第1讲 复数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

复数 复数 · 专题篇 复数的运算与化简 复数的运算看上去符号多，其实只需要记住两件事：一是 ，二是把结果整理成 的标准形。只要最后写成标准形，实部虚部、共轭、模都能直接读出来，所以「化标准形」是这一块所有题的第一目标。 的幂按四个一循环：、、、，再往后重复。所以见到 要立刻换成 、见到 要换成 。大指数就把指数除以 取余数，用余数去查上面那四个值。 乘法按多项式展开即可，唯一要留心的是遇到 要把它换成 。而 这一型要熟记 ——两个括号里除了虚部的符号外完全一样，乘出来恰好是个实数，它就是「分母有理化」要用到的工具。 除法一律走「分母乘共轭」：。分母乘完共轭就变成 （一个实数），分子按乘法展开，最后把实部与虚部分别除以这个实数即可。 由方程求复数时，把 当成未知数直接解方程，与解一元一次方程没区别：两边同时乘除、移项，注意每一步都是复数运算。若方程形如 ，则在两边同乘 （因为 ），这比硬算除法快。 两处最容易错。一是负号漏掉： 代人时容易只记得「去掉 」而忘了变号。二是分母乘共轭之后忘了化简，把 原样留着，三是把「乘共轭」与「取共轭」混起来：分母乘共轭是为了把分母变成实数，而取共轭是把虚部的符号反过来，两者目的不同。最后再补一句：复数的所有运算都要化到最后一步，即写成 的干净形式；只要还留着分母、还带着括号，就说明这一题没做完。结果读不出实部虚部，后面的题就全断了。 例1（单选·★☆☆☆☆） 复数 = （ ） A. B. 25 C. D. 5 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知为虚数单位，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） = （ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 设复数满足（为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-3（单选·★☆☆☆☆） 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则 = （ ） A. B. C. 1 D. 5 例3（单选·★☆☆☆☆） 若为虚数单位，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 设复数，则 = （ ） A. B. C. D. 复数的概念：实部虚部、共轭与模 这一块的全部内容都建立在标准形 之上： 叫实部、 叫虚部。所以题目不管给的是分式、方程还是别的形式，第一步永远是先化成 ，然后再去读它。 关于实部与虚部，有一条最容易被忽略的约定：虚部是 本身，不带 。例如 的虚部是 而不是 ；再如 的虚部是 。选择题里常常故意放两个「带 」的选项来诱导，认准这一条就能直接排除。 两个常见的特殊情形要记牢：实部为零（）时复数是纯虚数（此时还要保证 ）；虚部为零（）时复数是实数。反过来，题目说「 为实数」就是在告诉你虚部等于零，说「 为纯虚数」就是告诉你实部等于零且虚部不为零。 共轭复数只改一个符号： 的共轭是 ，也就是把虚部的符号反过来。由此有两条常用的恒等式：（只留实部的两倍），（只留虚部的两倍）。题目问 ，其实就是在问 倍的实部。 模是复平面上的点到原点的距离：。由这个定义立刻得到：共轭的模与原复数相同，即 ；而 ，这条在化简分式时很好用 ——分母乘共轭之后剩下的那个数，正是一个模的平方。 两处最容易错。一是把虚部写成带 的形式（前面已说，这是最常见的失分点）。二是求模之前没有先化简：题目给的是一个分式，直接对分子分母分别求模再相除虽然也对，但更容易算错；先化成 再用勾股定理，稳妥得多。 例4（单选·★☆☆☆☆） 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数（为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，若为实数，则 = （ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 1 变式4-3（单选·★☆☆☆☆） 若复数满足（i为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 例5（单选·★☆☆☆☆） 若，其中为虚数单位，则 = （ ） A. B. C. D. 1 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足，则的实部与虚部之积为（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★☆☆☆☆） 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 复数的几何意义 复数的几何意义只有一句话：复数 与复平面上的点 一一对应，横坐标是实部、纵坐标是虚部。所以「复数题」和「点坐标题」是同一件事的两种说法，看到「在复平面内对应的点」就把它翻译成坐标。 由此立刻得到象限的判断方法：把 化成 ，看 、 的符号 ——都正是第一象限、 负 正是第二象限、都负是第三象限、 正 负是第四象限。这一块几乎没有例外，先把标准形写出来就不会错。 落在坐标轴上的两个特例要熟悉：点在 轴上等价于实部为零；点在 轴上等价于虚部为零。由这类条件可以反求参数，做法就是让对应的那一部分等于零。注意「在 轴上」还要求虚部不为零，否则那个点会跑到原点（原点同时在两条轴上）。 对称关系是这一块最爱考的一型，三种要分清：关于实轴（ 轴）对称，等价于把虚部变号，也就是取共轭；关于虚轴（ 轴）对称，等价于把实部变号；关于原点对称，则是实部与虚部同时变号。记忆的办法是看「对称轴上的坐标不变」——关于实轴对称，实部（横坐标）当然不动，动的只有虚部。 模的几何意义是距离： 就是点 到原点的距离。所以「 的对应点都在以原点为圆心的圆上」这句话，翻译过来就是「 是定值」，即 。再研究别的复数（比如 ）的轨迹时，就把它设成 ，用 、 的关系把 、 的关系推出来。 两处最容易错。一是把「关于虚轴对称」当成取共轭 ——取共轭改的是虚部，那对应的是关于实轴对称。二是没化简就去看象限：题目给的是分式或方程，必须先把 解出来化成标准形，直接看原式里的符号是看不出象限的。 例7（单选·★☆☆☆☆） 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 = （ ） A. 5 B. C. 3 D. 变式7-3（单选·★☆☆☆☆） 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 例9（单选·★☆☆☆☆） 复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 变式9-1（单选·★☆☆☆☆） 若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数 = （ ） A. B. C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 复数 复数 · 专题篇 复数的运算与化简 复数的运算看上去符号多，其实只需要记住两件事：一是 ，二是把结果整理成 的标准形。只要最后写成标准形，实部虚部、共轭、模都能直接读出来，所以「化标准形」是这一块所有题的第一目标。 的幂按四个一循环：、、、，再往后重复。所以见到 要立刻换成 、见到 要换成 。大指数就把指数除以 取余数，用余数去查上面那四个值。 乘法按多项式展开即可，唯一要留心的是遇到 要把它换成 。而 这一型要熟记 ——两个括号里除了虚部的符号外完全一样，乘出来恰好是个实数，它就是「分母有理化」要用到的工具。 除法一律走「分母乘共轭」：。分母乘完共轭就变成 （一个实数），分子按乘法展开，最后把实部与虚部分别除以这个实数即可。 由方程求复数时，把 当成未知数直接解方程，与解一元一次方程没区别：两边同时乘除、移项，注意每一步都是复数运算。若方程形如 ，则在两边同乘 （因为 ），这比硬算除法快。 两处最容易错。一是负号漏掉： 代人时容易只记得「去掉 」而忘了变号。二是分母乘共轭之后忘了化简，把 原样留着，三是把「乘共轭」与「取共轭」混起来：分母乘共轭是为了把分母变成实数，而取共轭是把虚部的符号反过来，两者目的不同。最后再补一句：复数的所有运算都要化到最后一步，即写成 的干净形式；只要还留着分母、还带着括号，就说明这一题没做完。结果读不出实部虚部，后面的题就全断了。 例1（单选·★☆☆☆☆） 复数 = （ ） A. B. 25 C. D. 5 【切入点】两个括号里除了虚部符号外完全一样，这是「共轭配对」，乘出来一定是实数。 【关键】。两个交叉项互相抵消，而 ，所以结果是 。故选 B。 【易错】一是把 写成 ，忘了 要变号。二是以为结果是 的平方根，多开了一次方。三是把交叉项也留下，算出带 的结果。 【答案】B 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知为虚数单位，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】按多项式乘法逐项展开，把 换算成 之后再合并同类项。 【关键】。故选 D。 【易错】一是 写成 ，少了负号（正解是 ）。二是两个交叉项 与 合并成 时符号搞错。三是没化成 就下结论。 【答案】D 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） = （ ） A. B. C. D. 【切入点】分子上的 先换成 ，再按「分母乘共轭」把分母变成实数。 【关键】。故选 D。 【易错】一是把 留在分子上直接算，越算越乱。二是分母乘共轭时只乘分母、忘了分子也要乘。三是最后没有把 拆成实部与虚部，读不出是哪一项。 【答案】D 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 设复数满足（为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】把 当未知数直接解方程，两边同乘 把分母去掉。 【关键】由 得 ，所以 。故选 A。 【易错】一是两边同乘 时只乘了左边。二是 展开后把 写成 （正解是 ）。三是解出 时把常数项漏掉。 【答案】A 变式2-3（单选·★☆☆☆☆） 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则 = （ ） A. B. C. 1 D. 5 【切入点】实系数方程一旦有一个虚根，它的共轭一定是另一个根 —— 这一条把两个根都定下来了，接下来只要用韦达定理。 【关键】因为 是实系数方程 的一个根，所以另一个根是它的共轭 。由韦达定理，两根之和 等于 ，即 ，解得 ；两根之积 等于 ，即 。所以 。故选 D。 【易错】一是忘了「实系数方程虚根成对」这条，把一个根代进去硬解 、（要解二元方程组，慢且易错）。二是两根乘积里 写成 之后忘了再取负，正解是 。三是韦达定理的符号：两根之和等于 而不是 。 【答案】D 例3（单选·★☆☆☆☆） 若为虚数单位，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 【切入点】先把两个括号里的 的幂各自化简，再相乘。 【关键】由 得 ；而 。所以原式 等于 。故选 B。 【易错】一是把 写成 （忘了乘 ）。二是把 写成 ， 除以 余 ，对应的是 。三是第二个括号算成 之后还去展开，白算一遍。 【答案】B 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 设复数，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】先把分母的 换成 ，再走「分母乘共轭」的标准流程。 【关键】，所以 。故选 B。 【易错】一是把 写成 ，分母变成 ，结果完全不同。二是分母的模算成 是对的，但分子展开时 的符号弄错。三是最后忘了把 分开写。 【答案】B 复数的概念：实部虚部、共轭与模 这一块的全部内容都建立在标准形 之上： 叫实部、 叫虚部。所以题目不管给的是分式、方程还是别的形式，第一步永远是先化成 ，然后再去读它。 关于实部与虚部，有一条最容易被忽略的约定：虚部是 本身，不带 。例如 的虚部是 而不是 ；再如 的虚部是 。选择题里常常故意放两个「带 」的选项来诱导，认准这一条就能直接排除。 两个常见的特殊情形要记牢：实部为零（）时复数是纯虚数（此时还要保证 ）；虚部为零（）时复数是实数。反过来，题目说「 为实数」就是在告诉你虚部等于零，说「 为纯虚数」就是告诉你实部等于零且虚部不为零。 共轭复数只改一个符号： 的共轭是 ，也就是把虚部的符号反过来。由此有两条常用的恒等式：（只留实部的两倍），（只留虚部的两倍）。题目问 ，其实就是在问 倍的实部。 模是复平面上的点到原点的距离：。由这个定义立刻得到：共轭的模与原复数相同，即 ；而 ，这条在化简分式时很好用 ——分母乘共轭之后剩下的那个数，正是一个模的平方。 两处最容易错。一是把虚部写成带 的形式（前面已说，这是最常见的失分点）。二是求模之前没有先化简：题目给的是一个分式，直接对分子分母分别求模再相除虽然也对，但更容易算错；先化成 再用勾股定理，稳妥得多。 例4（单选·★☆☆☆☆） 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目问的是「这个分式的共轭」，所以先算出分式的值，再取共轭。 【关键】。分母 等于 ；分子 等于 。所以原式 等于 ，其共轭为 。故选 C。 【易错】一是分母乘共轭时写成了 之外的东西。二是分子展开时 忘了变成 ，那样得不到 这个干净的结果。三是求完值忘了取共轭，直接选了 。 【答案】C 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数（为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】先用「分母乘共轭」把 化成 ，再用勾股定理求模。 【关键】。所以 。故选 B。 【易错】一是分母的模平方写成 是对的，但分子展开时 容易漏掉负号。二是最后没有把 化简到底。三是忘了 是两点间距离，不会带 。 【答案】B 变式4-2（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，若为实数，则 = （ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 1 【切入点】「 为实数」这句话等价于虚部等于零，用它把参数 定下来，再求模。 【关键】 为实数，故虚部 ，即 。代回得 ，所以 。故选 C。 【易错】一是把「为实数」理解成「实部为零」。二是求出 之后忘了代回去算 。三是把 的模当成 （正解是 ，实数在数轴上的距离就是它的绝对值）。 【答案】C 变式4-3（单选·★☆☆☆☆） 若复数满足（i为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】先把 解出来（两边同除 ），化简成标准形之后再求模。 【关键】由 得 。分母乘共轭：，分母 等于 ；分子 等于 。所以 ，。故选 C。 【易错】一是把 算成 （漏乘 ）。二是 ，这个化简是本题的转折点，算错后面全错。三是分子展开时 的符号。 【答案】C 例5（单选·★☆☆☆☆） 若，其中为虚数单位，则 = （ ） A. B. C. D. 1 【切入点】 只与实部有关，所以先化简 、把实部读出来即可。 【关键】。分母 等于 ；分子 等于 。所以 ，从而 。故选 D。 【易错】一是算完 之后又把共轭整个加一遍，多算。二是分母的模平方算成 之后忘了分子也要除。三是把 当成 。 【答案】D 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足，则的实部与虚部之积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给的是一个方程，先把 解出来、化成标准形，再取实部与虚部。 【关键】由 得 。分母 等于 ；分子 等于 。所以 ，实部为 、虚部为 ，二者之积为 。故选 A。 【易错】一是把虚部读成 ，那样乘积会带一个 （选项 C 就是这么设的）。二是分母乘共轭时分子忘了也乘。三是把「实部与虚部之积」理解成「实部乘虚部再乘 」。 【答案】A 例6（单选·★☆☆☆☆） 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先化简 ，再取共轭，最后要清楚虚部是那个不带 的数。 【关键】，所以 ，其虚部为 。故选 D。 【易错】一是把虚部写成 （选项 B 就是这么设的）——虚部是 本身，不带 。二是取共轭时只改了实部的符号。三是分子 展开成 后忘了 。 【答案】D 复数的几何意义 复数的几何意义只有一句话：复数 与复平面上的点 一一对应，横坐标是实部、纵坐标是虚部。所以「复数题」和「点坐标题」是同一件事的两种说法，看到「在复平面内对应的点」就把它翻译成坐标。 由此立刻得到象限的判断方法：把 化成 ，看 、 的符号 ——都正是第一象限、 负 正是第二象限、都负是第三象限、 正 负是第四象限。这一块几乎没有例外，先把标准形写出来就不会错。 落在坐标轴上的两个特例要熟悉：点在 轴上等价于实部为零；点在 轴上等价于虚部为零。由这类条件可以反求参数，做法就是让对应的那一部分等于零。注意「在 轴上」还要求虚部不为零，否则那个点会跑到原点（原点同时在两条轴上）。 对称关系是这一块最爱考的一型，三种要分清：关于实轴（ 轴）对称，等价于把虚部变号，也就是取共轭；关于虚轴（ 轴）对称，等价于把实部变号；关于原点对称，则是实部与虚部同时变号。记忆的办法是看「对称轴上的坐标不变」——关于实轴对称，实部（横坐标）当然不动，动的只有虚部。 模的几何意义是距离： 就是点 到原点的距离。所以「 的对应点都在以原点为圆心的圆上」这句话，翻译过来就是「 是定值」，即 。再研究别的复数（比如 ）的轨迹时，就把它设成 ，用 、 的关系把 、 的关系推出来。 两处最容易错。一是把「关于虚轴对称」当成取共轭 ——取共轭改的是虚部，那对应的是关于实轴对称。二是没化简就去看象限：题目给的是分式或方程，必须先把 解出来化成标准形，直接看原式里的符号是看不出象限的。 例7（单选·★☆☆☆☆） 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把 化成标准形，再按「实部是横坐标、虚部是纵坐标」写出点。 【关键】。所以对应点的坐标为 。故选 A。 【易错】一是把坐标写成 （选项 C）——坐标是实数对，虚部只取系数 ，不带 。二是分子展开时 的负号漏掉。三是没化简就直接看，得到错误的符号。 【答案】A 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【切入点】化简 得到它的坐标表达式，再让坐标等于题给的点。 【关键】。所以 对应点为 。由题设该点为 得 。故选 D。 【易错】一是分母乘 时把 写成 。二是 化简时只改了第一项的符号（两项都要变号）。三是把点 与 弄反。 【答案】D 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 = （ ） A. 5 B. C. 3 D. 【切入点】关键是分清「关于虚轴对称」改的是哪一部分：横坐标要变号，也就是实部变号。 【关键】 对应的点为 。它关于 轴（虚轴）的对称点是 ，所以 。于是 。故选 B。 【易错】一是把「关于虚轴对称」做成了取共轭 ——取共轭得到 是「关于实轴对称」的结果。二是乘法展开时 的负号漏掉，那样会算成 （选项 C）。三是把 的虚部也变了号。 【答案】B 变式7-3（单选·★☆☆☆☆） 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 【切入点】「对应点都在以原点为圆心的圆上」就是「模为定值」，设出 得 ；再把 也表示成 ，看 、 满足什么关系。 【关键】设 ，由题意 （ 为定值）。又 ，故 。设它的对应点为 ，则 、，于是 ，这是一个定值 ⇒ 对应点仍在一个圆上。故选 B。 【易错】一是没有设出 ，只凭「倒数」这个词猜结论。二是把 的化简漏掉一步，忘了分母 恰好是 。三是算出 是定值之后，误以为是「直线」或「双曲线」（那需要 、 的一次关系或差值关系）。 【答案】B 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【切入点】先把 解出来化成 ，再由 、 的符号定象限。 【关键】由 得 。对应点为 ，实部正、虚部负，位于第四象限。故选 D。 【易错】一是两边同乘 时忘了右边也要乘。二是 的负号漏掉，会算成 （第三象限）。三是把象限顺序记错（第四象限是「正、负」）。 【答案】D 例9（单选·★☆☆☆☆） 复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【切入点】方程里 已经被单独放在一边，两边同乘 即可解出 。 【关键】由 得 。对应点为 ，实部负、虚部正，位于第二象限。故选 B。 【易错】一是 展开成 后，忘了 。二是把点写成 ，实部与虚部的位置颠倒。三是第二象限的要求是「负、正」，与第三象限混。 【答案】B 变式9-1（单选·★☆☆☆☆） 若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数 = （ ） A. B. C. D. 2 【切入点】先做乘法得到标准形，再由「在 轴上」等价于实部为零去求参数。 【关键】。该点位于 轴上，故实部为零：，解得 。此时虚部 ，确实落在 轴上（不是原点）。故选 C。 【易错】一是把「点在 轴上」当成虚部为零（那是点在 轴上）。二是乘法展开时漏掉 。三是忘了检验虚部是否为零 ——若虚部也为零，点就在原点，不在 轴上（本题恰好不为零）。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $