1.3 勾股定理的应用 题型专练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理3 勾股定理的应用 题型专练 【题型1】勾股定理与生活实际问题 【典例】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为　　 A. B. C. D. 【举一反三1】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　 A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米 【举一反三2】如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点受到洒水影响 　　秒． 【举一反三3】荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【举一反三4】如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？ 【题型2】勾股定理与路径最短 【典例】如图，一只蜗牛从圆柱的点A出发，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的中点E处，若沿AD将圆柱侧面剪开并展开，所得侧面展开图为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50 cm，底面边长为40 cm，则这圈彩带的长度至少为(　　) A.50 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 【举一反三2】如图，某风景区的沿湖公路AB=3 km，BC=4 km，CD=12 km，AD=13 km，其中AB⊥BC，图中阴影部分是草地，其余是水面.那么乘游艇由点C出发，行进速度为11 km/h，到达对岸AD最少要用　　h. 【举一反三3】如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 【题型3】数学典籍中的勾股定理 【典例】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　　尺． A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55 【举一反三1】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为　　 A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺 【举一反三2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 　                            　． 【举一反三3】《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有             亩（1亩=240平方步）． 北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理3 勾股定理的应用 题型专练（参考答案） 【题型1】勾股定理与生活实际问题 【典例】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由勾股定理得， ， 建好桥后从村到村比原来减少的路程为， 故选：． 【举一反三1】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　 A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米 【答案】C 【解析】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米． 在中，由勾股定理得到：（米， 故选：． 【举一反三2】如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点受到洒水影响 　　秒． 【答案】 【解析】解：过作于，设，在上，且，如图： ，，， ， ， ， ， ， ， ， 着火点受到洒水影响的时间为（秒； 故答案为：． 【举一反三3】荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 设绳索的长度为，则， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 【举一反三4】如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？ 【答案】解：如图，过点作交于点， 由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：工程车向教学楼方向行驶5米，长的云梯刚好接触到的顶部点处． 【题型2】勾股定理与路径最短 【典例】如图，一只蜗牛从圆柱的点A出发，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的中点E处，若沿AD将圆柱侧面剪开并展开，所得侧面展开图为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】沿AD将圆柱侧面剪开并展开，所得侧面展开图如图所示. 【举一反三1】某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50 cm，底面边长为40 cm，则这圈彩带的长度至少为(　　) A.50 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 【答案】C 【解析】将三棱柱沿AA'展开，其展开图如图， 则根据勾股定理得AA'2=502+(3×40)2=1302， 所以AA'=130 cm， 所以这圈彩带的长度至少为130 cm. 【举一反三2】如图，某风景区的沿湖公路AB=3 km，BC=4 km，CD=12 km，AD=13 km，其中AB⊥BC，图中阴影部分是草地，其余是水面.那么乘游艇由点C出发，行进速度为11 km/h，到达对岸AD最少要用　　h. 【答案】0.4 【解析】如图，连接AC， 在Rt△ABC中，AB=3 km，BC=4 km，根据勾股定理得AC2=32+42=25，则AC=5 km， 因为CD=12 km，AD=13 km，故存在AD2=AC2+CD2， 所以△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°， 所以△ACD的面积为S=AC·CD=30(km2)， 因为AD=13 km， 所以AD边上的高，即点C到AD的最短距离为=(km)， 因为游艇的速度为11= km/h， 所以需要时间为×=0.4(h). 【举一反三3】如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 【答案】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：． 【题型3】数学典籍中的勾股定理 【典例】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　　尺． A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55 【答案】D 【解析】解：如图，由题意得：，尺，尺， 设折断处离地面尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即折断处离地面4.55尺． 故选：． 【举一反三1】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为　　 A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺 【答案】C 【解析】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 这根芦苇的长度为13尺， 故选：． 【举一反三2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 　                            　． 【答案】解：设绳索长为尺，可列方程为， 故答案为： 【举一反三3】《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有             亩（1亩=240平方步）． 【答案】2 【解析】解：设该矩形的宽为步，则对角线为步， 由勾股定理，得， 解得 故该矩形的面积（平方步）， 480平方步亩． 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $