法，故A正确。 B．行星围绕中心天体做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G=mr，解得中心天体质量M=，推导过程里环绕行星的质量m被约去，只能求出中心天体质量，故B错误。 C．7.9km/s是第一宇宙速度，是物体绕地球做圆周运动的最小发射速度、最大环绕速度，当速度等于或大于11.2km/s（第二宇宙速度）时，物体才会克服地球引力永远离开地球，故C错误。 D．地球同步卫星的轨道必须固定在赤道平面内，北京不在赤道上，因此同步卫星不可能出现在北京上空，故D错误。 故选：A。 考向二　环绕法求中心天体质量（GMm/r²＝m·4π²r/T²·M＝4π²r³/(GT²)·只需求 r、T·环绕体质量被约去） 6．已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L，月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为匀速圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．月球运动的加速度为a= B．月球的质量为m月= C．地球的密度为ρ= D．地球的质量为m地= 【答案】D 【详解】 A．月球绕地球公转，万有引力提供圆周运动向心力有 G=m月=m月a 月球的加速度即为向心加速度即 a= 故A错误； CD．月球围绕地球圆周运动，已知月球公转周期为T1，公转半径为L，根据万有引力提供圆周运动向心力有 G=m月L 可得地球的质量 m地= 地球的密度 ρ=== 故C错误，D正确； B．根据万有引力定律而列出的公式可知月球质量将会约去，所以无法求出月球质量，故B错误。 故选：D。 7．我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。若轨道器环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径为r，轨道周期为T，引力常量为G，则火星的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 轨道器环绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供它做圆周运动的向心力，可得=mr，解得火星的质量为M=，故A正确，BCD错误。 故选：A。 8．科学家在太阳系附近发现一颗类地行星，该行星围绕名为巴纳德星的恒星做匀速圆周运动，其公转轨道半径约为地球绕太阳公转半径的，公转周期约为地球公转周期的，由以上数据可以估测巴纳德星质量与太阳质量的比值为（　　） A．27：50 B．18：125 C．50：27 D．125：18 【答案】B 【详解】 根据=mr，得中心天体质量M=，依题意有=，=，求两者质量之比时，为公共常量可以约去，得到=⋅，代入数值计算=()³⋅()²=⋅=，也就是巴纳德星质量与太阳质量的比值为18：125，故B正确，ACD错误。 故选：B。 9．2026年7月10日12时15分，长征十号乙运载火箭在海南商业航天发射场发射升空，成功将卫星送入预定轨道。随后，火箭一子级垂直返回，在回收船上通过网系捕获方式成功回收。这是我国首次成功实施运载火箭一子级可控回收，也是全球首次实现运载火箭海上网系回收，标志着我国在重复使用火箭技术领域取得历史性突破。假设卫星进入轨道后做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求出（　　） A．地球的质量 B．卫星受到地球万有引力的大小 C．卫星的密度 D．地球的体积 【答案】A 【详解】 ABC．根据万有引力提供向心力有=m()²r，可得地球质量M=，由于不知卫星的质量和半径，无法求出卫星的质量，不可求卫星受到地球万有引力的大小和卫星的密度，故BC错误，A正确； D．根据V=，由于不知道地球的密度，则无法求出地球的体积，故D错误。 故选：A。 10．2025年9月24日15时57分，我国在山东日照附近海域，采用一箭十二星海上发射方式，将吉利星座06组卫星和北大时空星01星共12颗卫星送入轨道，发射取得圆满成功。不同高度的卫星均绕地球做匀速圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积S与卫星的轨道半径开平方的关系图像S-如图所示，图线斜率为k。已知引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：G=mω²r 整理得角速度ω=。 推导单位时间扫过的面积S：卫星与地心连线单位时间扫过的面积，对应扇形面积公式，单位时间转过角度为ω，因此：S=r²ω 将ω代入得：S=r²⋅=⋅ 结合图像斜率求地球质量：由S=k 对比得斜率k= 整理得：=2k，即M= 因此地球质量为 故ABD错误，C正确。 故选：C。 考向三　天体密度估算（ρ＝M/V＝3M/(4πR³)·ρ＝3πr³/(GT²R³)·近地 r≈R 时 ρ＝3π/(GT²)） 11．嫦娥七号，是中国探月工程四期关键任务之一，由着陆器、轨道器、巡视器、飞跃器和中继卫星等组成，主要是对月球极区进行科学探测，特别是对月球的水分布进行探测，完成月球极区高精度着陆和阴影坑飞跃探测，预计巡视器进入环月圆轨道飞行时，角速度为ω，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A．(3ω²(1+a)³)/(4πGa³) B． C．((1+a)ω³)/(12πG) D．(3ω²(1+a)³)/(4πG) 【答案】A 【详解】 设月球质量为M，半径为R，巡视器质量为m。根据题意可知，巡视器的轨道高度h=，则轨道半径r=R+h=R。 万有引力提供向心力，根据G=mω²r，解得M=。月球的体积为V=πR³。由密度的定义式ρ=，解得ρ=，故BCD错误，A正确。 故选：A。 12．我国计划在月球表面建立长期驻留的太空基地，在基地建设前对月球相关物理量进行探测。已知月球半径为R，环绕月球表面运行的近月卫星的周期为T，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，忽略地球、月球自转影响。根据以上提供的物理量进行相关推导计算，下面推导计算结果错误的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的密度为 C．月球表面的重力加速度为 D．质量为m的物体在月球表面受到的重力为mg 【答案】D 【详解】 AB、环绕月球表面运行的近月卫星的轨道半径为R，由万有引力提供向心力，有G=m 解得月球质量M= 月球密度的定义式为ρ=，月球体积为V=πR³ 解得ρ=，故AB正确； CD、取月球表面的物体为研究对象，物体重力等于它与月球间的万有引力，有mg月=G 整理得g月= 由前述已推得的月球质量，且仍在月球表面条件下，得g月=，故C正确，D错误。 本题选择错误的，故选：D。 13．某行星表面的第一宇宙速度大小为v，行星半径为R，万有引力常量为G，则该行星的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，此时卫星轨道半径等于行星半径R，由G=m，解得行星质量M=，行星视为球体，则体积V=πR³，根据密度定义可知ρ=，解得ρ==，故A正确，BCD错误。 故选：A。 14．郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r＝nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G=mr 整理得恒星质量M= 恒星为均匀球体，体积V=πR³，平均密度ρ=，将r＝nR代入得ρ== 故ABD错误，C正确。 故选：C。 15．如图，A、B为地球的两颗共面卫星，均绕地心O做逆时针方向的匀速圆周运动。卫星B为近地卫星，卫星A离地高度为地球半径的8倍，已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．卫星A受到地球的万有引力比卫星B小 B．地球的平均密度为 C．半径OA、OB在相等的时间内扫过的面积相等 D．在卫星A的一个周期内，A、B、O三者共线的次数为27次 【答案】B 【详解】 A、根据万有引力定律有F=G，由于未知两颗卫星的质量关系，无法比较卫星A、B受到的万有引力大小，故A错误； B、在地球表面，根据万有引力等于重力有G=mg，解得地球质量M=。地球体积V=πR³，由密度公式ρ=，解得地球平均密度ρ=，故B正确； C、开普勒第二定律只适用于同一颗行星或卫星绕中心天体的运动。根据万有引力提供向心力有G=m，解得v=，卫星的面积速率为=vr=，由于两卫星轨道半径不同，所以相等时间内扫过的面积不相等，故C错误； D、卫星B为近地卫星，其轨道半径rB＝R，卫星A离地高度为8R，其轨道半径rA＝R+8R＝9R。由开普勒第三定律=，解得周期之比为==27。在卫星A转动一个周期TA的时间内，卫星A转动了1圈，卫星B转动了27圈。两者转过的角度差为Δθ＝27×2π-2π＝52π。每当角度差增加π时，A、B、O三者共线一次，故在卫星A的一个周期内，三者共线的次数为52次，故D错误。 故选：B。 考向四　发现未知天体与前沿综合（海王星笔尖下发现·角直径与几何·开普勒第三定律·火星/系外行星质量比） 16．下列关于开普勒定律及万有引力定律应用于天文学研究的历史事实说法正确的是（　　） A．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 B．火星与木星公转周期之比的立方等于它们轨道半长轴之比的平方 C．海王星是英国物理学家卡文迪什经过大量计算而发现的，被人们称为“笔尖上的行星” D．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体 【答案】D 【详解】 A．根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，这是对同一个行星而言，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积。故A错误； B．根据开普勒第三定律可知火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，故B错误； C．海王星是运用万有引力定律，经过大量的计算后发现的，但不是卡文迪什运用万有引力定律经过大量计算而发现的，故C错误； D．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体，故D正确； 故选：D。 17．鹊桥二号中继卫星于2024年3月20日成功发射，为后续我国载人登月提供可靠保障。在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，太阳半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的质量之比约为（　　） A．k³()² B．k³()² C．()² D．()² 【答案】D 【详解】 设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力 G=mr 可得 G=m月r₁ G=m地r₂ 根据几何关系，有 == 联立可得地球与太阳的质量之比 =()² 故ABC错误，D正确。 故选：D。 18．某火星探测器接近火星时，在第一次减速后沿半长轴为5R的椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，然后在A点（近火点）再次减速后，探测器沿半径为2R的圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，其速率为v，已知火星的半径为R，引力常量为G，则（　　） A．轨道Ⅰ的周期为2π B．火星的质量为 C．火星上的第一宇宙速度为2v D．沿椭圆轨道Ⅰ运动时，在A点的加速度大于 【答案】A 【详解】 A、探测器在圆轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，其周期T₂=，根据开普勒第三定律有=，其中轨道Ⅰ的半长轴a1＝5R，轨道Ⅱ的半径r2＝2R，解得T₁=2π，故A正确； B、探测器在圆轨道Ⅱ上由万有引力提供向心力，设火星质量为M，探测器质量为m，由G=m，解得M=，故B错误； C、第一宇宙速度v1为近火星表面圆轨道的环绕速度，由G=m，解得v₁=，结合GM＝2Rv²解得v₁=v，故C错误； D、探测器无论在椭圆轨道Ⅰ还是圆轨道Ⅱ上经过A点时，距离火星中心的距离均为2R，受到火星的万有引力大小相同，由牛顿第二定律可知加速度大小相等，探测器在轨道Ⅱ上的加速度为a=，因此在轨道Ⅰ上经过A点的加速度等于，故D错误。 故选：A。 19．如图，“天问一号”探测器先进入环绕火星的椭圆轨道，P和Q分别是轨道上的近火点和远火点，P点接近火星表面，探测器在P点制动后顺利进入近火圆轨道。椭圆轨道的半长轴等于近火圆轨道的直径，探测器在近火圆轨道上运行的半径为R、周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．火星的质量为 B．火星表面的重力加速度约为 C．探测器在椭圆轨道上运行的周期为2T D．探测器在椭圆轨道上P点与Q点的速度之比为2：1 【答案】C 【详解】 A、探测器在近火圆轨道上运行时，由万有引力提供向心力，有=mR 解得火星的质量M=，故A错误； B、火星表面的万有引力等于重力，有=mg 表面重力加速度为g=，代入M= 解得火星表面的重力加速度g=，故B错误； C、由开普勒第三定律有=，代入a＝2R 解得T椭=2T，故C正确； D、由开普勒第二定律，近火点和远火点的速度与距离成反比，===，故D错误。 故选：C。 20．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01AU（日地距离为1AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（　　） A．0.0064 B．0.64 C．64 D．6400 【答案】B 【详解】 设地球公转周期为T地，公转半径为r地。由万有引力提供向心力有=m⋅r地，可得太阳的质量M太=。 根据题意，行星绕恒星TOI-561公转的周期为T行=T地，公转半径为r行＝0.01r地。由万有引力提供向心力有=m⋅r行，可得恒星TOI-561的质量MT=。 可得两颗中心天体的质量之比==()³×()²=0.64，故ACD错误，B正确。 故选：B。 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖称量天体质量、环绕法求中心天体质量、密度估算、发现未知天体与前沿综合） 21．搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭于北京时间2025年11月25日12时11分，在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。假设飞船绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为v，轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，则可计算出地球的半径为（　　） A．v B．v C． D．v 【答案】D 【详解】 飞船绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G=m，解得GM＝v²r。在地球表面，忽略地球自转，物体受到的重力等于万有引力，有G=m₀g，解得GM＝gR²。联立解得R=v，故ABC错误，D正确。 故选：D。 22．“天链一号”卫星属于地球同步轨道卫星，被称为“天上数据中转站”，是北斗导航系统的重要组成部分。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，则“天链一号”卫星的向心加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设地球同步卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r，卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力提供向心力有G=m()²r 在地球表面，物体受到的重力等于万有引力，则有G=m′g 联立解得“天链一号”卫星的轨道半径r= 所以“天链一号”卫星的向心加速度大小为a=()²r= 故A正确，BCD错误。 故选：A。 23．低轨互联网卫星在寿命末期需要采取主动离轨方式，自主转移至相对较低的轨道，该轨道可保证卫星在大气衰减作用下25年内自然坠毁。已知转移后的低轨道半径为r，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g。则该卫星在转移后的低轨道上的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据黄金代换式有G=mg，整理得GM＝gR²，卫星在低轨道半径为r处时，万有引力近似等于该处的重力，即G=mg′，将GM＝gR²代入，可得轨道处重力加速度g′=，故A正确，BCD错误。 故选：A。 24．因为用长度单位去描述遥远的星体没有什么太大意义，所以我们通常描述天体的大小都是以地球上看到的角度大小来描述，即“角直径”（如图中θ）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的k倍，设想地球“流浪”后绕该恒星公转。当地球绕该恒星和太阳的公转周期之比为n时，该恒星正好与太阳具有相同的角直径，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C．kn² D．n2 【答案】A 【详解】 设太阳的质量为M，半径为R，地球绕太阳公转的周期为T，轨道半径为r；恒星的质量为M'，半径为R'，地球绕恒星公转的周期为T'，轨道半径为r'。 由万有引力提供向心力有G=mr，解得r³=。 由题意知M'＝kM且T'＝nT，可得地球绕恒星与绕太阳的轨道半径的立方之比为==kn²。 设在地球上看中心天体的角直径为θ，由几何关系有sin=，由于恒星与太阳具有相同的角直径，可知两者的半径之比等于对应轨道半径之比，即==kn²。 根据天体平均密度公式ρ=，解得该恒星与太阳的平均密度之比为=⋅==，故BCD错误，A正确。 故选：A。 25．已知某卫星绕月球做椭圆运动，周期为T，该卫星在近月点所受的月球引力为其在月球表面附近的，在远月点所受的月球引力为其在月球表面附近的。万有引力常量为G，不考虑地球和太阳对卫星的影响，则月球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 卫星绕月球沿椭圆轨道运动，由题可知，在月球表面附近G=mg 在月球近月点则有F近=G=mg 在月球远月点F远=G=mg 联立可得轨道半长轴a===4R 椭圆轨道与半径为4R的圆轨道周期相同，万有引力提供向心力，则G=m⋅4R 解得M== 月球的密度ρ===⋅=，故ABD错误，C正确。 故选：C。 26．嫦娥七号计划于2026年下半年择机发射，其核心任务是进行月球南极环境与资源勘查，并开展国际合作。若其轨道器绕月球做匀速圆周运动，轨道半径约为1940km，轨道周期约为2.1h。已知引力常量G取6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，则根据以上数据可推算出月球的（　　） A．质量 B．平均密度 C．第一宇宙速度 D．表面重力加速度 【答案】A 【详解】 A、轨道器绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G=m()²r，解得月球质量M=，已知轨道半径r、周期T、引力常量G，可直接计算月球质量，故A正确。 B、月球平均密度ρ=，月球体积V=πR³（R为月球自身半径），题干未给出月球半径R，无法计算密度，故B错误。 C、月球第一宇宙速度是近月卫星的环绕速度，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G=m，解得v=，缺少月球半径R，无法计算，故C错误。 D、忽略月球自转时，万有引力等于重力，即G=mg，解得月球表面重力加速度g=，缺少月球半径R，无法计算，故D错误。 故选：A。 27．中国计划2030年前实现载人登月，若登月前先发射两颗探月卫星进行科学探测，两卫星在同一平面内绕月球运行可视为匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示，测得两卫星之间的距离Δr随时间t变化的关系如图乙所示，不考虑两卫星之间的作用力，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 分析题图可知，Ra+Rb＝5r，Rb-Ra＝3r，可得a、b两卫星的轨道半径分别为Ra＝r和Rb＝4r。根据开普勒第三定律，则a、b两卫星的周期之比Ta：Tb＝1：8，依题意有-=1，得Ta=，对a卫星，根据万有引力提供向心力G=mr，联立解得月球质量M=，故A正确，BCD错误。 故选：A。 28．按照我国的火星探测计划，天问三号将于2031年前后采集火星样品返回地球。若火星的卫星火卫二绕火星做轨道半径为r、周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G。则火星的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 火卫二绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有=m 解得M= 故ABD错误，C正确。 故选：C。 29．下列说法正确的是（　　） A．万有引力常量的大小是由牛顿测出来的 B．万有引力定律只适用于天体之间 C．行星绕太阳运动的轨道不一定是椭圆 D．海王星被称为“笔尖下发现的行星” 【答案】D 【详解】 A、万有引力定律由牛顿提出，但引力常量G是卡文迪什通过扭秤实验测得的，并非牛顿测出，故A错误； B、万有引力定律适用于自然界中任何两个物体之间的相互作用，不只是天体之间，比如地面上的物体也受地球引力，故B错误。 C、根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故C错误。 D、海王星是利用万有引力定律计算出它的轨道后，再通过天文观测发现的，所以被称为“笔尖下发现的行星”，故D正确。 故选：D。 30．万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（　　） A．天王星 B．海王星 C．冥王星 D．谷神星 【答案】B 【详解】 A.天王星的轨道异常现象促使科学家推测存在另一颗行星，但天王星本身并非通过计算预测发现，故A错误； B.海王星的存在由勒维耶和亚当斯通过数学计算预测，后经观测证实，因此被称为“笔尖下发现的行星”，故B正确； C.冥王星于1930年由汤博通过系统观测发现，故C错误； D.谷神星是1801年由皮亚齐观测发现的小行星，和计算预测无关，故D错误。 故选：B。 31．2026年7月30日，我国成功发射了通信技术试验卫星二十七号。某卫星的发射变轨过程示意图如图所示。卫星先进入近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ变轨，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，已知P、Q两点分别是椭圆轨道Ⅱ的近地点和远地点，卫星沿椭圆轨道从P点运动到Q点所用时间为t，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则轨道Ⅲ的半径大小为（　　） A．-R B．-R C．2-R D．2-R 【答案】C 【详解】 设卫星在轨道Ⅰ上运行的周期为T1，则有=mg，=mR()² 解得T₁=2π 设轨道Ⅲ的轨道半径为r，椭圆半长轴a= 卫星从P点到Q点的运动是椭圆轨道的半周，因此椭圆轨道Ⅱ的周期T2＝2t 根据开普勒第三定律，有= 联立解得r=2-R 故ABD错误，C正确。 故选：C。 32．我国“天问一号”探测器成功实现火星环绕与着陆，开启了中国深空探测的新篇章。已知火星质量约为地球质量的，忽略地球和火星的自转影响，一个在地球表面重力为50N的物体，在火星表面的重力为20N，则火星的半径与地球的半径之比约为（　　） A．2：1 B．3：1 C．1：2 D．1：3 【答案】C 【详解】 根据黄金代换式G重=G，对同一物体，重力与星球质量成正比，与星球半径的平方成反比，因此有比例关系=⋅，代入已知条件=、G火＝20N、G地＝50N，得=⋅，解得=，故C正确，ABD错误。 故选：C。 33．2026年7月，我国在文昌航天发射场成功发射了一颗地球同步轨道卫星，该卫星与地球保持相对静止，运行周期约为T。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则该卫星离地面的高度为（　　） A．()^-R B．()^ C．()^-R D．()^ 【答案】A 【详解】 设卫星离地面高度为h，则同步卫星的轨道半径为R+h，则由万有引力提供向心力可得：G=m(R+h)， 地球表面物体重力近似等于万有引力，则有：mg=G，解得：GM＝gR² 联立解得：h=()^-R，故A正确，BCD错误。 故选：A。 34．中国探月工程已完成绕、落、回三步走，目前正有序推进探月四期、载人登月和国际月球科研站三大工程。嫦娥七号将于2026下半年择机发射，其核心任务是寻找月球水冰资源。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球表面重力加速度g地=9.8m/s²。忽略自转的影响，由以上数据估算月球表面重力加速度g月约为（　　） A．0.6m/s² B．1.6m/s² C．3.2m/s² D．6.0m/s² 【答案】B 【详解】 忽略星球自转影响时，星球表面物体的重力等于万有引力，则有：mg=G 可得星球表面的重力加速度大小为：g= 所以有：=⋅()²=×3.7² 解得月球表面重力加速度为：g月=×3.7²×9.8m/s²≈1.6m/s²，故B正确，ACD错误。 故选：B。 35．（多选）美国著名文学家马克·吐温曾满怀激情地说“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获”。假设在某星球赤道位置采得一矿石，称得其质量为m0，体积为V0，重力为G0。已知该星球可视为匀质球体，自转周期为T0。下列说法正确的是（　　） A．矿石受到星球的万有引力大小为G0 B．赤道处的向心加速度大小可能等于 C．若已知引力常量G，可推知星球的半径 D．若已知引力常量G，可推知星球的质量 【答案】BCD 【详解】 A．由于星球自转，万有引力提供向心力和重力；即赤道处矿石受到星球的万有引力大于G0，故A错误； B．赤道处的重力大小可能等于向心力的大小，即可能有G0＝ma 解得a=，故B正确； C．根据G₀+m₀R= 其中M=ρ⋅R³，ρ= 可知G₀=m₀R(-) 即可解得R，故C正确； D．由密度公式M=ρ⋅R³，ρ= 可得M=⋅R³，将R代入可得M，故D正确。 故选：BCD。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　7.3 万有引力理论的成就 — — 学科网（北京）股份有限公司 $专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 7.3　万有引力理论的成就【单元复习】 （原卷版） 人教版高中物理必修第二册　|　第七章《万有引力与宇宙航行》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．了解卡文迪什扭秤实验“称量地球质量”的意义：引力常量 G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² 测出后，即可由地球表面重力加速度 g 和地球半径 R 求出地球质量 M＝；知道万有引力定律的成就之一是“称量”此前无法测量的天体质量； 2．掌握“环绕法”测中心天体质量：由万有引力提供向心力 ＝，只需测出环绕天体的轨道半径 r 和运行周期 T，即可求出中心天体质量 M＝；注意环绕天体自身质量 m 在推导中被约去，此法只能求出中心天体的质量； 3．会估算天体的平均密度：由 ρ＝、V＝(4/3)πR³ 得 ρ＝；当卫星近地运行时 r≈R，得 ρ＝，即只要测出近地卫星的周期 T 即可估算中心天体的平均密度； 4．了解万有引力定律在天文学上的成就：天王星轨道的异常促使亚当斯、勒维耶用万有引力定律预言了海王星的位置，伽勒于1846年按计算发现海王星，海王星被称为“笔尖下发现的行星”；哈雷根据定律预言了哈雷彗星的回归；定律既能解释已知现象，又能预言未知天体。 【思维导图】 万有引力理论的成就 称量地球质量 卡文迪什扭秤测G M地＝gR²/G 黄金代换 GM＝gR² 万有引力理论的成就 环绕法测中心天体质量 GMm/r²＝m·4π²r/T² M＝4π²r³/(GT²) 只需求 r、T·环绕体质量被约去 万有引力理论的成就 密度估算 ρ＝M/V·V＝(4/3)πR³ ρ＝3πr³/(GT²R³) 近地 r≈R·ρ＝3π/(GT²) 万有引力理论的成就 发现未知天体与前沿 天王星轨道异常 海王星·笔尖下发现 哈雷彗星回归·天问嫦娥探测 考点一　称量地球与中心天体的质量 1．卡文迪什扭秤——“称量地球质量”的实验：牛顿发现万有引力定律后，引力常量 G 一直未能测出。英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置，通过光的反射把极其微弱的引力扭转效果放大，第一次在实验室里较准确地测出了引力常量。G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² 的测出，使万有引力定律有了真正的定量实用价值；卡文迪什把自己的实验说成是“称量地球的质量”，因为从此人们可以“称”出地球乃至其他天体的质量。 2．表面重力法求天体质量：若不考虑天体自转，天体表面质量为 m 的物体所受重力等于万有引力，即 mg＝（如图1）。由此得天体质量 M＝，并得到重要的“黄金代换”关系 GM＝gR²。该法只需知道天体表面的重力加速度 g 和天体自身的半径 R，即可求出该天体的质量。 图1　天体表面质量为 m 的物体：万有引力 F 的一个分力表现为重力 mg，忽略自转时 mg＝GMm/R²，即 GM＝gR² 3．环绕法求中心天体质量：测出环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r，由万有引力提供向心力有 ＝，约去环绕天体质量 m，得中心天体质量 M＝。此法只需 r、T 两个量即可求出中心天体的质量；由于 m 被约去，无法求出环绕天体自身的质量。现代借助天问、嫦娥等探测器环绕火星、月球运行，正是用这一方法精确测定天体质量（如图2）。 图2　前沿实例：火星探测着陆器（NASA/JPL）。环绕火星运行时由轨道半径与周期即可“称量”火星质量——万有引力定律从地面走向深空 ▎重难诠释 ①GM＝gR²（黄金代换）是本章最常用的代换，凡出现 g 与 R 都应联想到把 GM 换成 gR²； ②表面重力法 M＝ 需要天体自身半径 R 和表面 g；环绕法 M＝ 需要环绕轨道半径 r 和周期 T，两者不要混淆； ③环绕法中环绕天体质量 m 被约去，只能求中心天体质量，不能求环绕体（卫星）自身质量； ④第一宇宙速度 v₁＝ 可与 M＝ 联立，把未知质量转化为可测的 g、R、v₁。 考点二　天体密度、发现未知天体与定律的意义 1．天体平均密度的估算：由密度定义 ρ＝ 与球体体积 V＝(4/3)πR³ 出发：用环绕法求出中心天体质量 M＝ 后，若已知天体自身半径 R，则 ρ＝＝。当卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径 r≈R，于是 ρ＝——只要测出近地卫星的周期 T，即可估算出中心天体的平均密度。 2．发现未知天体——“笔尖下发现的行星”：1781年发现天王星后，人们发现天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的轨道总有偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶各自独立地利用万有引力定律，推算出在天王星之外还存在一颗未知行星并预言了它的位置；1846年德国天文学家伽勒在预言位置附近发现了海王星（如图3）。海王星因此被称为“笔尖下发现的行星”。此外哈雷根据万有引力定律预言了一颗彗星的回归周期，后来该彗星如期回归，被命名为哈雷彗星。 图3　前沿实例：海王星（旅行者2号1989年实拍）。它是人类首次依据万有引力定律计算出轨道、再按预言位置观测到的行星——“笔尖下发现的行星” 3．定律的意义与匀质球壳推论：万有引力定律把“天上的力”与“地上的力”统一起来，既能解释已知的天体运动，又能预言尚未发现的天体及其轨道，充分显示了理论对实践的巨大指导作用。研究天体内部引力时常用两个推论：匀质球壳对其空腔内任意位置质点的万有引力合力为零；匀质球体内部距球心 r 处质点所受引力，等效于半径为 r 的同心球体对它的引力（如图4）。 图4　匀质球体内部引力：距球心 r 处质点 m 所受引力等效于半径 r 内球体 M′ 的引力，球壳部分（M 中 r 以外）对 m 的合力为零 ▎重难诠释 ①密度 ρ＝ 同时需要轨道半径 r、中心天体半径 R 和周期 T；近地时 r≈R 简化为 ρ＝； ②若只给出环绕轨道 r、T 而未给天体自身半径 R，则只能求质量 M，不能求密度； ③海王星、哈雷彗星都是先由计算预言、后被观测证实，体现“计算、预测、观察”的科学方法； ④区分“称量天体质量”（求 M）与“估算天体密度”（求 ρ）：后者多需要天体自身半径 R。 考向一　称量地球与天体质量（卡文迪什扭秤·表面重力法 M＝gR²/G·黄金代换 GM＝gR²·由 g、R 求 M） 1．若科研探测车在某行星上执行科研任务时突然失去动力，从倾角为θ＝30°的斜坡上静止滑下，从车上传感器获取其速度平方v²与位移x的关系如图所示，且图像斜率为k。已知该行星半径为R，引力常量为G，不计一切摩擦和该行星的自转影响。下列说法正确的是（　　） A．探测车滑下过程处于超重状态 B．该行星的质量为 C．该行星表面的重力加速度为2k D．该行星的第一宇宙速度大小为 2．2024年6月，嫦娥六号开始在月球背面的艾特肯盆地进行挖土工作。若挖土之前，传感器测得装土容器对支撑平台的压力为R1，当装入质量为m的月土后，传感器测得容器对支撑平台的压力为R2，已知月球半径为r，引力常量为G，不计月球自转，则月球的质量为（　　） A． B．((R₂-R₁)r²)/(Gm) C．((R₂-R₁)m)/(Gr²) D． 3．如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为（　　） A． B． C． D． 4．假设以同样大小的初速度分别从距水平月面和水平地面相同高度处水平抛出小球，水平射程之比为：1。已知地球半径为月球半径的4倍，不计空气阻力，则地球和月球的质量之比为（　　） A．8：3 B．：1 C．：8 D．96：1 5．下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量，该实验巧妙运用了放大法 B．已知引力常量和行星的环绕半径、周期，可以求出行星的质量 C．当飞行器的速度等于或大于7.9km/s时，它就会克服地球的引力，永远离开地球 D．地球同步卫星一定会出现在北京上空 考向二　环绕法求中心天体质量（GMm/r²＝m·4π²r/T²·M＝4π²r³/(GT²)·只需求 r、T·环绕体质量被约去） 6．已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L，月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为匀速圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．月球运动的加速度为a= B．月球的质量为m月= C．地球的密度为ρ= D．地球的质量为m地= 7．我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。若轨道器环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径为r，轨道周期为T，引力常量为G，则火星的质量为（　　） A． B． C． D． 8．科学家在太阳系附近发现一颗类地行星，该行星围绕名为巴纳德星的恒星做匀速圆周运动，其公转轨道半径约为地球绕太阳公转半径的，公转周期约为地球公转周期的，由以上数据可以估测巴纳德星质量与太阳质量的比值为（　　） A．27：50 B．18：125 C．50：27 D．125：18 9．2026年7月10日12时15分，长征十号乙运载火箭在海南商业航天发射场发射升空，成功将卫星送入预定轨道。随后，火箭一子级垂直返回，在回收船上通过网系捕获方式成功回收。这是我国首次成功实施运载火箭一子级可控回收，也是全球首次实现运载火箭海上网系回收，标志着我国在重复使用火箭技术领域取得历史性突破。假设卫星进入轨道后做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求出（　　） A．地球的质量 B．卫星受到地球万有引力的大小 C．卫星的密度 D．地球的体积 10．2025年9月24日15时57分，我国在山东日照附近海域，采用一箭十二星海上发射方式，将吉利星座06组卫星和北大时空星01星共12颗卫星送入轨道，发射取得圆满成功。不同高度的卫星均绕地球做匀速圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积S与卫星的轨道半径开平方的关系图像S-如图所示，图线斜率为k。已知引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 考向三　天体密度估算（ρ＝M/V＝3M/(4πR³)·ρ＝3πr³/(GT²R³)·近地 r≈R 时 ρ＝3π/(GT²)） 11．嫦娥七号，是中国探月工程四期关键任务之一，由着陆器、轨道器、巡视器、飞跃器和中继卫星等组成，主要是对月球极区进行科学探测，特别是对月球的水分布进行探测，完成月球极区高精度着陆和阴影坑飞跃探测，预计巡视器进入环月圆轨道飞行时，角速度为ω，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A．(3ω²(1+a)³)/(4πGa³) B． C．((1+a)ω³)/(12πG) D．(3ω²(1+a)³)/(4πG) 12．我国计划在月球表面建立长期驻留的太空基地，在基地建设前对月球相关物理量进行探测。已知月球半径为R，环绕月球表面运行的近月卫星的周期为T，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，忽略地球、月球自转影响。根据以上提供的物理量进行相关推导计算，下面推导计算结果错误的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的密度为 C．月球表面的重力加速度为 D．质量为m的物体在月球表面受到的重力为mg 13．某行星表面的第一宇宙速度大小为v，行星半径为R，万有引力常量为G，则该行星的密度为（　　） A． B． C． D． 14．郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 15．如图，A、B为地球的两颗共面卫星，均绕地心O做逆时针方向的匀速圆周运动。卫星B为近地卫星，卫星A离地高度为地球半径的8倍，已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．卫星A受到地球的万有引力比卫星B小 B．地球的平均密度为 C．半径OA、OB在相等的时间内扫过的面积相等 D．在卫星A的一个周期内，A、B、O三者共线的次数为27次 考向四　发现未知天体与前沿综合（海王星笔尖下发现·角直径与几何·开普勒第三定律·火星/系外行星质量比） 16．下列关于开普勒定律及万有引力定律应用于天文学研究的历史事实说法正确的是（　　） A．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 B．火星与木星公转周期之比的立方等于它们轨道半长轴之比的平方 C．海王星是英国物理学家卡文迪什经过大量计算而发现的，被人们称为“笔尖上的行星” D．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体 17．鹊桥二号中继卫星于2024年3月20日成功发射，为后续我国载人登月提供可靠保障。在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，太阳半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的质量之比约为（　　） A．k³()² B．k³()² C．()² D．()² 18．某火星探测器接近火星时，在第一次减速后沿半长轴为5R的椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，然后在A点（近火点）再次减速后，探测器沿半径为2R的圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，其速率为v，已知火星的半径为R，引力常量为G，则（　　） A．轨道Ⅰ的周期为2π B．火星的质量为 C．火星上的第一宇宙速度为2v D．沿椭圆轨道Ⅰ运动时，在A点的加速度大于 19．如图，“天问一号”探测器先进入环绕火星的椭圆轨道，P和Q分别是轨道上的近火点和远火点，P点接近火星表面，探测器在P点制动后顺利进入近火圆轨道。椭圆轨道的半长轴等于近火圆轨道的直径，探测器在近火圆轨道上运行的半径为R、周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．火星的质量为 B．火星表面的重力加速度约为 C．探测器在椭圆轨道上运行的周期为2T D．探测器在椭圆轨道上P点与Q点的速度之比为2：1 20．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01AU（日地距离为1AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（　　） A．0.0064 B．0.64 C．64 D．6400 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖称量天体质量、环绕法求中心天体质量、密度估算、发现未知天体与前沿综合） 21．搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭于北京时间2025年11月25日12时11分，在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。假设飞船绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为v，轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，则可计算出地球的半径为（　　） A．v B．v C． D．v 22．“天链一号”卫星属于地球同步轨道卫星，被称为“天上数据中转站”，是北斗导航系统的重要组成部分。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，则“天链一号”卫星的向心加速度大小为（　　） A． B． C． D． 23．低轨互联网卫星在寿命末期需要采取主动离轨方式，自主转移至相对较低的轨道，该轨道可保证卫星在大气衰减作用下25年内自然坠毁。已知转移后的低轨道半径为r，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g。则该卫星在转移后的低轨道上的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 24．因为用长度单位去描述遥远的星体没有什么太大意义，所以我们通常描述天体的大小都是以地球上看到的角度大小来描述，即“角直径”（如图中θ）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的k倍，设想地球“流浪”后绕该恒星公转。当地球绕该恒星和太阳的公转周期之比为n时，该恒星正好与太阳具有相同的角直径，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C．kn² D．n2 25．已知某卫星绕月球做椭圆运动，周期为T，该卫星在近月点所受的月球引力为其在月球表面附近的，在远月点所受的月球引力为其在月球表面附近的。万有引力常量为G，不考虑地球和太阳对卫星的影响，则月球的密度为（　　） A． B． C． D． 26．嫦娥七号计划于2026年下半年择机发射，其核心任务是进行月球南极环境与资源勘查，并开展国际合作。若其轨道器绕月球做匀速圆周运动，轨道半径约为1940km，轨道周期约为2.1h。已知引力常量G取6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，则根据以上数据可推算出月球的（　　） A．质量 B．平均密度 C．第一宇宙速度 D．表面重力加速度 27．中国计划2030年前实现载人登月，若登月前先发射两颗探月卫星进行科学探测，两卫星在同一平面内绕月球运行可视为匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示，测得两卫星之间的距离Δr随时间t变化的关系如图乙所示，不考虑两卫星之间的作用力，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 28．按照我国的火星探测计划，天问三号将于2031年前后采集火星样品返回地球。若火星的卫星火卫二绕火星做轨道半径为r、周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G。则火星的质量为（　　） A． B． C． D． 29．下列说法正确的是（　　） A．万有引力常量的大小是由牛顿测出来的 B．万有引力定律只适用于天体之间 C．行星绕太阳运动的轨道不一定是椭圆 D．海王星被称为“笔尖下发现的行星” 30．万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（　　） A．天王星 B．海王星 C．冥王星 D．谷神星 31．2026年7月30日，我国成功发射了通信技术试验卫星二十七号。某卫星的发射变轨过程示意图如图所示。卫星先进入近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ变轨，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，已知P、Q两点分别是椭圆轨道Ⅱ的近地点和远地点，卫星沿椭圆轨道从P点运动到Q点所用时间为t，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则轨道Ⅲ的半径大小为（　　） A．-R B．-R C．2-R D．2-R 32．我国“天问一号”探测器成功实现火星环绕与着陆，开启了中国深空探测的新篇章。已知火星质量约为地球质量的，忽略地球和火星的自转影响，一个在地球表面重力为50N的物体，在火星表面的重力为20N，则火星的半径与地球的半径之比约为（　　） A．2：1 B．3：1 C．1：2 D．1：3 33．2026年7月，我国在文昌航天发射场成功发射了一颗地球同步轨道卫星，该卫星与地球保持相对静止，运行周期约为T。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则该卫星离地面的高度为（　　） A．()^-R B．()^ C．()^-R D．()^ 34．中国探月工程已完成绕、落、回三步走，目前正有序推进探月四期、载人登月和国际月球科研站三大工程。嫦娥七号将于2026下半年择机发射，其核心任务是寻找月球水冰资源。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球表面重力加速度g地=9.8m/s²。忽略自转的影响，由以上数据估算月球表面重力加速度g月约为（　　） A．0.6m/s² B．1.6m/s² C．3.2m/s² D．6.0m/s² 35．（多选）美国著名文学家马克·吐温曾满怀激情地说“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获”。假设在某星球赤道位置采得一矿石，称得其质量为m0，体积为V0，重力为G0。已知该星球可视为匀质球体，自转周期为T0。下列说法正确的是（　　） A．矿石受到星球的万有引力大小为G0 B．赤道处的向心加速度大小可能等于 C．若已知引力常量G，可推知星球的半径 D．若已知引力常量G，可推知星球的质量 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　7.3 万有引力理论的成就 — — 学科网（北京）股份有限公司 $