专题2利用勾股定理解决折叠问题 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

专题2利用勾股定理解决折叠问题 姓名 、 班级： 一、单选题 1.如图，沿DE折叠直角三角形纸片ABC,使两个锐角顶点B和C重合，AB=6,AC=8,求CE的长. 设CE=x,则所列方程正确的是() B D C. A A.2+(8-x}=6 B.6+2=(8-x)月 C.6+(8-x2=x2 D.x+(6-x)2=8 2.如图，货车 4m(1C=4m）,卸货时后面支架AB弯折落在地面4处，经过测量4C=2m,则弯折 点B与地面的距离为() 3 A.2m B.√3m C.2m D.（4-3)m 3.如图，将Rt△ABC纸片沿AD折叠，点B的对应点E恰好落在AC的延长线上，∠ACB=90°.若 AC=6,BC=8,则△ACD的面积是() 3 9 A.2 B.2 C.6 D.9 4.把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D点重合，折痕为EF.若AB=I5,BC=25, 试卷第1页（共3页） 则AE的长度是() F B D E A.6 B.8 C.10 D.12 5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，若AB=4,AD=5,则CE的 长为() D B A I B.1.5 C.2 D.5 6.如图，正方形ABCD中，点P,O分别为AB,CD上一个动点，将正方形沿PQ折叠，点D的对应点 M BC 已知MB=8,当点M为BC中点时，D吧的长为() M BC DO 始终落在上，已知 A D B M C A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 7.如图Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为 MN,则线段AN的长为一· 试卷第2页（共3页） M A-- 8.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=8,将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE, 则BE= 9.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处.已知AB=4, BC=8.则线段FD的长是 G 10.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在 边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 B E 三、解答题 1L.如图，在长方形ABCD中，AB=4cm,BC=3Cm,P为AD上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP, PE与CD交于点O,且OE=OD,求DP的长. b 试卷第3页（共3页） 12.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm,将△ABC折叠，使点C与点A重合，折 痕为DE,求CE的长. 13.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=6 D 图① 图② 图③ (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D处，求BF的长： (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求△BDE的面积： (3)如图③，，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△ABP,AB,AP分别交CD边于点E,F, 且DF=AF,求CE的长， 14.如图将长方形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的点M处，折痕经过点C,与边AD交 于点N (I)尺规作图：求作点N,M,(不写作法，保留作图痕迹) (2)若AB=CD=10,AD=BC=8,求AN的长. 15.如图，在△ABC中，AC=8,BC=15,AB=17,D,E分别是边AB和边CB上的点.把△ABC沿着 直线DE折叠，顶点B的对应点B'刚好落在边AC的中点上. B ·B (I)试判断△ABC的形状，并说明理由： 试卷第4页（共3页） (2)求CE的长度. 试卷第5页（共3页） 《专题2利用勾股定理解决折叠问题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案C B B 7.5 8.3 9.3 3 11.5cm 解：如图，设CD与BE交于点G. B :四边形ABCD是长方形， .∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=3cm,CD=AB=4cm. 由折叠的性质可知△ABP≌aEBP, EP=AP,∠E=∠A=90°，BE=AB=4cm 在△ODP和△OEG中，∠DOP=∠EOG,OD=OE,∠D=∠E, .AODP≌aOEG, ..OP=OG,PD=GE ..DG=EP, 设P=BP=cm,则PD=GB=(仔-xcm,DG=xcm .CG=(4-x)cm,BG=4-(3-x)=(1+x)cm 根据勾股定理，得BC2+CG2=BG, 2+(4-x)2=(x+1)2 即 12 解得x= 5 答案第1页（共2页） AP=12 DP=AD-AP=3-12_3 55(cm) 25 12.8cm 解：，∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm, 在Rt△MBC中，由勾股定理得，BC=AC2-AB=4cm), 由折叠的性质知，AE=CE, 设AE=CE=xcm, BE=(4-x)cm 多 在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2, 即32+(4-=r 解得空。 25 六CE的长为8cm。 16 13.(0)5 102 (2)5 .40 3)7 (1)解：根据折叠的性质，得AF=CF, 四边形ABCD是长方形， .∠B=90° 设BF=x, 则AF=CF=AB-BF=10-x, 在Rt△BFC中，BF2+BC2=FC2, .x2+62=(10-x)2 答案第2页（共2页） 解得16 5 :BF=16 5· (2)解：四边形ABCD是长方形， .∠A=∠C=90° 根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，AD=D 又，BC=AD, .AD=CB,∠N=∠C :A'B交CD于点E, ∴.∠AED=∠CEB, ,△A'ED≌ACEB(AAS) .ED=EB, 设CE=y, 则ED=EB=DC-CE=10-y. 在Rt△BCE中，CE2+BC2=BE2 :严+6=00-yr 解翔少16 5, :CE16 5. DE=10-1634 55 Sw-DExBC-×4x6=1g 25 5· (3)解：四边形ABCD是长方形， ∴.∠A=∠D=90° 由折叠的性质， 得∠A=∠A=90°，AP=AP,AB=A'B=10, 答案第3页（共2页） .∠D=∠=90° 又：DF=A'F,∠DFP=∠AFE, :△DFP≌aAFE(ASA) .DP=A'E,PF =EF ∴.DE=PA 又，AD=BC=6, 设PA=m, DP=4'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m, :BC=10-mBE=10-(6-m)）=4+m 在R△BCB中，4+m=62+0-m 解得m30 7, CE=10-30-40 77· 14.(1) 如图： D B M (2)3 (1)解：作图步骤： ①以点C为圆心，CD为半径画弧交AB于点M; ②以点C为圆心，小于CD的长为半径画弧交CD于点E,交CM于点F; ®分别以点E、F为圆心，大于2EF长为半径画弧交于点P: ④连接CP并延长交AD于点N: (2)解：连接MN,由折叠可得CM=CD=10,MN=DN, 在R△BCM中，BM=VCM2-BC2-VI02-82=6 答案第4页（共2页） .AM=AB-BM=4, 设AW=x,则MN=DN=8-x, 在RtAMN中，MN2=AM2+AW2, 即（⑧-x}=42+x2 解得x=3, .AN=3 15.(1) △ABC是直角三角形，理由如下： .82+152=289=172, .'AC2+BC2=AB2, 即△ABC是直角三角形： 209 (2)30· 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质. (1)根据勾股定理逆定理证明即可； (2)根据中点的定义得到BC=4，,设CE=x,根据折叠的性质结合勾股定理计算即可. 【详解】(1)略 (2)解：，B刚好落在边AC的中点上， 1 BC=24C=4, 设CE=x, ,把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点B落在AC边中点上， .'BE=B'E BC-CE=15-x, .RtAB'CE中，BC2+CE2=B'E2, :4+=(15- 解得：x=209 30· 答案第5页（共2页）