第二章《一元二次方程》期中考点总结与练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 5｜根与系数的关系——韦达定理、对称式、前提检验 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 5—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·韦达定理·两根和两根积·对称式求值·知一根求另一根·求参检验 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2023—2026 年各级各类考试（期中、期末、月考、中考、统测等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 8 道、解答题 8 道；例题组（2 选＋2 填＋2 解）、变式组（4 选＋3 填＋3 解）、拔高组（2 选＋3 填＋3 解），每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列； 特别说明：根与系数的关系（韦达定理）属北师大版九年级上册第二章第 3 节选学内容，各地考纲要求不一——若本地考纲不作要求，本资料可作拓展阅读；若考纲要求掌握，则为期中必考点。每题【详解】均给出主解（韦达），并附【另解】（先解方程再代入，不依赖选学内容）； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 5 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线定理内容——两根之和与两根之积的系数表达，用前必查两个前提（二次项系数不为 0、判别式不小于 0）；二线对称式变形——平方型、分式型、括号型六种常见变形，把非对称式化为对称式再整体代入；三线典型应用——求对称式的值、由一根求另一根、求字母参数并检验——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 5 保持一致） 考点范围：根与系数的关系（若一元二次方程的两根为 x₁、x₂，则两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得商；二次项系数为 1 时两根之和等于一次项系数的相反数、两根之积等于常数项）、对称式求值（平方型、分式型、括号型六种变形整体代入）、前提检验（二次项系数不为 0 与判别式不小于 0 两道关，求参后必检验）、由一根求另一根与求字母参数——与考点速览考点 5 一致。本内容属北师大版九上第二章第 3 节选学拓展，正式使用请按本地考纲取舍。 一、根与系数的关系——内容与前提 ◆ 定理内容：若一元二次方程 ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x₁、x₂，则 x₁＋x₂＝−，x₁x₂＝；当 a＝1 时，方程 ＋px＋q＝0 的两根满足 x₁＋x₂＝−p，x₁x₂＝q。这一关系由法国数学家韦达发现，又称韦达定理。 ◆ 两个前提：一是 a≠0（否则不是一元二次方程，两根不存在）；二是判别式 b−4ac≥0（方程必须有两个实数根，相等也算）。两个前提缺一不可——用根与系数的关系解题前先确认方程确有两实根，求出字母的值后还要回代检验判别式，无实根的值必须舍去。 二、对称式六变形——整体代入的桥梁 ◆ 平方型与括号型：＋＝(x₁＋x₂)−2x₁x₂；(x₁−x₂)＝(x₁＋x₂)−4x₁x₂；(x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1；x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)。要点：先把所求式展开或配方，全部用两根之和与两根之积表示。 ◆ 分式型与复杂型：＋＝；＋＝；含字母参数的式子先化简再代入，如 a＋b＋ab 的结构要配凑成两根和与两根积的组合。 三、知一根求另一根与求参——定义法与韦达法 ◆ 知一根求另一根：方法一（定义法）——把已知根代入原方程求出字母的值，再解方程得另一根；方法二（韦达法）——用两根之和或两根之积直接求另一根，再用另一根反求字母。两种方法互为检验。 根与系数的关系·对称式变形·前提检验速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 定理内容 两根之和＝一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积＝常数项与二次项系数之比 直接写出两根和与积 符号写反、漏前提 两个前提 二次项系数不为 0；判别式不小于 0 用定理前先查前提 无实根仍用定理 平方型变形 ＋＝(x₁＋x₂)−2x₁x₂；(x₁−x₂)＝(x₁＋x₂)−4x₁x₂ 求平方和、差的平方 漏乘系数 2 或 4 分式型变形 ＋＝；＋＝ 求倒数和、比值和 分母写错 括号型变形 (x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1；x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂) 求乘积展开型对称式 展开漏项 求参检验 列式求出字母后回代检验判别式不小于 0 含参求值后取舍 忘检验留错值 ◆ 求参必检验：用两根之和与两根之积列方程求出字母后，必须回代检验判别式是否不小于 0。如由 ＋＝2p＋1 求出 p＝3 或 −1，但 p＝−1 时判别式小于 0，方程无实根，舍去——检验一步是韦达题最主要的失分点。 四、根的定义降次与非韦达另解 ◆ 系数含参先分类：讨论二次项系数为 0 与不为 0 两种情形——为 0 时方程是一次方程，按一次方程判断根；不为 0 时才是二次方程，算 判别式 对照条件取参数范围，最后把各情形的结果合并（如东营中考题 k≤－1 的合成）。 ◆ 根的定义降次：m 是方程的根，则 可用含 m 的一次式表示。如 m 是 ＋4x−1＝0 的根，则 ＝−4m＋1，故 (m＋5)(m−1)＝＋4m−5＝−4——不解方程直接代入降次，这是韦达定理之外的第二条捷径。 ◆ 非韦达另解：根与系数的关系是选学内容，每道韦达题都有不依赖它的另解——直接解方程求出两根再代入计算。如 −4x＋3＝0 直接解得两根为 1 和 3，两根之积立得。另解步骤更多，但工具完全在课标必学范围内，可按本地考纲取舍选择主解。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 根与系数的关系（韦达定理）是选学拓展中考察频率最高的内容：定理形式简洁——两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数、两根之积等于常数项与二次项系数之比，但变形灵活、组合面广，是期中卷“选学不回避”时的常见压轴素材； 对称式求值是本考点的主战场：平方型（两根平方和、差的平方）、分式型（倒数和、比值和）、括号型（乘积展开型）六大变形，全部通过两根之和与两根之积整体代入——不求根而算根，正是韦达定理的价值所在； 前提检验是区分度来源：二次项系数不为 0、判别式不小于 0 两道关——尤其是由两根关系反求字母参数后，无实根的值必须舍去，忘检验是本考点最主要的失分点； 根的定义降次是第二条捷径：m 是根则 可降次为一次式，不解方程直接代入化简；每道韦达题都有“先解方程再代入”的非韦达另解，工具完全在必学范围内——本考点与考点速览考点 5 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·查前提：确认二次项系数不为 0、判别式不小于 0（或题目已说明方程有两实数根）——前提不满足，根与系数的关系不能用； 第二步·定变形：把所求对称式展开或配方，用两根之和与两根之积表示——平方和用和的平方减二倍积，倒数和用和除以积，乘积展开型先去括号； 第三步·代值检验：代入两根之和与两根之积求值；若题目含字母参数，求出后必须回代检验判别式，舍去使方程无实根的值。 注意事项（易错警示） 符号是第一错点：两根之和是“一次项系数的相反数”除以二次项系数——−4x＋3＝0 的两根之和是 4 不是 −4；两根之积的符号随常数项与二次项系数的比而定，交叉验证更保险； 前提不能省：方程没有实数根时，两根之和与两根之积的等式仍在形式上成立，但两根并不存在——凡用韦达必先确认判别式不小于 0；含参求值后更要回代检验； 变形要彻底：＋ 不是 (x₁＋x₂)，差一个“减二倍积”；(x₁−x₂) 展开是 (x₁＋x₂)−4x₁x₂，交叉项是 −2x₁x₂ 的两倍； 选学按考纲取舍：本内容属北师大版九上第二章第 3 节选学拓展——考纲不作要求的学生掌握“非韦达另解”即可应对，要求掌握的地区期中几乎必考对称式求值。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 两根和与积 直接写两根之和与两根之积 则 x₁＋x₂＝、x₁x₂＝ ★☆ 对称式求值 平方型、分式型、括号型变形 则某对称式的值为 ★★☆ 根的定义降次 由根的定义代入降次求值 则 (m＋a)(m＋b) 的值为 ★★☆ 知一根求另一根 定义法或韦达法求另一根 则方程的另一根为 ★★☆ 象限与符号 由两根和与积判断根的符号 点 (m，n) 所在象限 ★★☆ 含参求值检验 由两根关系反求字母并检验 求字母的值 ★★★ 命题边界：本考点考根与系数的关系（两根之和与两根之积、对称式六大变形、根的定义降次、由一根求另一根、含参求值与检验）；素材选自 2023—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；本内容属北师大版九上第二章第 3 节选学拓展，每题附不依赖选学内容的非韦达另解，正式使用请按本地考纲取舍；解题工具均为第二章一元二次方程及之前所学内容（解方程、代数式化简），未使用函数图象、二次函数等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：直接判断两根之积（选择）→ 看错系数逆向构造原方程（选择）→ 知一根求另一根（填空嵌空）→ 完全平方结构整体代入（填空嵌空）→ 判别式定范围与对称式求参（解答）→ 恒有实根证明与对称式求参（解答）。变式覆盖：直接读两根之和（选择）→ 乘积展开型对称式（选择）→ 两根符号与象限（选择）→ 倍数关系求参（选择）→ 根的定义降次（填空嵌空）→ 差的平方组合（填空嵌空）→ 括号型对称式（填空嵌空）→ 判别式定范围与两根之积求参（解答）→ 正整数根分类讨论（解答）→ 三问综合（解答）。拔高覆盖：根的定义精确降次（选择）→ 两根互反关系反推系数（选择）→ 大系数降次构造（填空嵌空）→ 平方型综合降次（填空嵌空）→ 降次与两根之和（填空嵌空）→ 恒有实根与比值求参（解答）→ 含参两问综合（解答）→ 根的定义降次与配方最值（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教直接读两根之积：−4x＋3＝0 中 a＝1，两根之积等于常数项 3——首项系数为 1 时直接读系数，注意两根之和取一次项系数的相反数； ◆ 例 2 教逆向构造原方程：看错常数项——两根之积不可信、两根之和可信；看错一次项系数——两根之和不可信、两根之积可信。各取可信一组还原 b 与 c； ◆ 例 3 教知一根求另一根（填空·嵌空）：用两根之和一步求出另一根，再用两根之积反求字母参数作检验，两个结果互相印证； ◆ 例 4 教完全平方结构：4＋8ab＋4＝4(a＋b)，认出结构后只需求两根之和 a＋b＝−2，不解方程； ◆ 例 5 教判别式定范围＋对称式求参（解答）：第 (1) 问判别式不小于 0 定出 m 的范围；第 (2) 问用两根之和与两根之积表示条件式，解出 m 后回代检验是否落在范围内； ◆ 例 6 教恒有实根的证明＋对称式求参（解答）：判别式整理成 ＋8 恒正；＋−x₁x₂ 化为 (x₁＋x₂)−3x₁x₂ 后列二次方程，由 (1) 的恒正前提确认两个解都成立。 例 1　选择题 （2025·湖北·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −4x＋3＝0 的两个实数根，则 x₁x₂ 的值为（　　） A．x₁＋x₂＝−4　　B．x₁＋x₂＝3　　C．x₁x₂＝4　　D．x₁x₂＝3 【答案】D 【解析】二次项系数 a＝1，由根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，故 x₁x₂＝3。 【详解】 ∵a＝1，b＝−4，c＝3， ∴x₁＋x₂＝−＝4，x₁x₂＝＝3。 故选 D。 【另解】解方程：−4x＋3＝0 分解得 (x−1)(x−3)＝0，两根为 1 和 3，直接相乘得 3，结果一致。 例 2　选择题 （2024·黑龙江绥化·中考）对于一元二次方程 ＋bx＋c＝0（b、c 为常数），小影看错了常数项 c，解得两根为 6 和 1；小冬看错了一次项系数 b，解得两根为 −2 和 −5。则这个方程是（　　） A．＋6x＋5＝0　　B．−7x＋10＝0　　C．−5x＋2＝0　　D．−6x−10＝0 【答案】B 【解析】看错常数项——一次项系数没有错，两根之和 6＋1＝7 可信；看错一次项系数——常数项没有错，两根之积 (−2)×(−5)＝10 可信。由此定 b 与 c。 【详解】 ∵小影只看错常数项，一次项系数 b 没有错， ∴b＝−(6＋1)＝−7。 ∵小冬只看错一次项系数，常数项 c 没有错， ∴c＝(−2)×(−5)＝10。 ∴原方程为 −7x＋10＝0。 经检验：判别式＝49−40＝9＞0，方程有两个不相等的实数根。 故选 B。 【另解】由两根构造方程：以 6 和 1 为根的方程为 (x−6)(x−1)＝0，展开得 −7x＋6＝0，对照可知 b＝−7；以 −2 和 −5 为根的方程为 (x＋2)(x＋5)＝0，展开得 ＋7x＋10＝0，对照可知 c＝10。 例 3　填空题（嵌空） （2024·四川巴中·中考）已知关于 x 的一元二次方程 −2x＋k＝0 的一个根为 −2，则方程的另一个根为____4____。 【答案】4（此时 k＝−8） 【解析】两根之和为 2，已知一根 −2，另一根一步可得；再用两根之积反求 k 作检验。 【详解】 设另一个根为 x₂。 由根与系数的关系：两根之和为 2， ∴−2＋x₂＝2，解得 x₂＝4。 此时 k＝两根之积＝(−2)×4＝−8。 经检验：判别式＝4−4k＝4＋32＝36＞0，方程确有两个不相等的实数根。 【另解】把 −2 代入方程：4＋4＋k＝0，得 k＝−8，方程变为 −2x−8＝0，分解得 (x−4)(x＋2)＝0，另一根为 4，结果一致。 例 4　填空题（嵌空） （2024·青海西宁·中考）已知 a、b 是一元二次方程 ＋2x−1＝0 的两个实数根，则 4＋8ab＋4 的值为____16____。 【答案】16 【解析】原式是完全平方结构 4(a＋b)，只需求两根之和 a＋b＝−2。 【详解】 由根与系数的关系：a＋b＝−2。 ∴4＋8ab＋4＝4(a＋b)＝4×4＝16。 【另解】配方 ＋2x−1＝0 得 (x＋1)＝2，两根为 −1＋ 与 −1−，相加得 a＋b＝−2，代入同样得 16。 例 5　解答题 （2023-2024·浙江绍兴·期末）已知关于 x 的一元二次方程 −6x−m＝0（m 为常数）。 (1) 若该方程有两个实数根，求 m 的取值范围； (2) 设 x₁、x₂ 是该方程的两个实数根，且 x₁＋x₂−2x₁x₂＝0，求 m 的值。 【答案】(1) m≥−9；(2) m＝−3。 【解析】第 (1) 问把系数代入判别式，令其不小于 0 解出范围；第 (2) 问用两根之和与两根之积把条件式整体表示，解出 m 后回代检验是否落在 (1) 的范围内。 【详解】 (1) ∵a＝1，b＝−6，c＝−m， ∴判别式＝(−6)−4×1×(−m)＝36＋4m。 ∵方程有两个实数根， ∴36＋4m≥0，解得 m≥−9。 (2) 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝6，x₁x₂＝−m。 ∵x₁＋x₂−2x₁x₂＝0， ∴6−2×(−m)＝0，即 6＋2m＝0， 解得 m＝−3。 ∵−3≥−9，符合 (1) 中 m 的取值范围， ∴m＝−3。 【另解】(2) 不用选学内容：把方程写成 (x−x₁)(x−x₂)＝0，展开得 −(x₁＋x₂)x＋x₁x₂＝0，与原方程对比系数得 x₁＋x₂＝6，x₁x₂＝−m（多项式恒等，属整式乘法），以下同主解，解得 m＝−3。 例 6　解答题 （2024·四川遂宁·中考）已知关于 x 的一元二次方程 −(m＋2)x＋m−1＝0（m 为常数）。 (1) 求证：无论 m 取何值，这个方程都有两个不相等的实数根； (2) 设该方程的两个实数根为 x₁、x₂，且 ＋−x₁x₂＝9，求 m 的值。 【答案】(1) 见详解；(2) m＝1 或 m＝−2。 【解析】第 (1) 问把系数代入判别式并整理，证其恒大于 0；第 (2) 问把 ＋ 用两根之和与两根之积表示，代入后解关于 m 的二次方程——由 (1) 知判别式恒正，两个解都成立。 【详解】 (1) ∵a＝1，b＝−(m＋2)，c＝m−1， ∴判别式＝[−(m＋2)]−4×1×(m−1)＝＋4m＋4−4m＋4＝＋8。 ∵无论 m 取何值，≥0， ∴判别式＝＋8＞0 恒成立， ∴这个方程总有两个不相等的实数根。 (2) 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝m＋2，x₁x₂＝m−1。 ∴＋＝(x₁＋x₂)−2x₁x₂＝(m＋2)−2(m−1)。 ∴＋−x₁x₂＝(m＋2)−3(m−1)＝＋4m＋4−3m＋3＝＋m＋7。 由 ＋m＋7＝9，得 ＋m−2＝0， 分解得 (m＋2)(m−1)＝0，解得 m＝1 或 m＝−2。 由 (1) 知判别式恒大于 0，两个值均符合题意。 【另解】(2) 不用选学内容：用求根公式得两根为 与 ，两根相加得 m＋2；两根相乘，用平方差公式得 ＝＝m−1，以下同主解，同样解得 m＝1 或 m＝−2。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 3 练选择三型：变 1 直接读两根之和（符号陷阱）；变 2 乘积展开型对称式 x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)；变 3 先化一般式再由两根和与积的符号定象限； ◆ 变 4 练倍数关系求参：x₁＝3x₂ 代入两根之和定出两根，再用两根之积求 m 并检验判别式； ◆ 变 5—变 7 练填空三型（横线红色答案自测）：变 5 根的定义降次 ＝−4m＋1；变 6 差的平方展开 (x₁−x₂)＝(x₁＋x₂)−4x₁x₂ 再与 3x₁x₂ 合并；变 7 括号型 (x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1； ◆ 变 8、变 9 练解答规范：变 8 判别式定范围＋两根之积代入求 k，解出的值必须回代检验范围；变 9 正整数分类逐一检验——判别式开方开不尽的根是无理数，直接舍去； ◆ 变 10 练三问综合（第 (1) 问嵌空）：读和与积 → 倒数和与 x₁＋ 化归到 p → 平方和列方程求 p，判别式小于 0 的值舍去； ◆ 限时建议：选择与填空 15 分钟内完成，解答题每题 8 分钟内写出规范步骤，重点练“先定变形、再整体代入、求参必检验”三步。 变式 1　选择题 （2025·广西·中考）一元二次方程 −20x−25＝0 的两个根的和为（　　） A．−25　　B．−20　　C．20　　D．25 【答案】C 【解析】两根之和等于一次项系数的相反数，即 −(−20)＝20。符号是本题唯一陷阱，先化一般式确认系数再读数。 【详解】 ∵方程已是一般式，a＝1，b＝−20， ∴x₁＋x₂＝−＝20。 故选 C。 【另解】用求根公式解得两根为 10＋5 与 10−5，相加得 20，结果一致。 变式 2　选择题 （2025·四川乐山·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −x−2＝0 的两个实数根，则 x₂＋x₁ 的值为（　　） A．−1　　B．1　　C．−2　　D．2 【答案】C 【解析】先提公因式：x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)，再整体代入两根之积与两根之和，不解方程。 【详解】 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝1，x₁x₂＝−2。 ∴x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)＝(−2)×1＝−2。 故选 C。 【另解】解方程：−x−2＝0 分解得 (x−2)(x＋1)＝0，两根为 2 和 −1，代入得 4×(−1)＋2×1＝−2，结果一致。 变式 3　选择题 （2025·河北·中考）已知一元二次方程 x(x＋2)＝3 的两个实数根之和为 m、两个实数根之积为 n，则点 (m，n) 在（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 【答案】C 【解析】先化一般式 ＋2x−3＝0，得 m＝x₁＋x₂＝−2，n＝x₁x₂＝−3，横、纵坐标同为负，点在第三象限。 【详解】 把方程化为一般式：＋2x−3＝0，其中 a＝1，b＝2，c＝−3。 ∴m＝x₁＋x₂＝−＝−2，n＝x₁x₂＝＝−3。 ∵m＜0，n＜0， ∴点 (m，n) 在第三象限。 故选 C。 【另解】解方程：(x＋3)(x−1)＝0，两根为 −3 和 1，故 m＝−3＋1＝−2，n＝−3×1＝−3，点 (−2，−3) 在第三象限，结果一致。 变式 4　选择题 （2025·江苏常州金坛区·期中）已知关于 x 的一元二次方程 −8x＋m＝0 的两个根为 x₁、x₂，且 x₁＝3x₂，则 m 的值为（　　） A．4　　B．8　　C．12　　D．16 【答案】C 【解析】把 x₁＝3x₂ 代入两根之和 4x₂＝8 定出两根，再用两根之积求 m，最后检验判别式。 【详解】 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝8。 ∵x₁＝3x₂，∴3x₂＋x₂＝4x₂＝8，解得 x₂＝2，x₁＝6。 ∴m＝x₁x₂＝6×2＝12。 经检验：判别式＝64−4m＝64−48＝16＞0，方程确有两个不相等的实数根。 故选 C。 【另解】设 x₂＝t，则 x₁＝3t。把两根分别代入方程得 9−24t＋m＝0 与 −8t＋m＝0，两式相减得 8−16t＝0，即 8t(t−2)＝0，t＝0 或 t＝2。t＝0 时 m＝0，方程两根为 0 和 8，不满足一根是另一根的 3 倍，舍去；t＝2 时 m＝8t−＝12，经检验成立。 变式 5　填空题（嵌空） （2024·四川南充·中考）已知 m 是关于 x 的一元二次方程 ＋4x−1＝0 的一个实数根，则 (m＋5)(m−1) 的值为____−4____。 【答案】−4 【解析】m 是根，则 ＝−4m＋1，把 (m＋5)(m−1) 展开后用降次式代入，不解方程。 【详解】 ∵m 是方程 ＋4x−1＝0 的根， ∴＋4m−1＝0，即 ＝−4m＋1。 ∴(m＋5)(m−1)＝＋4m−5＝(−4m＋1)＋4m−5＝−4。 【另解】设另一根为 n，由根与系数的关系 m＋n＝−4 得 n＝−4−m；再由两根之积 mn＝−1 得 m(−4−m)＝−1，化简同样得 ＋4m＝1，代入展开式得 −4。 变式 6　填空题（嵌空） （2024·四川泸州·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −3x−5＝0 的两个实数根，则 ＋3x₁x₂ 的值为____14____。 【答案】14 【解析】差的平方展开为 (x₁＋x₂)−4x₁x₂，与 3x₁x₂ 合并后只剩两个基本量。 【详解】 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝−5。 ∴＝(x₁＋x₂)−4x₁x₂＝9＋20＝29。 ∴＋3x₁x₂＝29＋3×(−5)＝29−15＝14。 【另解】用求根公式得两根为 与 ，代入原式化简同样得 14（步骤较多）。 变式 7　填空题（嵌空） （2025·四川眉山·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −2x−5＝0 的两个实数根，则 (x₁＋1)(x₂＋1) 的值为____−2____。 【答案】−2 【解析】括号型对称式：(x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1，整体代入即得。 【详解】 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝−5。 ∴(x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1＝−5＋2＋1＝−2。 【另解】配方 −2x−5＝0 得 (x−1)＝6，两根为 1＋ 与 1−，代入得 (2＋)(2−)＝4−6＝−2，结果一致。 变式 8　解答题 （2023·湖北襄阳·中考）已知关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋3−k＝0 有两个不相等的实数根。 (1) 求 k 的取值范围； (2) 设该方程的两个实数根为 α、β，且 ＝αβ＋3k，求 k 的值。 【答案】(1) k＞2；(2) k＝3。 【解析】第 (1) 问判别式大于 0 解出范围；第 (2) 问由两根之积把 αβ 用 k 表示，代入条件式解二次方程，解出的 k 都要回代检验 (1) 的范围。 【详解】 (1) ∵a＝1，b＝2，c＝3−k， ∴判别式＝2−4×1×(3−k)＝4−12＋4k＝4k−8。 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴4k−8＞0，解得 k＞2。 (2) 由根与系数的关系：αβ＝3−k。 ∵＝αβ＋3k， ∴＝3−k＋3k＝3＋2k， 即 −2k−3＝0，分解得 (k−3)(k＋1)＝0，解得 k＝3 或 k＝−1。 ∵k＝−1＜2，不符合 (1) 的取值范围，舍去；k＝3＞2，符合。 ∴k＝3。 【另解】(2) 不用选学内容：由 (1) 得 k＞2，用求根公式得两根为 −1＋ 与 −1−，相乘由平方差公式得 1−(k−2)＝3−k，即 αβ＝3−k，以下同主解，解得 k＝3。 变式 9　解答题 （2021-2022·北京东城·期末统测）已知关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋k−2＝0 有两个不相等的实数根。 (1) 求 k 的取值范围； (2) 若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值。 【答案】(1) k＜3；(2) k＝2。 【解析】第 (1) 问判别式大于 0 解出范围；第 (2) 问按正整数分类逐一检验——判别式开方开不尽时两根是无理数，直接舍去；分解后两根都是整数的才符合。 【详解】 (1) ∵a＝1，b＝2，c＝k−2， ∴判别式＝2−4×1×(k−2)＝4−4k＋8＝12−4k。 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴12−4k＞0，解得 k＜3。 (2) ∵k 为正整数且 k＜3， ∴k＝1 或 k＝2。 当 k＝1 时，方程为 ＋2x−1＝0，判别式＝4＋4＝8， 由求根公式得两根为 −1＋ 与 −1−，均不是整数，舍去； 当 k＝2 时，方程为 ＋2x＝0，分解得 x(x＋2)＝0， 两根为 0 与 −2，都是整数，符合题意。 ∴k＝2。 【另解】(2) 用根与系数的关系：两根之和为 −2，两根之积为 k−2。k＝1 时两根之积为 −1，整数因数对只有 1 与 −1，其和为 0，不等于 −2，故两根不可能都是整数，舍去；k＝2 时两根之积为 0，由两根之和为 −2 得两根为 0 与 −2，都是整数，符合。 变式 10　解答题（第(1)问嵌空） （2024·四川内江·中考）已知 x₁、x₂ 是关于 x 的方程 −px＋1＝0（p 为常数）的两个不相等的实数根。 (1) x₁＋x₂＝____p____，x₁x₂＝____1____； (2) 求 ＋ 与 x₁＋ 的值； (3) 若 ＋＝2p＋1，求 p 的值。 【答案】(1) x₁＋x₂＝p，x₁x₂＝1；(2) 两式的值均为 p；(3) p＝3。 【解析】第 (1) 问直接读两根之和与两根之积；第 (2) 问倒数和用“和除以积”，x₁＋ 用根的定义两边同除以 x₁；第 (3) 问把平方和用两个基本量表示，解出 p 后必须检验判别式。 【详解】 (1) 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝p，x₁x₂＝1。 (2) ＋＝＝＝p。 ∵x₁ 是方程的根，∴−px₁＋1＝0。 两边同除以 x₁（由两根之积为 1 知 x₁≠0），得 x₁＋＝p。 (3) ＋＝(x₁＋x₂)−2x₁x₂＝p−2。 由 p−2＝2p＋1，得 p−2p−3＝0， 分解得 (p−3)(p＋1)＝0，解得 p＝3 或 p＝−1。 ∵方程有两个不相等的实数根，∴判别式＝p−4＞0。 当 p＝3 时，9−4＝5＞0，符合；当 p＝−1 时，1−4＝−3＜0，舍去。 ∴p＝3。 【另解】(2)(3) 不用选学内容：用求根公式写出两根（含 p 的根式），两根直接相加得 x₁＋x₂＝p，直接相乘得 x₁x₂＝1，以下与主解相同，第 (3) 问同样解得 p＝3。 PART 05 拔高巩固（8 题） 根与系数的关系（选学）——韦达定理、对称式、前提检验 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 练根的定义精确降次：α 是 ＋2024x−2＝0 的根，则 ＋2024α＝2，把所求式拆成 (＋2024α)＋(α＋β) 两段分别算； ◆ 拔 2 练两根互为相反数反推系数：两根之和为 0 得 b＝0，两根之积为 −1 得 a＋c＝0——两根关系倒推系数结构； ◆ 拔 3—拔 5 练填空三型（横线红色答案自测）：拔 3 大系数降次构造 −2023m−2026＝m−1，两因式降次后用两根之和与积收尾；拔 4 平方型综合降次，−2m＝ 与 ＋＝(m＋n)−2mn 联用；拔 5 用 ＝5n−2 把 (n−2) 降成一次式再收尾； ◆ 拔 6 练恒有实根与比值求参：判别式配方成 (4m−1) 恒非负；比值和通分为 列方程，两个 m 值都要回代检验； ◆ 拔 7 练含参证明：展开 (x₁−1)(x₂−1)＝x₁x₂−(x₁＋x₂)＋1，用两根之和与积表示后恰好配成 −，由非负性得小于等于 0； ◆ 拔 8 练综合压轴：先用根的定义把 (3−2m)x₂＋m 换成 ＋1（非对称式化为对称式的关键一步），再用两根之和与积表示成 m 的二次式，配方得 (2m−)＋，最小值 ——三步环环相扣，是本考点的难度天花板。 拔高 1　选择题 （2025·四川宜宾·期末）已知 α、β 是关于 x 的一元二次方程 ＋2024x−2＝0 的两个实数根，则 ＋2025α＋β 的值为（　　） A．−2024　　B．2024　　C．−2022　　D．2022 【答案】C 【解析】把原式拆成 (＋2024α)＋(α＋β) 两段：前一段由根的定义等于 2，后一段用两根之和等于 −2024。 【详解】 由根与系数的关系：α＋β＝−2024。 ∵α 是方程的根，∴＋2024α−2＝0，即 ＋2024α＝2。 ∴＋2025α＋β＝(＋2024α)＋(α＋β)＝2＋(−2024)＝−2022。 故选 C。 【另解】两根分别代入方程后相减，得 (α−β)(α＋β＋2024)＝0；判别式＝2024＋8＞0，两根必不相等，故 α＋β＝−2024——这一步不依赖选学内容，与主解所用两根之和一致，以下同主解。 拔高 2　选择题 （2024·浙江杭州西湖区·月考）已知关于 x 的一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是 1 和 −1，则下列结论正确的是（　　） A．a＝1，c＝1　　B．a＝1，c＝−1　　C．a−c＝0　　D．a＋c＝0 【答案】D 【解析】两根之和 1＋(−1)＝0 得 b＝0；两根之积 1×(−1)＝−1 得 a＋c＝0。两个基本量各用一次。 【详解】 ∵两根之和为 0，∴−＝0，得 b＝0。 ∵两根之积为 −1，∴＝−1，得 a＋c＝0。 故选 D。 【另解】把两根直接代入方程：x＝1 得 a＋b＋c＝0；x＝−1 得 a−b＋c＝0。两式相加得 2(a＋c)＝0，即 a＋c＝0（相减还可得 b＝0），结果一致。 拔高 3　填空题（嵌空） （2025·江苏宿迁·中考）已知 m、n 是一元二次方程 −2024x−2025＝0 的两个根，则 (−2023m−2026)(−2023n−2026) 的值为____−4048____。 【答案】−4048 【解析】由根的定义 ＝2024m＋2025，把第一个括号降次为 m−1，同理第二个括号为 n−1，再用两根之积与两根之和收尾。 【详解】 ∵m 是方程的根，∴＝2024m＋2025。 ∴−2023m−2026＝(2024m＋2025)−2023m−2026＝m−1。 同理 −2023n−2026＝n−1。 由根与系数的关系：m＋n＝2024，mn＝−2025。 ∴原式＝(m−1)(n−1)＝mn−(m＋n)＋1＝−2025−2024＋1＝−4048。 【另解】直接解方程：−2024x−2025＝0 分解得 (x−2025)(x＋1)＝0，两根为 2025 和 −1，代入得 (2025−1)×(−1−1)＝2024×(−2)＝−4048，结果一致。 拔高 4　填空题（嵌空） （2024·山东烟台·中考）若 m、n 是一元二次方程 2−4x−1＝0 的两个根，则 3−4m＋ 的值为____6____。 【答案】6 【解析】拆成 2(−2m)＋(＋)：前一段用“m 是根”降次，后一段用平方和变形，两段分别求值后相加。 【详解】 由根与系数的关系：m＋n＝2，mn＝−。 ∴＋＝(m＋n)−2mn＝4＋1＝5。 ∵m 是方程的根，∴2−4m−1＝0，即 −2m＝。 ∴3−4m＋＝2(−2m)＋(＋)＝1＋5＝6。 【另解】解方程 2−4x−1＝0，得两根 m＝，n＝（m、n 可互换），直接代入原式化简同样得 6（步骤较多）。 拔高 5　填空题（嵌空） （2024·四川成都·中考）已知 m、n 是一元二次方程 −5x＋2＝0 的两个实数根，则 m＋(n−2) 的值为____7____。 【答案】7 【解析】先用根的定义把 (n−2) 降次成一次式 n＋2，再用两根之和 m＋n＝5 收尾。 【详解】 由根与系数的关系：m＋n＝5。 ∵n 是方程的根，∴＝5n−2。 ∴(n−2)＝−4n＋4＝(5n−2)−4n＋4＝n＋2。 ∴m＋(n−2)＝m＋n＋2＝5＋2＝7。 【另解】用求根公式得两根为 与 ，直接代入 m＋(n−2) 化简同样得 7（步骤较多）。 拔高 6　解答题 （2023·四川南充·中考）已知关于 x 的一元二次方程 −(2m−1)x−3＋m＝0。 (1) 求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个实数根； (2) 若这个方程的两个不相等的实数根为 x₁、x₂，且 ＋＝−，求 m 的值。 【答案】(1) 见详解；(2) m＝ 或 m＝1。 【解析】第 (1) 问把系数代入判别式并配方成完全平方式；第 (2) 问把比值和通分为 ，代入含 m 的式子列方程，解得的 m 值都要检验两根之积不为 0。 【详解】 (1) ∵a＝1，b＝−(2m−1)，c＝−3＋m， ∴判别式＝(2m−1)−4×1×(−3＋m)＝4−4m＋1＋12−4m＝16−8m＋1＝(4m−1)。 ∵无论 m 取何值，(4m−1)≥0 恒成立， ∴这个方程总有两个实数根。 (2) 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝2m−1，x₁x₂＝−3＋m。 ∴＋＝＝＝。 令 ＝−，去分母得 2(10−6m＋1)＝−5(m−3)， 化简得 5−7m＋2＝0，分解得 (5m−2)(m−1)＝0，解得 m＝ 或 m＝1。 经检验：m＝ 时两根之积不为 0，m＝1 时两根之积为 −2 也不为 0，分式均有意义；且两值都使判别式＝(4m−1)＞0，方程确有两个不相等的实数根，均符合。 ∴m＝ 或 m＝1。 【另解】(2) 不用选学内容：第 (1) 问已得根号内为 (4m−1)，用求根公式直接解得两根为 3m−1 与 −m，代入 ＋＝−，通分后同样得 5−7m＋2＝0，解得 m＝ 或 m＝1。 拔高 7　解答题 （2025·四川南充·中考）已知关于 x 的一元二次方程 (x−1)(x−2)＝（m 为常数）的两个实数根为 x₁、x₂。 (1) 若 x₁＝−1，求 x₂ 及 m 的值； (2) 求证：(x₁−1)(x₂−1)≤0。 【答案】(1) x₂＝4，m＝±；(2) 见详解。 【解析】第 (1) 问把 x₁＝−1 代入原方程先求 m，再解一元二次方程求 x₂；第 (2) 问把方程化为一般式，用两根之和与两根之积把 (x₁−1)(x₂−1) 表示出来，恰好配成 −。 【详解】 (1) 把 x₁＝−1 代入方程：(−1−1)×(−1−2)＝，即 ＝6， ∴m＝±。 此时方程为 (x−1)(x−2)＝6，展开得 −3x−4＝0， 分解得 (x＋1)(x−4)＝0， ∴x＝−1 或 x＝4，故 x₂＝4。 (2) 把方程化为一般式：−3x＋2−＝0。 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝2−。 ∴(x₁−1)(x₂−1)＝x₁x₂−(x₁＋x₂)＋1＝(2−)−3＋1＝−。 ∵≥0，∴−≤0，即 (x₁−1)(x₂−1)≤0。 【另解】(2) 不用选学内容：设 u＝x−1，则方程化为 u(u−1)＝，即 u−u−＝0，x₁−1 与 x₂−1 正是它的两个根。用求根公式得两根为 与 ，相乘得 ＝−≤0，结论相同。 拔高 8　解答题 （2021·四川绵阳·中考模拟）已知关于 x 的方程 ＋(2m−3)x−m＋1＝0（m 是实数）。 (1) 求证：不论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 设方程的两个实数根为 x₁、x₂，求代数式 ＋(3−2m)x₂＋m 的最小值。 【答案】(1) 见详解；(2) 最小值为 。 【解析】第 (1) 问把系数代入判别式并配方成 (2m−2)＋1，由非负性证恒正；第 (2) 问先用根的定义把 (3−2m)x₂＋m 换成 ＋1——这是把非对称式化为对称式的关键一步，再用两根之和与两根之积表示成 m 的二次式，配方求最小值。 【详解】 (1) ∵a＝1，b＝2m−3，c＝−m＋1， ∴判别式＝(2m−3)−4×1×(−m＋1)＝4−12m＋9＋4m−4＝4−8m＋5。 ∵4−8m＋5＝(2m−2)＋1，且 (2m−2)≥0， ∴判别式＝(2m−2)＋1＞0 恒成立， ∴不论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2) ∵x₂ 是方程的根，∴＋(2m−3)x₂−m＋1＝0。 移项得 ＝(3−2m)x₂＋m−1，即 (3−2m)x₂＋m＝＋1。 ∴原式＝＋＋1。 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝3−2m，x₁x₂＝−m＋1。 ∴原式＝(x₁＋x₂)−2x₁x₂＋1＝(3−2m)−2(−m＋1)＋1＝4−10m＋8。 ∵4−10m＋8＝(2m−)＋，且 (2m−)≥0， ∴原式≥，当 2m＝ 即 m＝ 时取等号。 ∴代数式的最小值为 。 【另解】第 (2) 问不用选学内容：根的定义降次这一步与主解相同；再不用两根之和与两根之积的结论，改用对比系数法——把方程写成 (x−x₁)(x−x₂)＝0，展开得 −(x₁＋x₂)x＋x₁x₂＝0，与原方程对比系数得 x₁＋x₂＝3−2m，x₁x₂＝−m＋1（多项式恒等，属整式乘法），以下与主解相同，同样得最小值为 。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 两根之积 例 2 看错系数逆向构造 例 3 知一根求另一根 例 4 完全平方结构 例 5 判别式范围与求参 例 6 恒有实根与求参 变式 1 两根之和 变式 2 乘积展开型对称式 变式 3 两根符号与象限 变式 4 倍数关系求参 变式 5 根的定义降次 变式 6 差的平方组合 变式 7 括号型对称式 变式 8 判别式范围与求参 变式 9 正整数根分类讨论 变式 10 三问综合 拔高 1 根的定义精确降次 拔高 2 两根反推系数 拔高 3 大系数降次构造 拔高 4 平方型综合降次 拔高 5 降次与两根之和 拔高 6 恒有实根与比值求参 拔高 7 含参两问综合 拔高 8 降次与配方最值 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式、认清系数，再算判别式定符号；“有实根”带等号、“两不等”严格大于；二次项系数含参先看是否为零。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 5｜根与系数的关系——韦达定理、对称式、前提检验 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 5—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·韦达定理·两根和两根积·对称式求值·知一根求另一根·求参检验 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2023—2026 年各级各类考试（期中、期末、月考、中考、统测等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 8 道、解答题 8 道；例题组（2 选＋2 填＋2 解）、变式组（4 选＋3 填＋3 解）、拔高组（2 选＋3 填＋3 解），每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列； 特别说明：根与系数的关系（韦达定理）属北师大版九年级上册第二章第 3 节选学内容，各地考纲要求不一——若本地考纲不作要求，本资料可作拓展阅读；若考纲要求掌握，则为期中必考点。每题【详解】均给出主解（韦达），并附【另解】（先解方程再代入，不依赖选学内容）； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 5 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线定理内容——两根之和与两根之积的系数表达，用前必查两个前提（二次项系数不为 0、判别式不小于 0）；二线对称式变形——平方型、分式型、括号型六种常见变形，把非对称式化为对称式再整体代入；三线典型应用——求对称式的值、由一根求另一根、求字母参数并检验——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 5 保持一致） 考点范围：根与系数的关系（若一元二次方程的两根为 x₁、x₂，则两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得商；二次项系数为 1 时两根之和等于一次项系数的相反数、两根之积等于常数项）、对称式求值（平方型、分式型、括号型六种变形整体代入）、前提检验（二次项系数不为 0 与判别式不小于 0 两道关，求参后必检验）、由一根求另一根与求字母参数——与考点速览考点 5 一致。本内容属北师大版九上第二章第 3 节选学拓展，正式使用请按本地考纲取舍。 一、根与系数的关系——内容与前提 ◆ 定理内容：若一元二次方程 ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x₁、x₂，则 x₁＋x₂＝−，x₁x₂＝；当 a＝1 时，方程 ＋px＋q＝0 的两根满足 x₁＋x₂＝−p，x₁x₂＝q。这一关系由法国数学家韦达发现，又称韦达定理。 ◆ 两个前提：一是 a≠0（否则不是一元二次方程，两根不存在）；二是判别式 b−4ac≥0（方程必须有两个实数根，相等也算）。两个前提缺一不可——用根与系数的关系解题前先确认方程确有两实根，求出字母的值后还要回代检验判别式，无实根的值必须舍去。 二、对称式六变形——整体代入的桥梁 ◆ 平方型与括号型：＋＝(x₁＋x₂)−2x₁x₂；(x₁−x₂)＝(x₁＋x₂)−4x₁x₂；(x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1；x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)。要点：先把所求式展开或配方，全部用两根之和与两根之积表示。 ◆ 分式型与复杂型：＋＝；＋＝；含字母参数的式子先化简再代入，如 a＋b＋ab 的结构要配凑成两根和与两根积的组合。 三、知一根求另一根与求参——定义法与韦达法 ◆ 知一根求另一根：方法一（定义法）——把已知根代入原方程求出字母的值，再解方程得另一根；方法二（韦达法）——用两根之和或两根之积直接求另一根，再用另一根反求字母。两种方法互为检验。 根与系数的关系·对称式变形·前提检验速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 定理内容 两根之和＝一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积＝常数项与二次项系数之比 直接写出两根和与积 符号写反、漏前提 两个前提 二次项系数不为 0；判别式不小于 0 用定理前先查前提 无实根仍用定理 平方型变形 ＋＝(x₁＋x₂)−2x₁x₂；(x₁−x₂)＝(x₁＋x₂)−4x₁x₂ 求平方和、差的平方 漏乘系数 2 或 4 分式型变形 ＋＝；＋＝ 求倒数和、比值和 分母写错 括号型变形 (x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1；x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂) 求乘积展开型对称式 展开漏项 求参检验 列式求出字母后回代检验判别式不小于 0 含参求值后取舍 忘检验留错值 ◆ 求参必检验：用两根之和与两根之积列方程求出字母后，必须回代检验判别式是否不小于 0。如由 ＋＝2p＋1 求出 p＝3 或 −1，但 p＝−1 时判别式小于 0，方程无实根，舍去——检验一步是韦达题最主要的失分点。 四、根的定义降次与非韦达另解 ◆ 系数含参先分类：讨论二次项系数为 0 与不为 0 两种情形——为 0 时方程是一次方程，按一次方程判断根；不为 0 时才是二次方程，算 判别式 对照条件取参数范围，最后把各情形的结果合并（如东营中考题 k≤－1 的合成）。 ◆ 根的定义降次：m 是方程的根，则 可用含 m 的一次式表示。如 m 是 ＋4x−1＝0 的根，则 ＝−4m＋1，故 (m＋5)(m−1)＝＋4m−5＝−4——不解方程直接代入降次，这是韦达定理之外的第二条捷径。 ◆ 非韦达另解：根与系数的关系是选学内容，每道韦达题都有不依赖它的另解——直接解方程求出两根再代入计算。如 −4x＋3＝0 直接解得两根为 1 和 3，两根之积立得。另解步骤更多，但工具完全在课标必学范围内，可按本地考纲取舍选择主解。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 根与系数的关系（韦达定理）是选学拓展中考察频率最高的内容：定理形式简洁——两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数、两根之积等于常数项与二次项系数之比，但变形灵活、组合面广，是期中卷“选学不回避”时的常见压轴素材； 对称式求值是本考点的主战场：平方型（两根平方和、差的平方）、分式型（倒数和、比值和）、括号型（乘积展开型）六大变形，全部通过两根之和与两根之积整体代入——不求根而算根，正是韦达定理的价值所在； 前提检验是区分度来源：二次项系数不为 0、判别式不小于 0 两道关——尤其是由两根关系反求字母参数后，无实根的值必须舍去，忘检验是本考点最主要的失分点； 根的定义降次是第二条捷径：m 是根则 可降次为一次式，不解方程直接代入化简；每道韦达题都有“先解方程再代入”的非韦达另解，工具完全在必学范围内——本考点与考点速览考点 5 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·查前提：确认二次项系数不为 0、判别式不小于 0（或题目已说明方程有两实数根）——前提不满足，根与系数的关系不能用； 第二步·定变形：把所求对称式展开或配方，用两根之和与两根之积表示——平方和用和的平方减二倍积，倒数和用和除以积，乘积展开型先去括号； 第三步·代值检验：代入两根之和与两根之积求值；若题目含字母参数，求出后必须回代检验判别式，舍去使方程无实根的值。 注意事项（易错警示） 符号是第一错点：两根之和是“一次项系数的相反数”除以二次项系数——−4x＋3＝0 的两根之和是 4 不是 −4；两根之积的符号随常数项与二次项系数的比而定，交叉验证更保险； 前提不能省：方程没有实数根时，两根之和与两根之积的等式仍在形式上成立，但两根并不存在——凡用韦达必先确认判别式不小于 0；含参求值后更要回代检验； 变形要彻底：＋ 不是 (x₁＋x₂)，差一个“减二倍积”；(x₁−x₂) 展开是 (x₁＋x₂)−4x₁x₂，交叉项是 −2x₁x₂ 的两倍； 选学按考纲取舍：本内容属北师大版九上第二章第 3 节选学拓展——考纲不作要求的学生掌握“非韦达另解”即可应对，要求掌握的地区期中几乎必考对称式求值。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 两根和与积 直接写两根之和与两根之积 则 x₁＋x₂＝、x₁x₂＝ ★☆ 对称式求值 平方型、分式型、括号型变形 则某对称式的值为 ★★☆ 根的定义降次 由根的定义代入降次求值 则 (m＋a)(m＋b) 的值为 ★★☆ 知一根求另一根 定义法或韦达法求另一根 则方程的另一根为 ★★☆ 象限与符号 由两根和与积判断根的符号 点 (m，n) 所在象限 ★★☆ 含参求值检验 由两根关系反求字母并检验 求字母的值 ★★★ 命题边界：本考点考根与系数的关系（两根之和与两根之积、对称式六大变形、根的定义降次、由一根求另一根、含参求值与检验）；素材选自 2023—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；本内容属北师大版九上第二章第 3 节选学拓展，每题附不依赖选学内容的非韦达另解，正式使用请按本地考纲取舍；解题工具均为第二章一元二次方程及之前所学内容（解方程、代数式化简），未使用函数图象、二次函数等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：直接判断两根之积（选择）→ 看错系数逆向构造原方程（选择）→ 知一根求另一根（填空嵌空）→ 完全平方结构整体代入（填空嵌空）→ 判别式定范围与对称式求参（解答）→ 恒有实根证明与对称式求参（解答）。变式覆盖：直接读两根之和（选择）→ 乘积展开型对称式（选择）→ 两根符号与象限（选择）→ 倍数关系求参（选择）→ 根的定义降次（填空嵌空）→ 差的平方组合（填空嵌空）→ 括号型对称式（填空嵌空）→ 判别式定范围与两根之积求参（解答）→ 正整数根分类讨论（解答）→ 三问综合（解答）。拔高覆盖：根的定义精确降次（选择）→ 两根互反关系反推系数（选择）→ 大系数降次构造（填空嵌空）→ 平方型综合降次（填空嵌空）→ 降次与两根之和（填空嵌空）→ 恒有实根与比值求参（解答）→ 含参两问综合（解答）→ 根的定义降次与配方最值（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教直接读两根之积：−4x＋3＝0 中 a＝1，两根之积等于常数项 3——首项系数为 1 时直接读系数，注意两根之和取一次项系数的相反数； ◆ 例 2 教逆向构造原方程：看错常数项——两根之积不可信、两根之和可信；看错一次项系数——两根之和不可信、两根之积可信。各取可信一组还原 b 与 c； ◆ 例 3 教知一根求另一根（填空·嵌空）：用两根之和一步求出另一根，再用两根之积反求字母参数作检验，两个结果互相印证； ◆ 例 4 教完全平方结构：4＋8ab＋4＝4(a＋b)，认出结构后只需求两根之和 a＋b＝−2，不解方程； ◆ 例 5 教判别式定范围＋对称式求参（解答）：第 (1) 问判别式不小于 0 定出 m 的范围；第 (2) 问用两根之和与两根之积表示条件式，解出 m 后回代检验是否落在范围内； ◆ 例 6 教恒有实根的证明＋对称式求参（解答）：判别式整理成 ＋8 恒正；＋−x₁x₂ 化为 (x₁＋x₂)−3x₁x₂ 后列二次方程，由 (1) 的恒正前提确认两个解都成立。 例 1　选择题 （2025·湖北·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −4x＋3＝0 的两个实数根，则 x₁x₂ 的值为（　　） A．x₁＋x₂＝−4　　B．x₁＋x₂＝3　　C．x₁x₂＝4　　D．x₁x₂＝3 例 2　选择题 （2024·黑龙江绥化·中考）对于一元二次方程 ＋bx＋c＝0（b、c 为常数），小影看错了常数项 c，解得两根为 6 和 1；小冬看错了一次项系数 b，解得两根为 −2 和 −5。则这个方程是（　　） A．＋6x＋5＝0　　B．−7x＋10＝0　　C．−5x＋2＝0　　D．−6x−10＝0 例 3　填空题（嵌空） （2024·四川巴中·中考）已知关于 x 的一元二次方程 −2x＋k＝0 的一个根为 −2，则方程的另一个根为________。 例 4　填空题（嵌空） （2024·青海西宁·中考）已知 a、b 是一元二次方程 ＋2x−1＝0 的两个实数根，则 4＋8ab＋4 的值为________。 例 5　解答题 （2023-2024·浙江绍兴·期末）已知关于 x 的一元二次方程 −6x−m＝0（m 为常数）。 (1) 若该方程有两个实数根，求 m 的取值范围； (2) 设 x₁、x₂ 是该方程的两个实数根，且 x₁＋x₂−2x₁x₂＝0，求 m 的值。 例 6　解答题 （2024·四川遂宁·中考）已知关于 x 的一元二次方程 −(m＋2)x＋m−1＝0（m 为常数）。 (1) 求证：无论 m 取何值，这个方程都有两个不相等的实数根； (2) 设该方程的两个实数根为 x₁、x₂，且 ＋−x₁x₂＝9，求 m 的值。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 3 练选择三型：变 1 直接读两根之和（符号陷阱）；变 2 乘积展开型对称式 x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)；变 3 先化一般式再由两根和与积的符号定象限； ◆ 变 4 练倍数关系求参：x₁＝3x₂ 代入两根之和定出两根，再用两根之积求 m 并检验判别式； ◆ 变 5—变 7 练填空三型（横线红色答案自测）：变 5 根的定义降次 ＝−4m＋1；变 6 差的平方展开 (x₁−x₂)＝(x₁＋x₂)−4x₁x₂ 再与 3x₁x₂ 合并；变 7 括号型 (x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1； ◆ 变 8、变 9 练解答规范：变 8 判别式定范围＋两根之积代入求 k，解出的值必须回代检验范围；变 9 正整数分类逐一检验——判别式开方开不尽的根是无理数，直接舍去； ◆ 变 10 练三问综合（第 (1) 问嵌空）：读和与积 → 倒数和与 x₁＋ 化归到 p → 平方和列方程求 p，判别式小于 0 的值舍去； ◆ 限时建议：选择与填空 15 分钟内完成，解答题每题 8 分钟内写出规范步骤，重点练“先定变形、再整体代入、求参必检验”三步。 变式 1　选择题 （2025·广西·中考）一元二次方程 −20x−25＝0 的两个根的和为（　　） A．−25　　B．−20　　C．20　　D．25 变式 2　选择题 （2025·四川乐山·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −x−2＝0 的两个实数根，则 x₂＋x₁ 的值为（　　） A．−1　　B．1　　C．−2　　D．2 变式 3　选择题 （2025·河北·中考）已知一元二次方程 x(x＋2)＝3 的两个实数根之和为 m、两个实数根之积为 n，则点 (m，n) 在（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 变式 4　选择题 （2025·江苏常州金坛区·期中）已知关于 x 的一元二次方程 −8x＋m＝0 的两个根为 x₁、x₂，且 x₁＝3x₂，则 m 的值为（　　） A．4　　B．8　　C．12　　D．16 变式 5　填空题（嵌空） （2024·四川南充·中考）已知 m 是关于 x 的一元二次方程 ＋4x−1＝0 的一个实数根，则 (m＋5)(m−1) 的值为________。 变式 6　填空题（嵌空） （2024·四川泸州·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −3x−5＝0 的两个实数根，则 ＋3x₁x₂ 的值为________。 变式 7　填空题（嵌空） （2025·四川眉山·中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 −2x−5＝0 的两个实数根，则 (x₁＋1)(x₂＋1) 的值为________。 变式 8　解答题 （2023·湖北襄阳·中考）已知关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋3−k＝0 有两个不相等的实数根。 (1) 求 k 的取值范围； (2) 设该方程的两个实数根为 α、β，且 ＝αβ＋3k，求 k 的值。 变式 9　解答题 （2021-2022·北京东城·期末统测）已知关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋k−2＝0 有两个不相等的实数根。 (1) 求 k 的取值范围； (2) 若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值。 变式 10　解答题（第(1)问嵌空） （2024·四川内江·中考）已知 x₁、x₂ 是关于 x 的方程 −px＋1＝0（p 为常数）的两个不相等的实数根。 (1) x₁＋x₂＝________，x₁x₂＝________； (2) 求 ＋ 与 x₁＋ 的值； (3) 若 ＋＝2p＋1，求 p 的值。 PART 05 拔高巩固（8 题） 根与系数的关系（选学）——韦达定理、对称式、前提检验 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 练根的定义精确降次：α 是 ＋2024x−2＝0 的根，则 ＋2024α＝2，把所求式拆成 (＋2024α)＋(α＋β) 两段分别算； ◆ 拔 2 练两根互为相反数反推系数：两根之和为 0 得 b＝0，两根之积为 −1 得 a＋c＝0——两根关系倒推系数结构； ◆ 拔 3—拔 5 练填空三型（横线红色答案自测）：拔 3 大系数降次构造 −2023m−2026＝m−1，两因式降次后用两根之和与积收尾；拔 4 平方型综合降次，−2m＝ 与 ＋＝(m＋n)−2mn 联用；拔 5 用 ＝5n−2 把 (n−2) 降成一次式再收尾； ◆ 拔 6 练恒有实根与比值求参：判别式配方成 (4m−1) 恒非负；比值和通分为 列方程，两个 m 值都要回代检验； ◆ 拔 7 练含参证明：展开 (x₁−1)(x₂−1)＝x₁x₂−(x₁＋x₂)＋1，用两根之和与积表示后恰好配成 −，由非负性得小于等于 0； ◆ 拔 8 练综合压轴：先用根的定义把 (3−2m)x₂＋m 换成 ＋1（非对称式化为对称式的关键一步），再用两根之和与积表示成 m 的二次式，配方得 (2m−)＋，最小值 ——三步环环相扣，是本考点的难度天花板。 拔高 1　选择题 （2025·四川宜宾·期末）已知 α、β 是关于 x 的一元二次方程 ＋2024x−2＝0 的两个实数根，则 ＋2025α＋β 的值为（　　） A．−2024　　B．2024　　C．−2022　　D．2022 拔高 2　选择题 （2024·浙江杭州西湖区·月考）已知关于 x 的一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是 1 和 −1，则下列结论正确的是（　　） A．a＝1，c＝1　　B．a＝1，c＝−1　　C．a−c＝0　　D．a＋c＝0 拔高 3　填空题（嵌空） （2025·江苏宿迁·中考）已知 m、n 是一元二次方程 −2024x−2025＝0 的两个根，则 (−2023m−2026)(−2023n−2026) 的值为________。 拔高 4　填空题（嵌空） （2024·山东烟台·中考）若 m、n 是一元二次方程 2−4x−1＝0 的两个根，则 3−4m＋ 的值为________。 拔高 5　填空题（嵌空） （2024·四川成都·中考）已知 m、n 是一元二次方程 −5x＋2＝0 的两个实数根，则 m＋(n−2) 的值为________。 拔高 6　解答题 （2023·四川南充·中考）已知关于 x 的一元二次方程 −(2m−1)x−3＋m＝0。 (1) 求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个实数根； (2) 若这个方程的两个不相等的实数根为 x₁、x₂，且 ＋＝−，求 m 的值。 拔高 7　解答题 （2025·四川南充·中考）已知关于 x 的一元二次方程 (x−1)(x−2)＝（m 为常数）的两个实数根为 x₁、x₂。 (1) 若 x₁＝−1，求 x₂ 及 m 的值； (2) 求证：(x₁−1)(x₂−1)≤0。 拔高 8　解答题 （2021·四川绵阳·中考模拟）已知关于 x 的方程 ＋(2m−3)x−m＋1＝0（m 是实数）。 (1) 求证：不论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 设方程的两个实数根为 x₁、x₂，求代数式 ＋(3−2m)x₂＋m 的最小值。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 两根之积 例 2 看错系数逆向构造 例 3 知一根求另一根 例 4 完全平方结构 例 5 判别式范围与求参 例 6 恒有实根与求参 变式 1 两根之和 变式 2 乘积展开型对称式 变式 3 两根符号与象限 变式 4 倍数关系求参 变式 5 根的定义降次 变式 6 差的平方组合 变式 7 括号型对称式 变式 8 判别式范围与求参 变式 9 正整数根分类讨论 变式 10 三问综合 拔高 1 根的定义精确降次 拔高 2 两根反推系数 拔高 3 大系数降次构造 拔高 4 平方型综合降次 拔高 5 降次与两根之和 拔高 6 恒有实根与比值求参 拔高 7 含参两问综合 拔高 8 降次与配方最值 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式、认清系数，再算判别式定符号；“有实根”带等号、“两不等”严格大于；二次项系数含参先看是否为零。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $