北京市第五中学分校2026～2027学年度第一学期第二次阶段性测试九年级数学

2026~2027学年度第一学期第二次阶段检测 初三数学 一、 选择题（本题共8小题，共16分）每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 B D 2.一元二次方程2x2+5x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 A.2,5,1 B.2,5,-1 器 C.2,5,0 D.2x2,5x,-1 3.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2，-3)，则它的图象也一定经过的点是 A.（-2,-3) B.(-3,-2) C.(1,-6) D.(6,1) 4.已知点(-2，y),(3,y2),(7,)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上，则yy2,y3的大小关系是 ( A.y1>y2>y3 B.y1>y9>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y 5.关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 A.k>-1 B.k<1 C.k>-1且k≠0 D.k<1且k≠0 6.函数y=ax2+1与y=-只在同一直角坐标系中的大致图象可能是 初三数学第一学期第二次阶段检测试卷 第1页共6页 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△ADE,AB 与CE相交于点F,下列说法错误的是 D () A.若AD∥CE,则∠BAE=30° B.∠BAE=2∠BCE C.∠B=∠AEC D.连接BE及CD,则BE∥CD B C 8,如图，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=(x>0)图象上的一个动 点，过点B作BC⊥y轴交函数y=-2(x<0)的图象于点C,点D在x轴上(D在A的左侧)，且 X AD=BC,连接AB,CD 有如下四个结论 ①四边形ABCD可能是菱形： ②四边形ABCD可能是正方形： 2 ③四边形ABCD的周长是定值： 14 ④四边形ABCD的面积是定值. 所有正确结论的序号是 432寸0士之345（) A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 二、填空题（本题共8小题，共16分) 9.已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=1,请写出一个满足条件的二次函数解析式 10.在平面直角坐标系xO中，若点A(1,y),B(3,y)在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y, y2(填“>”、“=或“<”）. 11.把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 12.已知抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,9),B(1,1),则关于x的方程 ax2-bx-c=0的解为 13.如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴， AC⊥y轴，垂足分别为B,C,已知矩形ABOC的面积为4，则反 比例函数的解析式为 14.若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一个根是-2，则另一个根是 15.小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一 部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=一1， 结合图象他得出下列结论： ①ab>0且c>0: ②a+b+c=0: ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根分别为一3和1： ④若点(-4，y),（-2,y2),(3,y)均在二次函数图象上， 则y1<y2<y: ⑤3a+c<0:其中正确的结论有__ 初三数学第一学期第二次阶段检测试卷第2页共6页 16.某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产.每条生产线生产(n为正整数)批 产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： n=1 n=2 m=3 n=4 n=5 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 (1)如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线 分配2批产品（填“甲”、“乙”或“丙”）： (2)如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料 吹 费的最小值为万元 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题每题5分，第25-26题每题6分， 第27-28每题7分) 17.用适当的方法解下列方程： (1)x2-4x-3=0: (2)3x(x-2)=2(x-2). 18.已知m是方程x2-3x+1=0的一个根，求(m-3)2+(m+2)(m-2)的值. 19.如图，正方形网格中，三角形ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问 题： (1)画出△A,B,C,使它与三角形ABC关于坐标原点O成中心对称，则B,的坐标为 (2)将三角形ABC绕某点旋转后，其对应点分别为A2(-1,-2),B,(1,一3)，C(0,一5)，则旋转 中心的坐标为 : 20.已知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0 (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若m<0,且该方程的两个实数根的差为3，求m的值. 初三数学第一学期第二次阶段检测试卷 第3页共6页 21.已知二次函数y=x2-6x+8. A (1)直接写出二次函数y=x2一6x+8图象的顶点坐标 r---d1 (2)画出这个二次函数的图象： 10 (3)当0<x<4时，y的取值范围是 9 1--6 r-1-5 --4 2 ---- 20 -2 3 22.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点（-1,0)，那么称此二次函数图象为“定点抛物 线” (1)试判断二次函数y=2x2一5x-7的图象是否为“定点抛物线”，并说明理由： (2)若“定点抛物线”y=x2一mx+2-k与x轴只有一个公共点，求k的值. 23,小军同学计划为一幅长10寸，宽9寸的创意画（图中阴影部分为其示意图） 制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度 相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍，若画框所占面积为创意画面积的 子，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 10寸 9寸 24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=c+1(k≠0)与函数y=(x>0)的交点是Aa,3). (1)求a和k的值： (2)当x>3时，对于x的每个值，函数y=mx(m≠0)既大于函数y=(x>0)的值，又小于函数 y=kx+1的值，直接写出m的取值范围. 初三数学第一学期第二次阶段检测试卷第4页共6页 25.已知乒乓球桌的长度为274cm,某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌 面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分 (1)建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度 y(单位：cm)与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系y=a(x-h,)2+k(a<0), Ay/cm 60 40 20 0 0和0如imn10词1m如an2如2o济/m 图1 图2 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度 部 的最大值，并求出满足的函数关系式： 水平距离x/cm 0 40 80 120 160 竖直高度ylcm 18 42 50 42 18 (2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 y=-0.005(x一h2)2+8.判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由. 必 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y,=ax2-2ax+2(a≠0)经过点A(-1,m)和点B(3,n). (1)当a=1时，比较m,n的大小，并说明理由： (2)若抛物线y,=ax2-2ax+2(a≠0)与x轴交于C,D两点，且CD长度大于4，直接写出a的取值范 围： (3)若抛物线y2=(a+2)x2-(2a+4)x+a(a≠-2)，当x>0时，总满足y≠y2,求a的取值范围. 27.如图1，△ABC中，∠ABC=∠ACB=a,点E在AC上，且满足AE=BE,点F在射线BE上，连 接AF,将AF绕点A顺时针旋转2a得到线段AP,连接CP交AB于点G. B D 图1 图2 (I)写出∠ABE与∠PAF的数量关系，并证明： : (2)如图2，取BC的中点D,连接GD,若∠PAG+a=∠GDC,请写出AF与GD的数量关系，并给出 证明. 初三数学第一学期第二次阶段检测试卷第5页共6页 28.在平面直角坐标系xOy中，对于点M和直线l,作点M关于I的对称点M',点N是直线I上一点， 作线段M'P满足M'P=M'N且∠PM'N=90°，如果线段M'P与直线I有交点，则称点P是点M关 于直线I和点N的“垂对点”.如图所示，点P是点M关于直线I和点N的“垂对点. 4 4 d。 M M 5-4-32-1012345x -5-4-3-2-1012345x -3N -4N2 -5 图1 备用图 备用图 (1)如图1，已知点M(-3,0), ①若点N(0,-3),则点M关于y轴和点N,的“垂对点”的坐标为 ②若点N2(0,-4),求点M关于y轴和点N2的“垂对点”P的坐标： (2)若点M、点P是直线y=-x-2上的点，点N(-5,0),且满足点P是点M关于x轴和点N的“垂对 点”，直接写出点M的坐标： (3)已知点A(-1,0),B(1,0),C(1,-2),D(-1,-2).点M在四边形ABCD的边上，直线：y=x+t, 若四边形ABCD的边上存在点P是点M关于直线I和点N的“垂对点”，请直接写出t的取值范围. 初三数学第一学期第二次阶段检测试卷第6页共6页 2026-2027学年度第一学期第二次阶段检测初三数学答案 一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 P 7 B C g c A Q D 二填空题 9.y=x2-2ax+1(答案不唯一) 10.< 11.y=5(x+2)2+3 12.x1=-3,x2=1 8y= 14.5 15.①②③ 16.(1)甲(2)89 三解答题 17.(答案2分，过程酌情给分) (1)解：移项得x2-4x=3, 配方得x2-4x+4=3+4, 即(c-2)2=7 开方得x-2=土√7， =2+√7,2=2-√7. (2)3x(x-2)=2(x-2） 3c(x-2)-2(c-2)=0 (c-2)(3c-2)=0 x-2=0或3x-2=0 =号=2 18.(化简2分，m2-3m=-1代入1分，答案1分) 解：，m是方程x2-3x+1=0的一个根， .m2-3m+1=0,即m2-3m=-1, .(m-3)2+(m+2)(m-2)=m2-6m+9+m2-4=2(m2-3m)+5=3. 19.(画图1分，两个坐标各2分) (1)如图，△A,BC即为所求. A 7 A B R 由图可得，B(2,2) 故答案为：(2,2). (2)连接AA2,BB2,分别作线段AA2,BB2的垂直平分线，相交于点M(0,-1), 即旋转中心的坐标为(0，-1). 故答案为：(0，-1). 20.（第1问2分，第2问3分，酌情给分) (1)证明：a=1,b=2-m,c=1-m, △=b2-4ac=(2-m)2-4×1×(1-m)=m2≥0， 原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根， 即该方程总有两个实数根： (2)解：设方程的较大的实数根为如，较小的实数根为2，依题意得： c1-x2=3,x1+x2=m-2,x1x2=1-m, ∴.(1-x2)2=32, 即2x2-2c12+x3=9, ∴.+=9+2xx2=9+2(1-m)=11-2m, (x1+2)2=(m-2)2, ∴.x+2x1x2+x吃=m2-4m+4, .11-2m+2(1-m)=m2-4m+4, 整理得：m2=9, 解得：m=3或m=-3, m<0, .m=-3. (或者求出两个根进行求解) 21.(第1问1分，第二问画出顶点1分，画对x轴交点其余差不多1分，第三问2分) (1)(3,-1): (2)如图， (3)-1≤y<8. 22.(第1问2分，第2问3分，酌情给分) 解：(1)当x=-1时，y=2+5-7=0 .抛物线y=2x2-5x-7经过点(-1,0)， 二次函数图象为“定点抛物线” (2):y=x2-mc+2-k与x轴只有一个公共点， ∴.(-1,0)是抛物线顶点， .抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1, ∴.2-k=1, k=1. 23.(设列.解验.答各1分) 解：已知创意画的长为10寸，宽为9寸，则创意画的面积为10×9=90（平方寸） 因为画框所占面积为创意画面积的号，所以画框的面积为90×号=30（平方寸）， 所以画框与创意画的总面积为90十30=120（平方寸）. 设摆台画框的左右边宽度为x寸，则上.下边宽度为2x寸， 带画框的整体长为10十2x×2=(10十4x)寸，宽为(9十2x)寸 依愿意，得(10十4如)9十2）)=120，解得=分=}5（舍）故摆台面框的左右边宽 度为合寸 24.(第1问3分，第2问2分) 解：(1)由题知， 将点A(a,3)代入y=6得， x a=2, 所以点A坐标为(2,3). 将点A(2,3)代入y=kc+1得， 2k+1=3, 解得k=1, 所以a的值为2，k的值为1. (2)由(1)知， 一次函数解析式为y=c+1, 因为当c>3时，对于x的每个值，函数y=mc(m≠0)既大于函数y=E(c>0)的值， 又小于函数y=kx+1的值， 所以3m≥￡且m≤1， 3 解得号≤m≤1， 3 所以m的取值范围是：号≤m≤1. 3 25.(第1问3分，第2问3分，酌情给分) 解：(1)由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值为50cm,h,=80,k=50: ∴y与x的函数关系式为y=a(c-80)2+50, 把(0,18)代入函数解析式得：18=a×802+50, 解得a=-0.005, ∴y与x的函数关系式为y=-0.005(x-80)2+50: (2)令y=0,则-0.05(x-80)2+50=0, 解得x=180或x=-20(舍去)， ∴.球第一次落在球桌面上的点为(180,0)， 把(180,0)代入y=-0.005(x-h2)2+8得： -0.005(180-h2)2+8=0, 解得h2=140(舍去)或h2=220, ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y= -0.005(x-220)2+8, 当y=0时，0=-0.005(x-220)2+8, 解得x=260或x=180(舍去)， 260<274, .乒乓球再次落下时仍落在球桌上 26. (1)m=n,1分， 理由，1分 回-号<a<0.2分 (3)a>4,答案1分，过程1分 代数法：作差构造新函数，需要通过对称轴为x=1,得到只要△≥0，则在x≥1时必 有解： 几何法：两个函数对称轴相同，所以只需看顶点和开口大小即可，需要对α<一2，一2< a<0,0<a<4,a>4,这四段画图分类，简单说明得出结论即可. 27. (1)互补，简单推角（结论1分，证明1分） (2)AF=2GD,1分， 过程中出现倍长中线或中位线，并且证明出对应全等，边等，1分 过程中出现G是CP中点，连接BP出中位线推边，1分 其余完整证明2分 28. (1)①(0,3)：②(-1,3)， 2分 2(-2多)(-3，-号)2分 (3)-5≤t≤3， 3分