精品解析：福建省南平市顺昌县第一中学2026-2027学年高二上学期9月适应性练习数学试题

顺昌一中2026-2027（上）高二年级9月适应性练习 数 学 （时长：120分钟 满分：150分） 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 样本数据7，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知一组数据的频率分布直方图分布形态如图所示，则该组数据的平均数、中位数、众数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的虚部是 B. 若，则的实部为 C. 若，，则为实数 D. 的模为 10. （多选）若，，，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（含端点），则（ ） A. 过点A，C，M的截面的周长为 B. 的最小值为 C. 与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 当时，过点P作三棱锥外接球的截面，所得截面面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量与共线，则________． 13. 为了解某校高一年级男生的体重，从该校高一年级男生中随机抽取12名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：） 则该样本数据的第70百分位数为_________． 14. 在平面凸四边形中，，，，则该四边形面积的最大值是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 16. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，…， 后得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求分数在内的频率； （Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分； （Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 17. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺昌一中2026-2027（上）高二年级9月适应性练习 数 学 （时长：120分钟 满分：150分） 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 样本数据7，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【详解】根据平均数定义可知，. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，由余弦定理得,所以. 3. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法求复数，写出对应点确定其所在的象限. 【详解】由题设，对应点为在第一象限. 故选：A 4. 已知一组数据的频率分布直方图分布形态如图所示，则该组数据的平均数、中位数、众数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】众数：最高矩形在最右侧偏左的位置，因此是三个数中最靠右（最大）的. 中位数：中位数是累计频率为对应的横坐标，结合频率分布直方图可知， 从左到右矩形高度逐渐增加，累计频率到时，位置落在最高矩形的左侧，因此. 平均数：平均数是所有组的组中点乘频率的和，结合频率分布直方图可知，分布是左偏分布，因此平均数会小于中位数. 5. 某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率. 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. 6. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案. 【详解】， 故选：D 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果. 【详解】圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则， 由题意得. 则上底面积，下底面积，侧面积， 总表面积. 8. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的虚部是 B. 若，则的实部为 C. 若，，则为实数 D. 的模为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，实部和虚部定义，复数乘法和除法运算，及复数模的计算公式逐一判断即可． 【详解】对于A，由，则，所以的虚部是，故A正确； 对于B，由，则，所以的实部为，故B正确； 对于C，由，，则，所以不是实数，故C错误； 对于D，由，所以的模为，故D正确． 10. （多选）若，，，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率加法公式，结合已知条件分析即可. 【详解】对于A，若事件与互斥，则，由题意知，故A错误； 对于B，因为事件与不互斥，则事件与一定不对立，故B错误； 对于C，因为，所以， 由，故C正确； 对于D，根据概率加法公式得：，故D正确. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（含端点），则（ ） A. 过点A，C，M的截面的周长为 B. 的最小值为 C. 与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 当时，过点P作三棱锥外接球的截面，所得截面面积最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先找到过点A，C，M的截面，再直接计算截面周长；通过将相关面展开到同一平面，化折线为直线计算最小值；利用等体积法求点到面距离，并结合垂线段最短确定位置，进而得到正弦值的最大值；转化为球心到截面距离最大，借助正方体外接球半径和截面圆半径公式求解截面面积最小值. 【详解】对于选项A，取中点，连接，，则四边形为过三点的截面， 其周长为，A正确； 对于选项B，将与沿直线展开到同一平面内，如图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ， 为等边三角形，， ， ， 的最小值为，B错误； 对于选项C，因为平面，平面， 所以平面，故上任意一点到平面的距离都相等，设其为， 则与平面所成角的正弦值， 当点为中点，最小，此时，为最大. 又，，，， 所以，同理，又，所以平面， 根据，可得， 即，解得， 此时，故C正确； 对于D选项，设三棱锥的外接球球心为O，外接球半径为R，线段的中点为E， 截面圆的半径为r，要使得过点P的截面面积最小，则OP垂直截面圆. 因为三棱锥的外接球也是正方体的外接球，所以. 由题意可得， 则，所以截面圆的面积为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量与共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示直接列式求解即可. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得 所以，向量与共线，则. 13. 为了解某校高一年级男生的体重，从该校高一年级男生中随机抽取12名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：） 则该样本数据的第70百分位数为_________． 【答案】 69 【解析】 【详解】由，得该样本数据的第70百分位数为69. 14. 在平面凸四边形中，，，，则该四边形面积的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理，表示长度，可得角与角的关系，再借助三角形的面积公式，利用角与角表示凸四边形ABCD面积为，借助三角恒等变换，可求的最大值. 【详解】如图： 连接，在和中， ， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以， 所以 ， 所以当时，有最大值， 即有最大值，所以S的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，， 则， 所以. 【小问2详解】 若向量与相互垂直，则， 即，解得． 16. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，…， 后得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求分数在内的频率； （Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分； （Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 【答案】（Ⅰ）0．3（Ⅱ）71（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的概率；（Ⅱ）平均数为每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和；（Ⅲ）由题意，根据直方图计算出[80，90）分数段的人数为15人；[90，100]分数段的人数为3人；由分层抽样得在[80，90）与[90，100]分数段抽取人数分别为5人，1人．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．再利用古典概型计算出事件发生的概率即可 【详解】（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为： （Ⅱ）平均分为： （Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：人 [90，100]分数段的人数为：人； ∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人， 记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的 分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人． 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件， 则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C）， （B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种． 事件包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种． ∴恰有1人的分数不低于90分的概率为 17. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. 【小问2详解】 由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． 【小问3详解】 由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明：连接，设与相交于点，连接． 四边形是菱形，为的中点． 是棱的中点，． 又平面，平面， 平面． （2）1 （3）2 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过作，垂足为，连接，找到二面角即为，最后根正切定义即可得到答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角． ，，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得． ，即，从而． 四边形是菱形，且， ， 是等边三角形，从而． 又，， ． ，从而． 又，平面，平面， 平面． 取的中点为，连接 点为中点， 平面． 又且 求三棱锥的体积为． 【小问3详解】 过作，垂足为，连接． 由（2）知平面， 平面，平面， ，． ，，平面，平面， 平面． 平面， ， 为二面角的平面角， 在Rt中，，． ， 二面角的正切值是2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $