第二章《一元二次方程》期中考点总结与练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 3｜公式法与根的判别式——求根公式、根的判别式及应用 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 3—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·求根公式·判别式三分类·判别式反求参数 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、中考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 3 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线求根公式——a＋bx＋c＝0（a≠0）在 －4ac≥0 时套公式求根，用前先化一般式、系数带符号代入；二线判别式三分类——Δ＝－4ac 的符号对应两不等实根、两相等实根、无实根三类，给方程判根的情况与给根的情况定参数双向训练；三线判别式反求参数——“有实根”与“两不等实根”的等号取舍、二次项系数含参须非零、特殊结构先整理再算 Δ——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 3 保持一致） 考点范围：求根公式（把一般式 a＋bx＋c＝0（a≠0）的系数代入 x＝ 得根，用前先化一般式、a、b、c 带符号代入；结果能约分要化简）、根的判别式（Δ＝－4ac：Δ＞0 时方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 时有两个相等的实数根；Δ＜0 时没有实数根；给方程判根的情况与给根的情况定参数双向运用）、等号取舍（“有实数根”“有两个实数根”按 Δ≥0，“有两个不相等的实数根”按 Δ＞0，“没有实数根”按 Δ＜0；二次项系数含参数时须另加非零条件）、分类讨论（系数含参的方程先讨论二次项系数是否为 0——为 0 时是一次方程另行判断根；整理成一般式再算 Δ；整体代换结构先化简 Δ）——与考点速览考点 3 一致。 一、求根公式——一般方程的通用钥匙 ◆ 公式来源：对 a＋bx＋c＝0（a≠0）配方：两边除以 a、移项、加上一次项系数一半的平方，化为 ＝，当 －4ac≥0 时开平方得 x＝。公式对任何一般式方程通用，故也称万能公式。 ◆ 使用三步：一化——先整理成一般式（去括号、移项、合并同类项）；二代——认清带符号的 a、b、c（缺项系数按 0）；三算——先算 Δ＝－4ac 的值，Δ≥0 才代入公式。分子是整体 －b±，分母是 2a，负号、±号、分数线三处最易错。 二、判别式三分类——Δ 的符号定根的个数 ◆ 三分类：Δ＝－4ac＞0 ⟺ 两不等实根；Δ＝0 ⟺ 两相等实根（＝＝－）；Δ＜0 ⟺ 无实根。判根的情况题不需求出根，只算 Δ 定符号即可。 ◆ 双向运用：正向——给方程判根的情况（四个方程逐一算 Δ 比对选项）；逆向——给根的情况反求参数范围（把根的情况翻译成 Δ 的不等式再解）。两向都要先化一般式、认清系数。 三、判别式反求参数——等号与前提两道关 ◆ 等号取舍：“有实数根”“有两个实数根”都包含两根相等的情形，按 Δ≥0，取等号；“有两个不相等的实数根”按 Δ＞0，不取等号；“没有实数根”按 Δ＜0。读题逐字圈画，等号取舍错一步全错。 求根公式·判别式三分类·反求参数速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 求根公式 x＝（a≠0，Δ≥0）；先化一般式再代系数 用公式法解方程 系数符号代入错、漏 ± 判别式三分类 Δ＞0 两不等；Δ＝0 两相等；Δ＜0 无实根 判断方程根的情况 Δ 计算错、符号定错 判别式判根 逐一算 Δ 定符号，与三分类对照 四个方程选根的情况 只算一个选项就作答 反求参数（含等） “有实根”“两实根”→ Δ≥0 求参数的取值范围 漏等号（Δ＞0 与 Δ≥0 混） 反求参数（严格） “两不等实根”→ Δ＞0；“无实根”→ Δ＜0 求参数范围、定最大整数值 解不等式移项出错 系数含参分类 二次项系数＝0 与 ≠0 分开讨论，≠0 另加条件 字母系数方程定参数 漏二次项系数非零 ◆ 系数非零关：二次项系数含参数时，一元二次方程的前提是二次项系数≠0——如 k－6x＋9＝0 中 k≠0 必须单列；(m＋1)－2x＋1＝0 中 m≠－1 要先排除再解 Δ 不等式。 四、分类讨论与综合运用——先分类再定 Δ ◆ 系数含参先分类：讨论二次项系数为 0 与不为 0 两种情形——为 0 时方程是一次方程，按一次方程判断根；不为 0 时才是二次方程，算 Δ 对照条件取参数范围，最后把各情形的结果合并（如东营中考题 k≤－1 的合成）。 ◆ 结构整理与整体代换：未化成一般式的方程先整理（如 －mx－＋mn＋1＝0 型把 Δ 配成 －4 再代入条件）；证明“不论参数取何值总有两实根”的题，把 Δ 整理成完全平方后用非负性说明 Δ≥0；含三角形边长的方程，Δ 的等式恰是边长关系的翻译（如 ＝－ 型）。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 求根公式是一般式方程的通用解法：a＋bx＋c＝0（a≠0）在 －4ac≥0 时 x＝——先化一般式、认清带符号的 a、b、c，先算 Δ 再代公式，分子整体、分母 2a 两处最易错； 根的判别式 Δ＝－4ac 把根的情况三分类：Δ＞0 两不等实根、Δ＝0 两相等实根、Δ＜0 无实根——判根的情况只算 Δ 不求根，是选择、填空的高频设问； 由根的情况反求参数是逆向运用：“有实数根”与“两不等实根”的等号取舍、二次项系数含参须非零、先分类讨论再合并范围，是本考点的主要台阶； 综合题把 Δ 与配方、整体代换、三角形边长条件结合，如证明“不论参数取何值总有两实根”要把 Δ 整理成完全平方——本考点与考点速览考点 3 对齐（★☆~★★★），选择、填空、解答三种题型齐全。 答题方法（三步法） 第一步·化一般式：去括号、移项、合并同类项，整理成 a＋bx＋c＝0（a≠0），认清带符号的 a、b、c，缺项系数按 0； 第二步·算判别式：Δ＝－4ac——判根的情况直接定符号；反求参数把根的情况翻译成 Δ 的不等式（含等号 or 不含等号逐字读题）； 第三步·收尾：判根的情况按三分类作答；反求参数先看二次项系数是否含参（含参先分类、≠0 单列），解 Δ 的不等式定出参数范围，需要时再取整数值或合并各情形。 注意事项（易错警示） 等号取舍错：＋2x－m＝0“有两不等实根”是 Δ＝4＋4m＞0 而非 ≥0——“有实根”“两实根”才取等号，审题先圈关键字； 系数符号错：代入 Δ 时 b 带符号——方程 －3x＋1＝0 中 b＝－3，Δ＝－4×1×1＝5，写成 3－4 必错； 二次项系数漏非零：k－6x＋9＝0“两不等实根”除 Δ＞0 外必须 k≠0；(m＋1)－2x＋1＝0 必须 m≠－1——含参系数的非零前提单列才完整； 分类讨论漏情形：系数含参的“无实根”题，二次项系数为 0 时方程可能无解也可能一次方程有根，k＝1 与 k＝－1 的特殊值要逐一验证再合并。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 判别式判根 算 Δ 定符号，四方程比对三分类 根的情况是、正确的是 ★☆ 含参判根 整理成一般式再算 Δ 关于 x 的方程根的情况 ★★☆ 反求参数（范围） 根的情况翻译成 Δ 的不等式 则 m 的取值范围是 ★★☆ 反求参数（定值） Δ＝0 解方程求参数值 则 a 的值为 ★★☆ 系数含参分类 二次项系数 0 与非 0 分讨论 无实数根，则 k 范围 ★★★ 判别式综合 Δ 配方证恒有根、边长条件翻译 判断三角形形状、证恒有实根 ★★★ 命题边界：本考点考公式法与根的判别式（求根公式的代入使用、Δ 三分类判断根的情况、由根的情况反求参数、等号取舍、二次项系数含参的分类讨论、Δ 与配方·三角形边长的综合）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章一元二次方程及之前所学内容（配方法、平方根的意义、等式与不等式的基本性质、完全平方公式），个别题用到三角形边角关系（七年级下册），未使用因式分解法、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：四方程逐一算 Δ 选“两不等”（选择）→ 缺常数项方程判根的情况（选择）→ 两相等实根反求参数值（选择）→ 判根的情况选结论（选择）→ 由一根为 0 求参数（选择）→ 证明不论参数取何值总有两实根并找定值根（解答）。变式覆盖：判根的情况（选择）→ 不解方程判断根的情况（填空嵌空）→ 两不等反求参数范围（选择）→ 两实根反求参数范围含等号（选择）→ 判无实根（选择）→ 两不等反求参数最大整数（选择）→ 系数含参须非零（选择）→ 边长方程判三角形形状（解答）→ 两实根反求参数范围含等号（选择）→ 无实根反求参数范围（填空嵌空）。拔高覆盖：系数含参无实根分类讨论（填空嵌空）→ 无实根反求范围（选择）→ 有实根含系数非零（选择）→ 两相等反求参数值（选择）→ 两实根含系数非零（选择）→ 整体代换判根（选择）→ 两不等选可行值（选择）→ 恒成立判根（选择）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教逐项算 Δ 的比对法：A 选项 Δ＝－4＜0、B 选项 Δ＝0、C 选项 Δ＝－3＜0、D 选项 Δ＝5＞0——四个方程都算完再作答，只算一两个选项就选必错； ◆ 例 2 教缺项方程的判根：－2x＝0 中常数项 c＝0，Δ＝－4×1×0＝4＞0——缺项系数按 0 代入； ◆ 例 3 教“两相等”定参数值：a＋2x＋1＝0 中 Δ＝－4a＝0，解方程得 a＝1——“两相等”对应 Δ＝0 是等式，直接解出参数； ◆ 例 4 教结论型选择：－3x＋1＝0 算得 Δ＝－4＝5＞0，与“两不等实根”对照； ◆ 例 5 教代入定参：x＝0 代入 (a＋2)＋x＋－4＝0 得 －4＝0，再回代检验二次项系数 a＋2≠0，排除增解； ◆ 例 6 教综合证明：Δ 整理成 ≥0 说明总有两实根，再用因数结构找定值根 3。 例 1　选择题 （2025·安徽·中考）下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．＋1＝0　　B．－2x＋1＝0　　C．＋x＋1＝0　　D．＋x－1＝0 例 2　选择题 （2025·河南·中考）一元二次方程 －2x＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．只有一个实数根　　D．没有实数根 例 3　选择题 （2025·北京·中考）若关于 x 的一元二次方程 a＋2x＋1＝0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（　　） A．－4　　B．－1　　C．1　　D．4 例 4　选择题 （2025·江苏扬州·中考）关于 x 的一元二次方程 －3x＋1＝0 的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．没有实数根　　D．无法判断根的情况 例 5　选择题 （2024·四川凉山州·中考）若关于 x 的一元二次方程 (a＋2)＋x＋－4＝0 的一个根是 x＝0，则 a 的值为（　　） A．2　　B．－2　　C．2 或 －2　　D． 例 6　解答题 （2024秋·连云港赣榆区期中）已知关于 x 的方程 －(m＋4)x＋3m＋3＝0。 （1）求证：不论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）不论 m 取何值，方程有一根为定值，请求出这个定值。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练正向判根：＋3x＋1＝0 算 Δ＝－4＝5＞0；2＋x－1＝0 不解方程、只算 Δ＝＋8＝9＞0 即得结论——对应例 1、例 4； ◆ 变 3~变 6 四道反求参数：变 3“两不等”Δ＝4＋4m＞0；变 4“两实根”Δ＝4－4m≥0 含等号；变 5 含 的 Δ＝－4－7 恒小于 0；变 6“两不等”得 m＜0 且 m≠－1，再取最大整数 －2； ◆ 变 7 练系数非零关：k－6x＋9＝0 除 Δ＞0 外 k≠0 单列； ◆ 变 8 练边长综合：(a＋c)＋2bx＋(a－c)＝0 中 x＝－1 代入与 Δ＝0 的等式分别翻译成等边、直角的边长关系； ◆ 变 9、变 10 练含等号与无实根：变 9“两实根”k≥－1；变 10“无实根”1＋8m＜0 得 m＜； ◆ 限时建议：变式组 25 分钟内独立完成，重点练等号取舍与系数非零两个关口。 变式 1　选择题 （2025·四川广安·中考）关于 x 的一元二次方程 ＋3x＋1＝0 的根的情况是（　　） A．没有实数根　　B．有两个不相等的实数根　　C．有两个相等的实数根　　D．无法确定 变式 2　填空题 （2025·广东·中考）不解方程，判断一元二次方程 2＋x－1＝0 的根的情况是________。 变式 3　选择题 （2024·北京二模）若关于 x 的一元二次方程 ＋2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞－1　　B．m≥－1　　C．m＜－1　　D．m≤－1 变式 4　选择题 （2024·北京昌平二模）若关于 x 的方程 －2x＋m＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜1　　B．m＞1　　C．m≤1　　D．m≥1 变式 5　选择题 （2025·广东广州·中考）已知关于 x 的一元二次方程 －x＋＋2＝0，则该方程（　　） A．有两个相等的实数根　　B．有两个不相等的实数根　　C．没有实数根　　D．不能确定 变式 6　选择题 （2024秋·孝感安陆市九年级第一次测评）若关于 x 的一元二次方程 (m＋1)－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 可取得的最大整数值为（　　） A．－2　　B．－1　　C．0　　D．1 变式 7　选择题 （2024秋·吉林永吉县期末）若关于 x 的一元二次方程 k－6x＋9＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜1　　B．k＜1 且 k≠0　　C．k≠0　　D．k＞1 变式 8　解答题 （2025·珠海八校期中联考）已知关于 x 的一元二次方程 (a＋c)＋2bx＋(a－c)＝0，其中 a、b、c 分别为△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边。 （1）若 x＝－1 是该方程的一个根，且 2b＝a＋c，请判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）若该方程有两个相等的实数根，请判断△ABC 的形状，并说明理由。 变式 9　选择题 （2024·北京平谷二模）若关于 x 的一元二次方程 ＋2x－k＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k≥1　　B．k≥－1　　C．k＞－1　　D．k≤－1 变式 10　填空题 （2025·上海·中考）若关于 x 的一元二次方程 2＋x－m＝0 没有实数根，则 m 的取值范围是________。 PART 05 拔高巩固（8 题） 公式法与根的判别式——求根公式、Δ 三分类 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在分类讨论：(－1)＋(k＋1)x＋＝0 无实根——k＝1 时一次方程有根、k＝－1 时方程无解成立、k≠±1 时 Δ＝2(k＋1)＜0，三种情形合并得 k≤－1； ◆ 拔高 2 的台阶在含参判根：－2x＋a＝0 无实根 ⟺ 4－4a＜0，即 a＞1； ◆ 拔高 3 的台阶在“有实根”双关：一元二次方程定义先给 a≠1，再由 Δ＝4－4(a－1)≥0 得 a≤2； ◆ 拔高 4 的台阶在 Δ＝0 定值：－2＋4x＋k＝0 中 Δ＝16＋8k＝0，k＝－2 唯一； ◆ 拔高 5 的台阶在系数非零：(m－2)＋4x＋2＝0“两实根”得 m≤4 且 m≠2； ◆ 拔高 6 的台阶在整体代换：－mx－＋mn＋1＝0 的 Δ 配成 －4，代入 m－2n＝3 得 Δ＝5＞0； ◆ 拔高 7 的台阶在利用判别式证方程有无实根，在此基础上利用方程根的正负性求参数； ◆ 拔高 8 的台阶在综合应用。 拔高 1　填空题 （2025·山东东营·中考）若关于 x 的方程 (－1)＋(k＋1)x＋＝0 无实数根，则 k 的取值范围是________。 拔高 2　选择题 （2025·新疆·中考）若关于 x 的一元二次方程 －2x＋a＝0 没有实数根，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜1　　B．a＞1　　C．a≤1　　D．a≥1 拔高 3　选择题 （2025·四川内江·中考）若关于 x 的一元二次方程 (a－1)＋2x＋1＝0 有实数根，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a≤2　　B．a＜2　　C．a≤2 且 a≠1　　D．a＜2 且 a≠1 拔高 4　选择题 （2025·四川德阳·中考）若关于 x 的一元二次方程 －2＋4x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（　　） A．2　　B．－2　　C．－2 或 2　　D．0 拔高 5　选择题 （2024·黑龙江大兴安岭·中考）若关于 x 的方程 (m－2)＋4x＋2＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≤4　　B．m≥4　　C．m≤4 且 m≠2　　D．m＜4 且 m≠2 拔高 6　选择题 （2024·山东潍坊·中考）已知 m－2n＝3，则关于 x 的一元二次方程 －mx－＋mn＋1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根　　B．有两个不相等的实数根　　C．没有实数根　　D．不能确定 拔高 7　选择题 （26-27·达州月考） 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 拔高 8　选择题 （2025-2026·四川模拟）已知关于的方程 其中． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 逐项计算判别式选“两不等”（选择） 例 2 缺常数项方程判根的情况（选择） 例 3 “两相等”定参数值（选择） 例 4 结论型判根的情况（选择） 例 5 由一根为 0 求参数并检验（选择） 例 6 证恒有两实根并找定值根（解答） 变式 1 判根的情况（选择） 变式 2 不解方程判断根的情况（嵌空） 变式 3 “两不等”反求参数范围（选择） 变式 4 “两实根”反求参数范围（选择） 变式 5 含平方参数的方程判根（选择） 变式 6 “两不等”定最大整数值（选择） 变式 7 系数含参须非零（选择） 变式 8 边长方程判三角形形状（解答） 变式 9 “两实根”反求参数范围（选择） 变式 10 “无实根”反求参数范围（嵌空） 拔高 1 系数含参无实根分类讨论（嵌空） 拔高 2 “无实根”反求范围（选择） 拔高 3 “有实根”含系数非零（选择） 拔高 4 “两相等”定参数值（选择） 拔高 5 “两实根”含系数非零（选择） 拔高 6 整体代换判根（选择） 拔高 7 利用判别式证方程有无实根，在此基础上利用方程根的正负性求参数 拔高 8 综合应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式、认清系数，再算判别式定符号；“有实根”带等号、“两不等”严格大于；二次项系数含参先看是否为零。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 3｜公式法与根的判别式——求根公式、根的判别式及应用 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 3—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·求根公式·判别式三分类·判别式反求参数 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、中考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 3 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线求根公式——a＋bx＋c＝0（a≠0）在 －4ac≥0 时套公式求根，用前先化一般式、系数带符号代入；二线判别式三分类——Δ＝－4ac 的符号对应两不等实根、两相等实根、无实根三类，给方程判根的情况与给根的情况定参数双向训练；三线判别式反求参数——“有实根”与“两不等实根”的等号取舍、二次项系数含参须非零、特殊结构先整理再算 Δ——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 3 保持一致） 考点范围：求根公式（把一般式 a＋bx＋c＝0（a≠0）的系数代入 x＝ 得根，用前先化一般式、a、b、c 带符号代入；结果能约分要化简）、根的判别式（Δ＝－4ac：Δ＞0 时方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 时有两个相等的实数根；Δ＜0 时没有实数根；给方程判根的情况与给根的情况定参数双向运用）、等号取舍（“有实数根”“有两个实数根”按 Δ≥0，“有两个不相等的实数根”按 Δ＞0，“没有实数根”按 Δ＜0；二次项系数含参数时须另加非零条件）、分类讨论（系数含参的方程先讨论二次项系数是否为 0——为 0 时是一次方程另行判断根；整理成一般式再算 Δ；整体代换结构先化简 Δ）——与考点速览考点 3 一致。 一、求根公式——一般方程的通用钥匙 ◆ 公式来源：对 a＋bx＋c＝0（a≠0）配方：两边除以 a、移项、加上一次项系数一半的平方，化为 ＝，当 －4ac≥0 时开平方得 x＝。公式对任何一般式方程通用，故也称万能公式。 ◆ 使用三步：一化——先整理成一般式（去括号、移项、合并同类项）；二代——认清带符号的 a、b、c（缺项系数按 0）；三算——先算 Δ＝－4ac 的值，Δ≥0 才代入公式。分子是整体 －b±，分母是 2a，负号、±号、分数线三处最易错。 二、判别式三分类——Δ 的符号定根的个数 ◆ 三分类：Δ＝－4ac＞0 ⟺ 两不等实根；Δ＝0 ⟺ 两相等实根（＝＝－）；Δ＜0 ⟺ 无实根。判根的情况题不需求出根，只算 Δ 定符号即可。 ◆ 双向运用：正向——给方程判根的情况（四个方程逐一算 Δ 比对选项）；逆向——给根的情况反求参数范围（把根的情况翻译成 Δ 的不等式再解）。两向都要先化一般式、认清系数。 三、判别式反求参数——等号与前提两道关 ◆ 等号取舍：“有实数根”“有两个实数根”都包含两根相等的情形，按 Δ≥0，取等号；“有两个不相等的实数根”按 Δ＞0，不取等号；“没有实数根”按 Δ＜0。读题逐字圈画，等号取舍错一步全错。 求根公式·判别式三分类·反求参数速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 求根公式 x＝（a≠0，Δ≥0）；先化一般式再代系数 用公式法解方程 系数符号代入错、漏 ± 判别式三分类 Δ＞0 两不等；Δ＝0 两相等；Δ＜0 无实根 判断方程根的情况 Δ 计算错、符号定错 判别式判根 逐一算 Δ 定符号，与三分类对照 四个方程选根的情况 只算一个选项就作答 反求参数（含等） “有实根”“两实根”→ Δ≥0 求参数的取值范围 漏等号（Δ＞0 与 Δ≥0 混） 反求参数（严格） “两不等实根”→ Δ＞0；“无实根”→ Δ＜0 求参数范围、定最大整数值 解不等式移项出错 系数含参分类 二次项系数＝0 与 ≠0 分开讨论，≠0 另加条件 字母系数方程定参数 漏二次项系数非零 ◆ 系数非零关：二次项系数含参数时，一元二次方程的前提是二次项系数≠0——如 k－6x＋9＝0 中 k≠0 必须单列；(m＋1)－2x＋1＝0 中 m≠－1 要先排除再解 Δ 不等式。 四、分类讨论与综合运用——先分类再定 Δ ◆ 系数含参先分类：讨论二次项系数为 0 与不为 0 两种情形——为 0 时方程是一次方程，按一次方程判断根；不为 0 时才是二次方程，算 Δ 对照条件取参数范围，最后把各情形的结果合并（如东营中考题 k≤－1 的合成）。 ◆ 结构整理与整体代换：未化成一般式的方程先整理（如 －mx－＋mn＋1＝0 型把 Δ 配成 －4 再代入条件）；证明“不论参数取何值总有两实根”的题，把 Δ 整理成完全平方后用非负性说明 Δ≥0；含三角形边长的方程，Δ 的等式恰是边长关系的翻译（如 ＝－ 型）。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 求根公式是一般式方程的通用解法：a＋bx＋c＝0（a≠0）在 －4ac≥0 时 x＝——先化一般式、认清带符号的 a、b、c，先算 Δ 再代公式，分子整体、分母 2a 两处最易错； 根的判别式 Δ＝－4ac 把根的情况三分类：Δ＞0 两不等实根、Δ＝0 两相等实根、Δ＜0 无实根——判根的情况只算 Δ 不求根，是选择、填空的高频设问； 由根的情况反求参数是逆向运用：“有实数根”与“两不等实根”的等号取舍、二次项系数含参须非零、先分类讨论再合并范围，是本考点的主要台阶； 综合题把 Δ 与配方、整体代换、三角形边长条件结合，如证明“不论参数取何值总有两实根”要把 Δ 整理成完全平方——本考点与考点速览考点 3 对齐（★☆~★★★），选择、填空、解答三种题型齐全。 答题方法（三步法） 第一步·化一般式：去括号、移项、合并同类项，整理成 a＋bx＋c＝0（a≠0），认清带符号的 a、b、c，缺项系数按 0； 第二步·算判别式：Δ＝－4ac——判根的情况直接定符号；反求参数把根的情况翻译成 Δ 的不等式（含等号 or 不含等号逐字读题）； 第三步·收尾：判根的情况按三分类作答；反求参数先看二次项系数是否含参（含参先分类、≠0 单列），解 Δ 的不等式定出参数范围，需要时再取整数值或合并各情形。 注意事项（易错警示） 等号取舍错：＋2x－m＝0“有两不等实根”是 Δ＝4＋4m＞0 而非 ≥0——“有实根”“两实根”才取等号，审题先圈关键字； 系数符号错：代入 Δ 时 b 带符号——方程 －3x＋1＝0 中 b＝－3，Δ＝－4×1×1＝5，写成 3－4 必错； 二次项系数漏非零：k－6x＋9＝0“两不等实根”除 Δ＞0 外必须 k≠0；(m＋1)－2x＋1＝0 必须 m≠－1——含参系数的非零前提单列才完整； 分类讨论漏情形：系数含参的“无实根”题，二次项系数为 0 时方程可能无解也可能一次方程有根，k＝1 与 k＝－1 的特殊值要逐一验证再合并。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 判别式判根 算 Δ 定符号，四方程比对三分类 根的情况是、正确的是 ★☆ 含参判根 整理成一般式再算 Δ 关于 x 的方程根的情况 ★★☆ 反求参数（范围） 根的情况翻译成 Δ 的不等式 则 m 的取值范围是 ★★☆ 反求参数（定值） Δ＝0 解方程求参数值 则 a 的值为 ★★☆ 系数含参分类 二次项系数 0 与非 0 分讨论 无实数根，则 k 范围 ★★★ 判别式综合 Δ 配方证恒有根、边长条件翻译 判断三角形形状、证恒有实根 ★★★ 命题边界：本考点考公式法与根的判别式（求根公式的代入使用、Δ 三分类判断根的情况、由根的情况反求参数、等号取舍、二次项系数含参的分类讨论、Δ 与配方·三角形边长的综合）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章一元二次方程及之前所学内容（配方法、平方根的意义、等式与不等式的基本性质、完全平方公式），个别题用到三角形边角关系（七年级下册），未使用因式分解法、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：四方程逐一算 Δ 选“两不等”（选择）→ 缺常数项方程判根的情况（选择）→ 两相等实根反求参数值（选择）→ 判根的情况选结论（选择）→ 由一根为 0 求参数（选择）→ 证明不论参数取何值总有两实根并找定值根（解答）。变式覆盖：判根的情况（选择）→ 不解方程判断根的情况（填空嵌空）→ 两不等反求参数范围（选择）→ 两实根反求参数范围含等号（选择）→ 判无实根（选择）→ 两不等反求参数最大整数（选择）→ 系数含参须非零（选择）→ 边长方程判三角形形状（解答）→ 两实根反求参数范围含等号（选择）→ 无实根反求参数范围（填空嵌空）。拔高覆盖：系数含参无实根分类讨论（填空嵌空）→ 无实根反求范围（选择）→ 有实根含系数非零（选择）→ 两相等反求参数值（选择）→ 两实根含系数非零（选择）→ 整体代换判根（选择）→ 两不等选可行值（选择）→ 恒成立判根（选择）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教逐项算 Δ 的比对法：A 选项 Δ＝－4＜0、B 选项 Δ＝0、C 选项 Δ＝－3＜0、D 选项 Δ＝5＞0——四个方程都算完再作答，只算一两个选项就选必错； ◆ 例 2 教缺项方程的判根：－2x＝0 中常数项 c＝0，Δ＝－4×1×0＝4＞0——缺项系数按 0 代入； ◆ 例 3 教“两相等”定参数值：a＋2x＋1＝0 中 Δ＝－4a＝0，解方程得 a＝1——“两相等”对应 Δ＝0 是等式，直接解出参数； ◆ 例 4 教结论型选择：－3x＋1＝0 算得 Δ＝－4＝5＞0，与“两不等实根”对照； ◆ 例 5 教代入定参：x＝0 代入 (a＋2)＋x＋－4＝0 得 －4＝0，再回代检验二次项系数 a＋2≠0，排除增解； ◆ 例 6 教综合证明：Δ 整理成 ≥0 说明总有两实根，再用因数结构找定值根 3。 例 1　选择题 （2025·安徽·中考）下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．＋1＝0　　B．－2x＋1＝0　　C．＋x＋1＝0　　D．＋x－1＝0 【答案】D 【解析】逐一计算四个方程的判别式：A 的 Δ＝－4＜0，B 的 Δ＝0，C 的 Δ＝－3＜0，只有 D 的 Δ＝5＞0，两不等实根。故选 D。 【详解】 选项 A：a＝1，b＝0，c＝1，Δ＝－4×1×1＝－4＜0，无实数根。 选项 B：a＝1，b＝－2，c＝1，Δ＝－4×1×1＝0，两相等实数根。 选项 C：a＝1，b＝1，c＝1，Δ＝－4×1×1＝－3＜0，无实数根。 选项 D：a＝1，b＝1，c＝－1，Δ＝－4×1×(－1)＝1＋4＝5＞0，两不等实数根。 故选 D。 例 2　选择题 （2025·河南·中考）一元二次方程 －2x＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．只有一个实数根　　D．没有实数根 【答案】A 【解析】方程缺少常数项，c＝0，Δ＝－4×1×0＝4＞0，两不等实数根。故选 A。 【详解】 方程 －2x＝0 中，a＝1，b＝－2，c＝0。 判别式 Δ＝－4ac＝－4×1×0＝4－0＝4。 ∵Δ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根。故选 A。 例 3　选择题 （2025·北京·中考）若关于 x 的一元二次方程 a＋2x＋1＝0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（　　） A．－4　　B．－1　　C．1　　D．4 【答案】C 【解析】“两相等实根”对应 Δ＝0：Δ＝－4a＝4－4a＝0，解得 a＝1。故选 C。 【详解】 方程 a＋2x＋1＝0 中，a＝a，b＝2，c＝1。 ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4×a×1＝4－4a＝0。 解得 a＝1。 故选 C。 例 4　选择题 （2025·江苏扬州·中考）关于 x 的一元二次方程 －3x＋1＝0 的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．没有实数根　　D．无法判断根的情况 【答案】A 【解析】a＝1，b＝－3，c＝1，Δ＝－4＝9－4＝5＞0，两不等实数根。故选 A。 【详解】 方程 －3x＋1＝0 中，a＝1，b＝－3，c＝1。 判别式 Δ＝－4ac＝－4×1×1＝9－4＝5。 ∵Δ＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根。 故选 A。 例 5　选择题 （2024·四川凉山州·中考）若关于 x 的一元二次方程 (a＋2)＋x＋－4＝0 的一个根是 x＝0，则 a 的值为（　　） A．2　　B．－2　　C．2 或 －2　　D． 【答案】A 【解析】把 x＝0 代入方程得 －4＝0，a＝±2；再由一元二次方程的定义检验二次项系数 a＋2≠0，排除 a＝－2，得 a＝2。故选 A。 【详解】 把 x＝0 代入 (a＋2)＋x＋－4＝0， 得 0＋0＋－4＝0，即 ＝4。 解得 a＝2 或 a＝－2。 检验：∵方程是关于 x 的一元二次方程， ∴二次项系数 a＋2≠0，即 a≠－2。 ∴a＝2。故选 A。 例 6　解答题 （2024秋·连云港赣榆区期中）已知关于 x 的方程 －(m＋4)x＋3m＋3＝0。 （1）求证：不论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）不论 m 取何值，方程有一根为定值，请求出这个定值。 【答案】（1）Δ＝≥0，总有两个实数根；（2）定值为 3 【解析】（1）算 Δ 并整理成完全平方，由非负性得 Δ≥0；（2）把方程左边因式分解为 (x－3)(x－m－1)，两根为 3 与 m＋1，其中 3 与 m 无关，是定值。 【详解】 （1）a＝1，b＝－(m＋4)，c＝3m＋3。 Δ＝－4ac＝－4×1×(3m＋3)＝＋8m＋16－12m－12＝－4m＋4＝。 ∵≥0， ∴不论 m 取何值，总有 Δ≥0，方程总有两个实数根。 （2）－(m＋4)x＋3m＋3＝(x－3)(x－m－1)。 ∴方程的两根为 ＝3，＝m＋1。 ∵不论 m 取何值，x＝3 恒为方程的根， ∴这个定值为 3。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练正向判根：＋3x＋1＝0 算 Δ＝－4＝5＞0；2＋x－1＝0 不解方程、只算 Δ＝＋8＝9＞0 即得结论——对应例 1、例 4； ◆ 变 3~变 6 四道反求参数：变 3“两不等”Δ＝4＋4m＞0；变 4“两实根”Δ＝4－4m≥0 含等号；变 5 含 的 Δ＝－4－7 恒小于 0；变 6“两不等”得 m＜0 且 m≠－1，再取最大整数 －2； ◆ 变 7 练系数非零关：k－6x＋9＝0 除 Δ＞0 外 k≠0 单列； ◆ 变 8 练边长综合：(a＋c)＋2bx＋(a－c)＝0 中 x＝－1 代入与 Δ＝0 的等式分别翻译成等边、直角的边长关系； ◆ 变 9、变 10 练含等号与无实根：变 9“两实根”k≥－1；变 10“无实根”1＋8m＜0 得 m＜； ◆ 限时建议：变式组 25 分钟内独立完成，重点练等号取舍与系数非零两个关口。 变式 1　选择题 （2025·四川广安·中考）关于 x 的一元二次方程 ＋3x＋1＝0 的根的情况是（　　） A．没有实数根　　B．有两个不相等的实数根　　C．有两个相等的实数根　　D．无法确定 【答案】B 【解析】a＝1，b＝3，c＝1，Δ＝－4＝9－4＝5＞0，两不等实数根。故选 B。 【详解】 方程 ＋3x＋1＝0 中，a＝1，b＝3，c＝1。 判别式 Δ＝－4ac＝－4×1×1＝9－4＝5。 ∵Δ＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根。故选 B。 变式 2　填空题 （2025·广东·中考）不解方程，判断一元二次方程 2＋x－1＝0 的根的情况是____有两个不相等的实数根____。 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】a＝2，b＝1，c＝－1，Δ＝－4×2×(－1)＝1＋8＝9＞0，不解方程、只看 Δ 的符号即得结论。 【详解】 方程 2＋x－1＝0 中，a＝2，b＝1，c＝－1。 判别式 Δ＝－4ac＝－4×2×(－1)＝1＋8＝9。 ∵Δ＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根。 变式 3　选择题 （2024·北京二模）若关于 x 的一元二次方程 ＋2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞－1　　B．m≥－1　　C．m＜－1　　D．m≤－1 【答案】A 【解析】“两不等实根”对应 Δ＞0（严格不含等号）：Δ＝－4×1×(－m)＝4＋4m＞0，解得 m＞－1。故选 A。 【详解】 方程 ＋2x－m＝0 中，a＝1，b＝2，c＝－m。 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4×1×(－m)＝4＋4m＞0。 解这个不等式：4m＞－4。 得 m＞－1。故选 A。 变式 4　选择题 （2024·北京昌平二模）若关于 x 的方程 －2x＋m＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜1　　B．m＞1　　C．m≤1　　D．m≥1 【答案】C 【解析】“有两个实数根”包含两根相等的情形，按 Δ≥0（含等号）：Δ＝－4m＝4－4m≥0，解得 m≤1。故选 C。 【详解】 方程 －2x＋m＝0 中，a＝1，b＝－2，c＝m。 ∵方程有两个实数根（含两根相等）， ∴Δ＝－4ac＝－4×1×m＝4－4m≥0。 解这个不等式：－4m≥－4。 得 m≤1。故选 C。 变式 5　选择题 （2025·广东广州·中考）已知关于 x 的一元二次方程 －x＋＋2＝0，则该方程（　　） A．有两个相等的实数根　　B．有两个不相等的实数根　　C．没有实数根　　D．不能确定 【答案】C 【解析】Δ＝－4×1×(＋2)＝1－4－8＝－4－7，由 ≥0 得 Δ＜0 恒成立，无实数根。故选 C。 【详解】 方程 －x＋＋2＝0 中，a＝1，b＝－1，c＝＋2。 判别式 Δ＝－4ac＝－4×1×(＋2)＝1－4－8＝－4－7。 ∵≥0， ∴－4≤0，∴Δ＝－4－7＜0。 ∴该方程没有实数根。故选 C。 变式 6　选择题 （2024秋·孝感安陆市九年级第一次测评）若关于 x 的一元二次方程 (m＋1)－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 可取得的最大整数值为（　　） A．－2　　B．－1　　C．0　　D．1 【答案】A 【解析】先由定义得 m＋1≠0 即 m≠－1；再由 Δ＝－4(m＋1)＝－4m＞0 得 m＜0。m＜0 且 m≠－1 中最大的整数是 －2。故选 A。 【详解】 ∵方程是一元二次方程，∴m＋1≠0，即 m≠－1。 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4(m＋1)×1＝4－4m－4＝－4m＞0。 解得 m＜0。 综合 m≠－1，m 的取值为 m＜0 且 m≠－1。 其中最大的整数值是 －2（－1 被排除）。故选 A。 变式 7　选择题 （2024秋·吉林永吉县期末）若关于 x 的一元二次方程 k－6x＋9＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜1　　B．k＜1 且 k≠0　　C．k≠0　　D．k＞1 【答案】B 【解析】二次项系数 k≠0；Δ＝－4×k×9＝36－36k＞0 得 k＜1。两个条件合并为 k＜1 且 k≠0。故选 B。 【详解】 ∵方程是一元二次方程，∴k≠0。 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4×k×9＝36－36k＞0。 解得 k＜1。 综合得 k＜1 且 k≠0。故选 B。 变式 8　解答题 （2025·珠海八校期中联考）已知关于 x 的一元二次方程 (a＋c)＋2bx＋(a－c)＝0，其中 a、b、c 分别为△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边。 （1）若 x＝－1 是该方程的一个根，且 2b＝a＋c，请判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）若该方程有两个相等的实数根，请判断△ABC 的形状，并说明理由。 【答案】（1）等边三角形；（2）直角三角形（∠A＝90°） 【解析】（1）把 x＝－1 代入方程，结合 2b＝a＋c 化简得 a＝b，再代入 2b＝a＋c 得 a＝c，三边相等；（2）Δ＝0 整理得 ＝－，即 ＝＋，由边长关系得 ∠A＝90°。 【详解】 （1）把 x＝－1 代入方程：(a＋c)×＋2b×(－1)＋(a－c)＝0。 整理：a＋c－2b＋a－c＝0，即 2a－2b＝0。 ∴a＝b。 又 2b＝a＋c，把 a＝b 代入：2a＝a＋c，得 a＝c。 ∴a＝b＝c，△ABC 是等边三角形。 （2）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0。 Δ＝－4(a＋c)(a－c)＝4－4(－)＝0。 ∴＝－，即 ＝＋。 ∴∠A＝90°，△ABC 是直角三角形。 变式 9　选择题 （2024·北京平谷二模）若关于 x 的一元二次方程 ＋2x－k＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k≥1　　B．k≥－1　　C．k＞－1　　D．k≤－1 【答案】B 【解析】“有两个实数根”含两根相等，按 Δ≥0：Δ＝－4×1×(－k)＝4＋4k≥0，解得 k≥－1。故选 B。 【详解】 方程 ＋2x－k＝0 中，a＝1，b＝2，c＝－k。 ∵方程有两个实数根（含两根相等）， ∴Δ＝－4ac＝－4×1×(－k)＝4＋4k≥0。 解这个不等式：4k≥－4。 得 k≥－1。故选 B。 变式 10　填空题 （2025·上海·中考）若关于 x 的一元二次方程 2＋x－m＝0 没有实数根，则 m 的取值范围是____m＜____。 【答案】m＜ 【解析】“没有实数根”按 Δ＜0：Δ＝－4×2×(－m)＝1＋8m＜0，解得 m＜。 【详解】 方程 2＋x－m＝0 中，a＝2，b＝1，c＝－m。 ∵方程没有实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4×2×(－m)＝1＋8m＜0。 解这个不等式：8m＜－1。 得 m＜。 PART 05 拔高巩固（8 题） 公式法与根的判别式——求根公式、Δ 三分类 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在分类讨论：(－1)＋(k＋1)x＋＝0 无实根——k＝1 时一次方程有根、k＝－1 时方程无解成立、k≠±1 时 Δ＝2(k＋1)＜0，三种情形合并得 k≤－1； ◆ 拔高 2 的台阶在含参判根：－2x＋a＝0 无实根 ⟺ 4－4a＜0，即 a＞1； ◆ 拔高 3 的台阶在“有实根”双关：一元二次方程定义先给 a≠1，再由 Δ＝4－4(a－1)≥0 得 a≤2； ◆ 拔高 4 的台阶在 Δ＝0 定值：－2＋4x＋k＝0 中 Δ＝16＋8k＝0，k＝－2 唯一； ◆ 拔高 5 的台阶在系数非零：(m－2)＋4x＋2＝0“两实根”得 m≤4 且 m≠2； ◆ 拔高 6 的台阶在整体代换：－mx－＋mn＋1＝0 的 Δ 配成 －4，代入 m－2n＝3 得 Δ＝5＞0； ◆ 拔高 7 的台阶在利用判别式证方程有无实根，在此基础上利用方程根的正负性求参数； ◆ 拔高 8 的台阶在综合应用。 拔高 1　填空题 （2025·山东东营·中考）若关于 x 的方程 (－1)＋(k＋1)x＋＝0 无实数根，则 k 的取值范围是____k≤－1____。 【答案】k≤－1 【解析】二次项系数含参，分三类讨论：k＝1 时方程化为 2x＋＝0，有实数根，不符合；k＝－1 时方程各项系数均为 0 而常数项不为 0，方程无解，“无实数根”成立；k≠±1 时按一元二次方程算 Δ＜0 得 k＜－1。三类合并得 k≤－1。 【详解】 ①当 k＝1 时，方程化为 2x＋＝0，解得 x＝－，方程有实数根，不符合题意。 ②当 k＝－1 时，方程为 0×＋0×x＋＝0，即 ＝0，无解，方程无实数根，符合题意。 ③当 k≠±1 时，方程是一元二次方程。 Δ＝－4(－1)×＝－(－1)＝(＋2k＋1)－＋1＝2k＋2＝2(k＋1)。 ∵方程无实数根，∴2(k＋1)＜0，解得 k＜－1。 综合②③：k≤－1。 拔高 2　选择题 （2025·新疆·中考）若关于 x 的一元二次方程 －2x＋a＝0 没有实数根，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜1　　B．a＞1　　C．a≤1　　D．a≥1 【答案】B 【解析】“没有实数根”按 Δ＜0：Δ＝－4a＝4－4a＜0，解得 a＞1。故选 B。 【详解】 方程 －2x＋a＝0 中，a＝1，b＝－2，c＝a。 ∵方程没有实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4×1×a＝4－4a＜0。 解这个不等式：－4a＜－4。 得 a＞1。故选 B。 拔高 3　选择题 （2025·四川内江·中考）若关于 x 的一元二次方程 (a－1)＋2x＋1＝0 有实数根，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a≤2　　B．a＜2　　C．a≤2 且 a≠1　　D．a＜2 且 a≠1 【答案】C 【解析】方程是一元二次方程，先由定义得 a－1≠0 即 a≠1；“有实数根”按 Δ≥0：Δ＝－4(a－1)＝4－4a＋4＝8－4a≥0，解得 a≤2。合并得 a≤2 且 a≠1。故选 C。 【详解】 ∵方程是关于 x 的一元二次方程，∴a－1≠0，即 a≠1。 ∵方程有实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4(a－1)×1＝4－4a＋4＝8－4a≥0。 解这个不等式：－4a≥－8。 得 a≤2。 综合 a≠1：a≤2 且 a≠1。故选 C。 拔高 4　选择题 （2025·四川德阳·中考）若关于 x 的一元二次方程 －2＋4x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（　　） A．2　　B．－2　　C．－2 或 2　　D．0 【答案】B 【解析】“两相等实根”按 Δ＝0：Δ＝－4×(－2)×k＝16＋8k＝0，k 只有唯一解 －2，不存在 ±2 双解。故选 B。 【详解】 方程 －2＋4x＋k＝0 中，a＝－2，b＝4，c＝k。 ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝－4ac＝－4×(－2)×k＝16＋8k＝0。 解得 8k＝－16，k＝－2。 Δ＝0 是关于 k 的一次方程，k 的值唯一，为 －2。故选 B。 拔高 5　选择题 （2024·黑龙江大兴安岭·中考）若关于 x 的方程 (m－2)＋4x＋2＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≤4　　B．m≥4　　C．m≤4 且 m≠2　　D．m＜4 且 m≠2 【答案】C 【解析】方程有两个实数根，是二次方程问题，先由定义得 m≠2；“有两实根”按 Δ≥0：Δ＝－4×2×(m－2)＝16－8m＋16＝32－8m≥0，解得 m≤4。合并得 m≤4 且 m≠2。故选 C。 【详解】 ∵方程有两个实数根，方程为二次方程，∴m－2≠0，即 m≠2。 ∵方程有两个实数根（含两根相等）， ∴Δ＝－4ac＝－4×(m－2)×2＝16－8m＋16＝32－8m≥0。 解这个不等式：－8m≥－32。 得 m≤4。 综合 m≠2：m≤4 且 m≠2。故选 C。 拔高 6　选择题 （2024·山东潍坊·中考）已知 m－2n＝3，则关于 x 的一元二次方程 －mx－＋mn＋1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根　　B．有两个不相等的实数根　　C．没有实数根　　D．不能确定 【答案】B 【解析】算 Δ 并用乘法公式整理：Δ＝＋4－4mn－4＝－4，把 m－2n＝3 整体代入得 Δ＝9－4＝5＞0，两不等实根。故选 B。 【详解】 方程 －mx－＋mn＋1＝0 中，a＝1，b＝－m，c＝－＋mn＋1。 Δ＝－4ac＝－4×1×(－＋mn＋1)＝＋4－4mn－4。 整理：－4mn＋4＝。 ∴Δ＝－4。 把 m－2n＝3 整体代入：Δ＝－4＝9－4＝5＞0。 ∴方程有两个不相等的实数根。故选 B。 拔高 7　选择题 （26-27·达州月考） 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】 证明：当m=0时，原方程为 ，解得 ，原方程有实数根； 当m≠0时 , ∴ 此方程有两个不相等的实数根， ∴ 无论m取任何实数时，方程恒有实数根； 整数m的值为0或1或2 【解析】 （1）分为m=0和m≠0两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为m=0和m≠0两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值. 【解答】 （1）略 （2）解：当m=0时，由(1)知x=1为正整数，符合题意； 当m≠0时，解方程 ，得 ， , ∴ 原方程的根均为正整数，m为整数， ∴ m=1或2，对应的 或 均符合题意， 综上，整数m的值为0或1或2. 拔高 8　选择题 （2025-2026·四川模拟）已知关于的方程 其中． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】 该方程有两个不相等的实数根 见解答 【解析】 （1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据, ，求得，的值，即可求解. 【解答】 （1）解：， 该方程有两个不相等的实数根. （2）①证明：的长是该方程的一个根， . 即. ① , . ② , 得. . ②解：在线段靠近的三等分点处，即. , , , . . 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 逐项计算判别式选“两不等”（选择） 例 2 缺常数项方程判根的情况（选择） 例 3 “两相等”定参数值（选择） 例 4 结论型判根的情况（选择） 例 5 由一根为 0 求参数并检验（选择） 例 6 证恒有两实根并找定值根（解答） 变式 1 判根的情况（选择） 变式 2 不解方程判断根的情况（嵌空） 变式 3 “两不等”反求参数范围（选择） 变式 4 “两实根”反求参数范围（选择） 变式 5 含平方参数的方程判根（选择） 变式 6 “两不等”定最大整数值（选择） 变式 7 系数含参须非零（选择） 变式 8 边长方程判三角形形状（解答） 变式 9 “两实根”反求参数范围（选择） 变式 10 “无实根”反求参数范围（嵌空） 拔高 1 系数含参无实根分类讨论（嵌空） 拔高 2 “无实根”反求范围（选择） 拔高 3 “有实根”含系数非零（选择） 拔高 4 “两相等”定参数值（选择） 拔高 5 “两实根”含系数非零（选择） 拔高 6 整体代换判根（选择） 拔高 7 利用判别式证方程有无实根，在此基础上利用方程根的正负性求参数 拔高 8 综合应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式、认清系数，再算判别式定符号；“有实根”带等号、“两不等”严格大于；二次项系数含参先看是否为零。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $