导数内点效应讲义-2027届高三数学一轮复习

内点效应： 等号不在端点时，参数如何确定 一、本质原理：内点效应在做什么 含参不等式恒成立问题，第一步几乎总是先问一句：等号在哪里成立？这个问题的答案决定了解法的走向。若等号恰好落在区间的端点上，那是端点效应的地盘；若等号落在区间的内部，就要请出本节的主角——内点效应。 1.1 从“端点取等”到“内部取等” 先回顾端点效应的套路。若 在 上恒成立，且 ，则由“出发时不能向下掉”得到必要条件 。它抓住的是端点处的导数符号。 但如果等号落在区间内部呢？设 在区间 上恒成立，且在某个内点 （ 严格位于 的内部）处 。这时 在整个区间上的最小值就是 ，而且这个最小值在 处被取到。于是： 核心推理 若可导函数 在区间内部一点 处取得最小值，则该点处的导数必为零： 把这两条放在一起，就得到一个关于参数与内点的方程组。 这里用到的是一条高中就熟悉的事实：函数在区间内部取得最值的地方，切线是水平的。求三次函数、四次函数的最值点时，我们一直在用它；内点效应不过是把它反过来，用“取等点 导数为零”来倒推参数。 1.2 两个等式，两个未知量 内点效应之所以“好用”，关键在于方程个数与未知量个数刚好匹配：未知量是内点 与参数 （共两个），而我们手上有两个等式—— 与 。于是参数不是“缩在一段范围里”，而是常常被直接锁定成一个值。 与端点效应的分工 · 端点效应：等号在端点 用 的符号收缩参数范围； · 内点效应：等号在内部 用 的等式锁定参数取值。 两者都是“必要性探路”——先拿到必要条件，再回头验证充分性，缺一不可。 图 1 把两种情形并排画在一起：左图的最小值落在端点，右图的最小值落在内部。 图 1: 最小值落点不同：左图在端点取到，右图在内点取到 二、判断识别：什么时候轮到内点效应 拿到一道含参不等式恒成立题，先判断该用端点效应还是内点效应。判断的核心只有一句话：等号落在哪里。下面先梳理近年考情，再给出逐项检查的诊断清单与模型速查表。 2.1 内点效应相关真题梳理 真正“等号落在区间内部”的整卷真题不多，下表列出本讲义用到的四道全国卷真题。 表 1: 内点效应相关真题梳理（2015—2024 年全国卷） 年份 卷别 题号 考点 所用方法 2015 全国Ⅰ卷（理） 第 21 题 三次函数与 轴相切 内点效应（相切型） 2017 全国Ⅲ卷（理） 第 21 题 求参数 内点效应（明点型） 2020 全国Ⅰ卷（理） 第 21 题 的恒成立 探路＋找点否定 2024 全国甲卷（理） 第 21 题 型恒成立 端点效应（升阶） 2.2 三步诊断清单 内点效应适用前提 —— 逐项检查 条件 1：能锁定等号点。不等式在某点 处取等（即 ）。这个点可能是题目直接给出的（“在 处取最小值”），也可能是由函数结构一眼看出的（如 、），还可能是通过后面介绍的“两式对齐”猜出来的。 条件 2： 落在区间内部。 必须是区间的内点，不能是端点。若等号落在端点，那是端点效应的任务——两者不要混用。 条件 3： 在 处可导。 在 的一个邻域内可导，于是“内部取最值 导数为零”可用， 成立。 三项全部通过，就可以放心地设内点、联立 与 。 2.3 五类模型速查表 内点效应在题目中有五种常见的“长相”。做题时先认模型，方法自然随之而来。 表 2: 内点效应五类模型速查 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 明点型 定义域内有个点让含参项“失效”（如 、），或题目直接给出最值点 直接把该点代入 与 例 1 二 隐点型 内点 未知，参数与 缠在一起 设 ，联立两式、整体消元 例 2 三 共点型 参数取临界值时，端点与内点同时为零（“两头碰地”） 端点给符号、内点给等式，两边夹逼 例 3 四 相切型 曲线与直线（或两条曲线）相切，只有一个公共点 且 例 4 五 探路否定型 端点的一阶、二阶导数都不含参，必要条件给得太宽 取特殊点探路缩小范围，再设法否定其余参数 例 5 2.4 预警信号：内点效应可能不够用 两类要留神的信号 · 内点解不出来。 联立后出现 与 混在一起、无法显式解出的超越方程。此时不要硬算，改用分离参数或“找点否定”（见第四节策略 C、D）。 · 等号点不止一个。 若不等式在多个点同时取等（常见于端点与内点同时为零），要分别列出等式，用“两边夹逼”的方式夹出参数（见第三节模型三）。 三、常见情形（一）：明点型与隐点型 这两类模型的共同点是“内点能被定位”——区别只在于定位的难易。我们先看内点一眼可见的情形。 3.1 模型一 明点型：内点就摆在眼前 结构特征。 函数中含有 、、、 这类项，使得某个“整数特殊点”（最常见是 ，因为 、）恰好让含参项“失效”。 识别标志。 把 （或 、）代入，含参项的系数恰好为零， 变成不含参数的常数，且这个常数为 。 标准动作。 直接认定 ，写 ；再令 解出参数。若 本身恒为 （不含参），则 自动成立，此时只需 一条。 易错点。 明点型求出的参数往往是一个确定的值，但题目要的却可能是范围。务必回到原不等式验证：参数取到该值后可不可以再放宽？放宽后是否仍恒成立？ 例 1 —— 2017 年全国Ⅲ卷（理）第 21 题 已知函数 。若 ，求 的值。 图 2: 函数 在 时的图象，三条曲线都过点 解：定义域为 。 第 1 步 · 认结构：先看等号在哪里。代入 ： 这一项恒为 ，与 无关！所以 对任意 都成立。 是定义域 的内点，命中内点效应条件 ✓ 第 2 步 · 定内点：。 第 3 步 · 联立解：。由内点效应， 这是必要条件：若 恒成立，则 处既然是取等的最小点，导数必须为零。 第 4 步 · 验充分：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 恒成立 ✓ 综上，。 这一步为什么“够用”？ 本题求出 是唯一值，不是范围。原因在于： 是 的最小值点，而最小值又恰为 ——它把参数“卡死”了。若把条件放宽成 （），则 不再对应“最小值等于常数”，内点效应就必须配合其他方法。 3.2 模型二 隐点型：内点藏着，靠两式对齐把它揪出来 结构特征。 内点 不能直接读出，但可以把 与 写出来，通过“消去参数”或“让两式形式一致”求出 。 识别标志。 两道方程一写出来，发现含参数的项一模一样、只差一个系数——只要让系数相等，两式就能合并成一式。 标准动作。 设内点 ，列出 再用两条路之一求解：(i) 消元法——从 解出 代入 ；(ii) 对齐法——给两式乘上恰当的系数，使含参项相消，直接解出 。 易错点。 解出 后要检验它确实落在定义域内部；若解出的 落在端点，说明该题用端点效应更合适。 例 2 —— 改编（指对混合内点型） 已知不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 图 3: 函数 的图象，虚线为 解：令 ，，则题目要求 恒成立。 第 1 步 · 认结构：定义域 没有内点可“顺手”代入—— 时 仍含参数，看不出端倪。这时先假设等号在某个内点成立。 第 2 步 · 定内点：设等号点为 。写出两个等式： 第二式两边乘 ： 把它和第一式上下对照：含参数项都是 ，其余分别是 与 。只要 即 ，两式就完全重合。取 ，两式同时化为 第 3 步 · 联立解：。 第 4 步 · 验充分：题目要的是 的范围，不是单值，所以要把 代回原不等式验证并把可取的一侧找出来。分离参数： 求 的最小值。对 求导： 记 。则 （），故 严格递增，而 ，于是 所以 在 上递减、在 上递增，最小值 故 时 恒成立 ✓ 因此 “两式对齐”为什么有效？ 含参数的两个等式若能合并成一个不含参数的方程，就说明 的位置由函数结构本身决定、与参数无关。本题中 之所以特殊，是因为 的系数要“从 变成 再变回 ”——只有当 时才自洽。这种“让两式长得一样”的做法，是找隐藏内点最常用的照妖镜。 四、常见情形（二）：共点型、相切型与探路否定型 接下来三类模型，内点或“有特殊身份”（与端点同时取等），或“换了件外衣”（相切），或“干脆找不到”（探路否定）。 4.1 模型三 共点型：端点与内点同时碰地 结构特征。 参数取到临界值时，函数在端点和某个内点处同时取到最小值 。最典型的形状是 ： 恒成立（端点碰地），而参数合适时内点也恰好碰地。 识别标志。 把端点代入， 恒为 且不含参；但端点处的一阶导数含参，端点效应只能给出一段偏宽的范围。 标准动作。 双管齐下：端点条件（ 或 ）给出范围的一侧，内点等式 与 给出临界值；两者合起来夹出答案。 易错点。 不要以为端点效应给出的一侧就是答案——它往往“太宽”，真正收紧范围的是内点。 例 3 —— 改编（端点与内点同时取最小值） 已知函数 。若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 图 4: 函数 在三组参数下的图象，三条曲线都过原点 解：题目要求 对 恒成立。 第 1 步 · 认结构： 对任意 都成立——端点是“碰地”的。求导得 由一阶端点效应得必要条件 ，即 。 第 2 步 · 定内点：但 未必就是答案。再设等号在某个内点 处也成立，写出两个等式： 第二式两边乘 ： 要让它与第一式“长得一样”，取 ——此时 、 恰好对齐。两式同时化为 第 3 步 · 联立解：，这就是临界值。注意 ，说明端点效应给出的 确实太宽。 第 4 步 · 验充分：分两段。 (a) 先看临界情形 。此时 ，且 再求导：，故 ，。又 在 上为负、在 上为正，即 先减后增；配合 、、，可知 在 内先正后负、在 上为正。于是 在 上的最小值只能在两端点 、 处取得，均为 ；而 在 上递增，故 恒成立 ✓ (b) 再看范围。由于 ， 关于 单调递减（ 越小， 越大）。因此当 时，对一切 ： 恒成立 ✓ 而当 时，取 得 ，不成立。 综上，，即 。 端点效应只给了“一半”答案 端点效应给出 ，而真答案是 ——粗看只差一点，实则多出了一整段无效参数。真正把范围收紧的是内点 ：参数取到临界值 时，端点 与内点 同时碰地，这正是“共点型”的典型长相。 4.2 模型四 相切型：曲线与直线只有一个公共点 结构特征。 题目问“直线与曲线相切”“ 轴是曲线的切线”“求切点”，本质上是在问：曲线什么时候和直线恰好相切（有且只有一个公共点，且公共点处斜率相等）。 识别标志。 出现“相切”“切线”“只有一个公共点”这类词；或者把问题整理成 （或 ）且等号只在一点成立。 标准动作。 设切点（即等号点）为 ，联立 两式消元即得参数。 易错点。 “相切”要求的是重根（等号点处导数为零），不要与“相交”混淆； 只是“有公共点”，还差一步 才能确认相切。 例 4 —— 2015 年全国Ⅰ卷（理）第 21 题 已知函数 。当 为何值时， 轴为曲线 的切线？ 图 5: 三次函数图象与 轴：在点 处相切 解：设曲线 与 轴相切于点 。 第 1 步 · 认结构：“相切”意味着这个点既在曲线上、又在 轴上，而且曲线在此处的切线就是 轴（水平），即斜率为 。这正是内点效应的两个条件。 第 2 步 · 定内点：切点 未知，但由相切的定义可直接写出两个等式。 第 3 步 · 联立解： 由第二式得 ，代入第一式： 于是 第 4 步 · 验充分：当 时， 求导得 ，令 得 。其中 ，说明曲线在 处与 轴相切；而 处 ，不是切点。 综上，。 相切型与二次方程的“判别式”是一回事 对三次函数，若切点方程 解出唯一的 ，等价于 有一个二重零点。本题 ， 是二重零点——这正是“相切”的代数标签。 4.3 模型五 探路否定型：找不到现成内点时怎么办 结构特征。 端点的 、 都不含参（或只给出一个偏宽的范围），内点又无法直接解出，看上去“无点可用”。 识别标志。 端点效应给出一段明显偏宽的范围；把它往区间里代一个“顺手”的特殊点（、、 等），立刻得到更紧的必要条件。 标准动作。 两步走：(i) 用特殊点探出参数的边界（“找点”）；(ii) 再用该边界对应的内点验证充分性。很多时候会发现：那个特殊点恰好就是内点——这就是内点效应在“藏得深”时的样子。 易错点。 端点效应给出的范围不是答案，直接写会丢一半分；必须补上“找点”这一步把它收紧。 例 5 —— 2020 年全国Ⅰ卷（理）第 21 题第 (2) 问 已知函数 。当 时，，求 的取值范围。 图 6: 函数 在两组参数下的图象，两条曲线都过原点 解：令 ，则题目要求 对 恒成立。 第 1 步 · 认结构：，等号在端点 处成立。先求导看看端点信息够不够： 一阶端点效应失灵，升阶： 由二阶端点效应得必要条件 ，即 。 第 2 步 · 检验这个必要条件够不够紧：取 （满足 ）代入 ： 不成立！说明 太宽，端点效应在这里没有卡准。 第 3 步 · 找点探路 ＋ 定位内点：取特殊点 。由 ： 再看这个点是不是“内点”：当 时， 两个等式同时成立—— 正是一个内点！也就是说， 在端点 与内点 处同时取到最小值 。这正是模型三“共点型”的隐点版本。 第 4 步 · 验充分：分两段给出严格论证。 (a) 必要性：若 对一切 成立，特别地 ，故 。 (b) 充分性：设 。因为 ， 关于 单调不减，只需验证临界情形 。记 则 ，。再分析单调性： 在 处变号，故 在 上递减、 上递增。计算得 由零点存在定理， 在 与 内各有一个零点。于是 先增、后减、再增；配合 、 与两端符号，可知 在 内先正后负、在 上为正。因此 在 上的最小值只能在两个端点 、 处取得，均为 ；而 在 上递增，。故 恒成立 ✓ 综上，，即 。 本题的两条教训 · 端点效应会“给宽”：二阶端点效应给出 ，比真答案 宽得多，直接写就错。 · “找点”要有依据：为什么取 而不是别的点？因为把 算出来是 ，参数系数是干净的 ，且 与 同量级。找点的技巧，见下一节的策略 D。 五、应对策略体系 内点效应不是“一个招式”，而是由四个动作组成的整体。下面把动作与选择规则一次讲清。 5.1 策略 A：设点联立（内点效应的四个动作） 第 1 步 · 认结构：先判断等号落在端点还是内部。落在内部 用内点效应；落在端点 用端点效应。 第 2 步 · 定内点：设等号点为 （若题目给出或一眼可见，直接取定值）。 第 3 步 · 联立解：写出 用“消元法”或“对齐法”求出参数 （或某个临界值）。 第 4 步 · 验充分：把临界参数代回原不等式，验证恒成立；若题目要范围，再判断参数可取的一侧。这是拿满分的关键一步，绝不能省。 5.2 策略 B：对齐法——怎么猜出内点 当内点 未知时，“对齐法”最省力：给 与 各乘上恰当的系数，使含参数的项完全相同，相减后得到只含 的方程。 对齐法的三个常用“锚点” · 出现 ：先试 （）。 · 出现 ：先试 （）或 （ 与 的幂同阶）。 · 出现 与 并排：先试 （）或 （）。 对齐法给出的是候选内点，必须回到第 4 步验证充分性。 5.3 策略 C：内点解不出来时，改用分离参数 若联立后得到形如 这类无法显式求解的方程，说明内点“藏得太深”。此时把参数分离到一边： 转而求 的最值。例 2 的第 4 步用的就是这个办法——先靠内点效应锁定候选值，再用分离参数确认范围。 5.4 策略 D：找点否定——必要范围太宽时 若端点效应或内点效应给出的范围偏宽，可以在区间内挑一个特殊点代入，得到更紧的必要条件。挑点的原则是： 找点的四条经验 · 让参数系数干净：选 使代入后含参项是整数倍（如 使 变成 ）。 · 让超越项“落地”：出现 取 或 ；出现 取 或 。 · 优先取区间内、且大概率是临界的点：、、 是最常用的三个。 · 若该点满足 ，它就是内点——立刻转用策略 A 完成严格证明。 5.5 策略选择指引 把上面的判断整理成一张对照表：看条件特征，选对应策略。 表 3: 内点效应的策略选择指引 条件特征 选用策略 说明 等号点可由题目或结构直接读出 策略 A 直接代入，两式联立，最快 等号点未知，参数与 缠在一起 策略 B 对齐两式、消去参数，解出 联立后得到超越方程、无法显式求解 策略 C 分离参数，转求新函数的最值 端点效应/内点效应给的范围偏宽 策略 D 取特殊点收紧必要条件 六、例题精讲 本节把五种模型各配一道例题（例 1～例 5 见前文分类讲解），并补一道综合题巩固。每道题的解答统一按“认结构 定内点 联立解 验充分”四步展开。 例 6 —— 2024 年全国甲卷（理）第 21 题第 (2) 问 已知函数 。当 时，，求 的取值范围。 图 7: 函数 在 与 时的图象，两条曲线都过原点 解： 的定义域为 。先算端点的“信息量”。 第 1 步 · 认结构： 等号在端点 处成立。求导： 一阶端点效应失灵，升阶： 注意这里的等号点 是端点（定义域右开端点），所以用的是端点效应的升阶形式，而不是内点效应——这是本例与前面几例的分水岭。 第 2 步 · 定内点：本题无需设内点；由二阶端点效应得必要条件 第 3 步 · 联立解（此处是“解出必要条件”）：。 第 4 步 · 验充分：设 ，则 当 时，；又 、，故 ，于是分子 ，即 。所以 在 上单调递增，而 ，从而 ， 在 上单调递增，故 恒成立 ✓ 综上，，即 。 例 6 与内点效应的关系 本例的等号点 是定义域端点，因此严格地说它是“端点效应（升阶）”的成功案例，而非内点效应。把它放在这里，是为了让你看清两条边界之间的分水岭：等号点在端点上，就归端点效应；落在内部，才归内点效应。答题时判错这一步，方法就会用错。 七、对比总结：端点效应与内点效应 把前面五类模型放回同一张表，可以清楚地看到“等号位置”如何决定方法的选择。 表 4: 五类内点模型归位与端点效应对照 模型 等号点位置 核心动作 关键提示 一 明点型 内部，可一眼读出 直接代入 、 求出的常为确定值，注意还要判断能否放宽 二 隐点型 内部，需联立求出 设 ，消元或对齐两式 内点常“藏”在 与 的结构里 三 共点型 端点与内点同时取等 端点给符号、内点给等式 端点效应只给一侧，真正收紧靠内点 四 相切型 内部切点 联立 、 “相切”＝等号点处导数为零 五 探路否定型 不确定 取特殊点探路，再验充分 端点效应给的范围往往偏宽 端点效应 区间的端点 用 的符号收缩范围 等号在端点时才用，别与内点效应混用 下面这个对比最能说明两种效应的差别：同一个函数，只把区间换一换，等号点就从端点变成了内点，答案也随之改变。 表 5: 同一函数在不同区间上的对比 题目 区间 等号点位置 方法与答案 是左端点 端点效应， 是内点 内点效应， 在区间 上，端点效应只给出“出发时不能向下”这一条约束，得到范围 ；一旦把区间扩大为全体实数， 就变成了内点，内点效应立刻把参数卡成唯一值 ——因为此时 必须在 处取到最小值 ，任何“更小”的 都会让函数在 处跌到 以下。等号点的身份变了，答案的“形状”（范围 / 定值）也就跟着变了。 八、巩固练习 练习 1 若函数 满足 对任意 恒成立，求 的值。 练习 2 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 练习 3 已知函数 。若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 （提示：先设内点 ，用 与 联立，看看 与 有什么关系。） 练习参考答案与提示 练习 1：答案：。 提示：定义域为全体实数， 是内点。 对任意 成立；，由 得 。验证： 时 ， 在 递减、 递增，最小值 ，故恒成立。再看其他取值：若 ，取 得 ，不成立；若 ，取 得 ，不成立；若 ，则 ， 附近 ，不成立。 练习 2：答案：。 提示：令 ，。设内点 ，由 与 得 且 ，两式相除得 ，于是 。分离参数检验范围：，而 的最小值为 ，故 。（取等时 。） 练习 3：答案：。 提示：。设内点 ，由 得 ，代入 ： 于是 。验证： 时 ， 在 递减、 递增，最小值 ，恒成立。分离参数得 ，而 的最小值为 （在 处取到），故 。 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $