小升初奥数冲刺 第4讲 立体几何初步（讲义）2026-2027学年六年级上册数学人教版

小升初奥数冲刺专题 ★ 第4讲 · 立体几何初步 小升初奥数冲刺专题讲义★★★★★ 第4讲 立体几何初步 讲次 第4讲 专题 立体几何初步 适用年级 小学六年级 建议课时 2课时（90分钟） 难度星级 ★★★★☆ 后续衔接 初中 · 几何体的表面积与体积 核心考点 长方体与正方体 / 圆柱与圆锥 / 表面积与体积 / 展开图 / 等积变形 / 排水法 【学习目标】 1. 熟练掌握长方体、正方体的棱长和、表面积与体积公式，能根据条件灵活求值； 2. 掌握圆柱的侧面积、表面积与体积公式，理解侧面展开图与圆柱各要素的对应关系； 3. 掌握圆锥的体积公式，理解等底等高圆柱与圆锥的体积关系； 4. 学会用展开图、切拼法、等积变形、排水法解决立体图形的变化问题； 5. 能由三视图（俯视图标数法）想象立体图形，计算组合体的体积与表面积； 6. 综合运用立体几何知识解决小升初高频考点题型，培养空间观念和转化思想。 【前言】 立体几何是小升初奥数的重要板块，也是初中几何的起点。从长方体、正方体的棱与面，到圆柱、圆锥的展开与旋转，立体几何题目考查的不只是公式记忆，更是空间想象和转化能力。 本讲将小学阶段最核心的六大立体几何武器集中起来：棱长与表面积、体积与容积、圆柱与圆锥、展开图、等积变形、排水法，通过 9 道原创例题和 15 道分层习题，带你攻克立体几何的每一个高频考点。 一、知识导航 · 六大立体几何武器 图1 立体几何六大模块 · 知识地图（先读图，再读题） 考点速查表 考点 核心公式/方法 关键技巧 常见题型 棱长与表面积 长方体 L=4(a+b+h)，S=2(ab+ah+bh) 正方体 L=12a，S=6a² 单位统一，分清棱与面 直接求值 体积与容积 V=abh；V=a³ 容积从内部量，注意单位换算 求体积/容积 圆柱与圆锥 S侧=2πrh；V柱=πr²h V锥=πr²h π取3.14，半径≠直径 侧面积/表面积/体积 展开图 141、231、222、33 四种基本型 排除一字、T形、2×3矩形 判断/找相对面 等积变形 V前=V后（熔铸、倒水、铺路） 抓住不变的体积 求高/厚/长 排水法 V物 = S容器 × Δh 物体完全浸没才成立 水面上升/溢出 二、核心方法精讲 · 例题与变式 【例1】 长方体棱长与表面积——按比分配 题目：一个长方体的棱长总和是 96 厘米，长、宽、高的比是 3 : 2 : 1。求这个长方体的表面积。 【分析】 棱长总和等于 4 条长、4 条宽、4 条高之和，先用棱长总和除以 4 得到一组长、宽、高的和，再按比分配求出长、宽、高，最后代入表面积公式。 【解答】 第一步：一组长、宽、高之和 （厘米）。 第二步：按比分配，总份数为 3+2+1=6，每份为 24÷6=4（厘米）。 第三步：长 = 3×4=12，宽 = 2×4=8，高 = 4（厘米）。 第四步：表面积 （平方厘米）。 答：这个长方体的表面积是 352 平方厘米。 【方法点睛】 棱长和公式中长、宽、高各出现 4 次；按比分配的关键是先求出一份量，再分别求出长、宽、高。 【变式1-1】 题目：一个长方体的棱长总和是 120 厘米，长、宽、高的比是 5 : 3 : 2。求这个长方体的表面积。 【解答】 一组长、宽、高之和：120÷4=30（厘米）； 每份：30÷(5+3+2)=3，长=15，宽=9，高=6。 表面积 （平方厘米）。 答：表面积是 558 平方厘米。 【例2】 正方体的展开图——四种基本型 题目：如图2，下面四个图形中，能折成正方体的是（　　）。 图2 正方体展开图的四种选择 【分析】 正方体的展开图共有 11 种，可归纳为 141、231、222、33 四种基本型。A 是标准的 141 型（中间四个面，上下各一面），可以折成正方体；B 形如“一字长蛇加偏移”，C 是 T 形，D 是 2×3 矩形，都是常见错误图形。 【解答】 选 A。 【方法点睛】 判断展开图：先看是否满足“六个面、七条缝”的结构，再对照四种基本型；典型错误图形有一字排开、T 形、2×3 矩形、田字形等。 【变式2-1】 题目：一个正方体的展开图是 141 型，六个面分别标有 1、2、3、4、5、6 号。其中 1 号与 6 号相对，2 号与 4 号相对，那么 3 号面的对面是几号？ 【解答】 正方体展开图中，中间四个面间隔一个的为相对面，两端两个面分别与中间第二个、第三个面相对。 六个面两两相对，已确定 1-6、2-4，剩下 3 与 5 相对。 答：3 号面的对面是 5 号。 【例3】 挖去通孔——表面积的变化 题目：如图3，在一个棱长 6 厘米的正方体木块中央，从上到下挖去一个底面是边长 2 厘米的正方形的通孔（贯穿整个木块）。求剩下部分的表面积。 图3 正方体木块挖去通孔示意 【分析】 挖去通孔后，外表面积减少上下两个 2×2 的口，同时新增孔内壁 4 个 2×6 的面。用“原表面积 − 口的面积 + 内壁面积”计算。 【解答】 第一步：原表面积 （平方厘米）。 第二步：上下两个口共减少 2×2×2=8（平方厘米）。 第三步：新增内壁 4×(2×6)=48（平方厘米）。 第四步：剩余表面积 （平方厘米）。 答：剩下部分的表面积是 256 平方厘米。 【方法点睛】 挖穿类问题抓住“减口、增壁”：外表少 2 个口，内壁多 4 个侧面。若不贯穿（只挖不穿），则只增加内壁、减少 1 个口。 【变式3-1】 题目：在一个棱长 5 厘米的正方体木块中央，挖去一个底面边长 1 厘米、贯穿上下的正方形通孔。求剩下部分的表面积。 【解答】 原表面积 ；口减少 1×1×2=2；内壁增加 4×(1×5)=20。 剩余表面积 （平方厘米）。 答：剩下部分的表面积是 168 平方厘米。 【例4】 圆柱的侧面积与表面积——展开图法 题目：如图4，一个圆柱的底面半径是 3 厘米，高是 5 厘米。求它的侧面积和表面积。（π 取 3.14） 图4 圆柱及其侧面展开图 【分析】 圆柱的侧面展开是一个长方形：长等于底面周长 2πr，宽等于圆柱的高 h。侧面积加上两个底面积就是表面积。 【解答】 第一步：侧面积 （平方厘米）。 第二步：底面积 （平方厘米）。 第三步：表面积 （平方厘米）。 答：侧面积是 94.2 平方厘米，表面积是 150.72 平方厘米。 【方法点睛】 侧面展开的长方形“长 = 底面周长，宽 = 高”；公式 πr² 中的 r 是半径，代入时千万别把直径当半径。 【变式4-1】 题目：一个圆柱的底面直径是 8 厘米，高是 10 厘米。求它的表面积。（π 取 3.14） 【解答】 半径 r=4；侧面积 ；底面积 。 表面积 （平方厘米）。 答：表面积是 351.68 平方厘米。 【例5】 等底等高的圆柱与圆锥——倍数关系 题目：一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 48 立方厘米。圆柱和圆锥的体积各是多少？ 【分析】 等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的 。把圆柱体积看作 3 份，圆锥体积就是 1 份，体积和共 4 份。 【解答】 第一步：，体积和共 3+1=4 份。 第二步：圆锥体积 = 48÷4=12（立方厘米）。 第三步：圆柱体积 = 12×3=36（立方厘米）。 答：圆柱体积是 36 立方厘米，圆锥体积是 12 立方厘米。 【方法点睛】 等底等高圆锥体积 = 圆柱体积。见到“和”就按 4 份分，见到“差”就按 2 份分，比硬记公式更快。 【变式5-1】 题目：一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是 18 立方厘米。求圆柱的体积。 【解答】 体积差对应 3−1=2 份，每份 = 18÷2=9（立方厘米）； 圆柱体积 = 9×3=27（立方厘米）。 答：圆柱体积是 27 立方厘米。 【例6】 排水法——浸没问题 题目：如图5，一个长方体容器，从里面量长 20 厘米、宽 10 厘米、高 15 厘米，水深 8 厘米。把一个棱长 10 厘米的正方体铁块完全浸入水中（水未溢出），水面上升多少厘米？这时水深多少厘米？ 图5 排水法：铁块浸入容器示意 【分析】 铁块完全浸没后排开水的体积等于铁块体积。水面上升的高度 = 铁块体积 ÷ 容器底面积。算出水深后还要与容器高比较，确认没有溢出。 【解答】 第一步：铁块体积 （立方厘米）。 第二步：容器底面积 20×10=200（平方厘米）。 第三步：水面上升 （厘米）。 第四步：此时水深 8+5=13（厘米），小于容器高 15 厘米，未溢出。 答：水面上升 5 厘米，这时水深 13 厘米。 【方法点睛】 排水法核心公式：物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度。注意“完全浸没”是前提，算出水深后必须验算是否溢出。 【变式6-1】 题目：一个长方体容器，从里面量长 30 厘米、宽 15 厘米、高 20 厘米，水深 12 厘米。把一个底面积 60 平方厘米、高 9 厘米的圆柱铁块完全浸入水中（水未溢出），水面上升多少厘米？ 【解答】 铁块体积 （立方厘米）；容器底面积 = 30×15=450（平方厘米）。 水面上升 （厘米）。 答：水面上升 1.2 厘米。 【例7】 切割圆柱——表面积增加量 题目：把一根长 2 米的圆柱形木料锯成 3 段，表面积比原来增加 125.6 平方厘米。这根木料的底面积是多少？体积是多少？ 【分析】 每锯一次，圆柱增加 2 个底面。锯成 3 段要锯 2 刀，共增加 4 个底面。先由增加的面积求出底面积，再用“底面积 × 长”求体积，注意统一单位。 【解答】 第一步：锯 2 刀，增加 4 个底面，底面积 = 125.6÷4=31.4（平方厘米）。 第二步：2 米 = 200 厘米。 第三步：体积 （立方厘米）。 答：底面积是 31.4 平方厘米，体积是 6280 立方厘米。 【方法点睛】 切 n 刀增加 2n 个截面（底面），段数 = 刀数 + 1。求体积前务必把米、分米、厘米统一。 【变式7-1】 题目：把一根长 150 厘米的圆柱形木料锯成 4 段，表面积增加 150.72 平方厘米。求这根木料的体积。 【解答】 锯 3 刀，增加 6 个底面：底面积 = 150.72÷6=25.12（平方厘米）。 体积 （立方厘米）。 答：体积是 3768 立方厘米。 【例8】 染色问题——切成小正方体 题目：如图6，把一个棱长 5 厘米的正方体表面涂上红色，再切成棱长 1 厘米的小正方体。三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体各有多少个？ 图6 正方体涂色后切成小正方体 【分析】 按位置分类计数：顶点处的小正方体 3 面涂色，棱上（不含顶点）的 2 面涂色，面上的 1 面涂色，内部的没有涂色。棱长 5 切 1，棱上每段有 5−2=3 个。 【解答】 三面涂色（8 个顶点）：8 个。 两面涂色（12 条棱上）： 个。 一面涂色（6 个面上）： 个。 没有涂色（内部）： 个。 检验：，与总数一致。 答：三面涂色 8 个、两面涂色 36 个、一面涂色 54 个、没有涂色 27 个。 【方法点睛】 棱长 n 的正方体切棱长 1 的小正方体：三面 8 个，两面 12(n−2)，一面 6(n−2)²，无色 (n−2)³。最后用总和 = n³ 检验。 【变式8-1】 题目：把一个棱长 4 厘米的正方体表面涂上蓝色，再切成棱长 1 厘米的小正方体。没有涂色的小正方体有多少个？ 【解答】 没有涂色的在内部：n−2=2，（个）。 答：没有涂色的小正方体有 8 个。 【例9】 俯视图标数法——组合体体积与表面积 题目：如图7，小明用棱长 1 厘米的小正方体搭了一个立体图形，从上面看到的形状如图7 所示（方格中的数字表示该位置小正方体的个数）。这个立体图形的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？ 图7 从上面看：数字表示该位置小正方体个数 【分析】 俯视图标数法中，所有数字之和就是小正方体总数，也就是体积；表面积按六个方向看：前后看每列的最大值，左右看每行的最大值，上下看都是俯视图的格数。 【解答】 第一步：体积 （立方厘米）。 第二步：前、后各看 3 列，每列最高分别是 3、2、2，前后共 (3+2+2)×2=14。 第三步：左、右各看 2 行，每行最高分别是 3、2，左右共 (3+2)×2=10。 第四步：上、下各 6 个面，共 6×2=12。 第五步：表面积 （平方厘米）。 答：体积是 10 立方厘米，表面积是 36 平方厘米。 【方法点睛】 标数法两步走：数之和求体积；六向视图求表面积——前/后看列最大、左/右看行最大、上/下看格数。 【变式9-1】 题目：用棱长 1 厘米的小正方体搭一个立体图形，从上面看如图所示：第一行三个方格中数字为 1、2、1，第二行三个方格中数字为 2、1、2。求这个立体图形的体积和表面积。 【解答】 体积 （立方厘米）。 前后看每列最大分别为 2、2、2，列最大和 = 2+2+2=6，前后共 6×2=12。 左右看每行最大分别为 2、2，左右共 (2+2)×2=8；上下各 6 个面，共 12。 表面积 （平方厘米）。 答：体积是 9 立方厘米，表面积是 32 平方厘米。 三、直观理解 · 公式速查与两大原理 图8 立体图形公式速查表（π 取 3.14） 原理一：等积变形 熔铸、倒水、铺路时，物体的形状变了，但体积不变。把一种形状的体积算出来，再除以新形状的底面积（或横截面），就得到新形状的高（或长度）。 原理二：排水法 把物体完全浸入水中，水面上升部分的水的体积恰好等于物体的体积：V物 = S容器底 × Δh。若物体浮在水面（不完全浸没），则排开水的体积等于物体浸入水中的那部分体积。 四、方法总结 · 立体几何六大方法 方法 适用场景 核心步骤 注意事项 公式法 规则图形直接求表面积/体积 代入公式计算 单位统一，分清半径/直径 展开图法 折叠、相对面判断 对照四种基本型 排除一字、T形等错误 切拼法 切割、拼接后求表面积 切 n 刀增 2n 个截面 段数=刀数+1 等积变形 熔铸、倒水、铺路 形状变体积不变 找对不变的体积 排水法 物体浸没水中 V物=S容器×Δh 验算是否溢出 标数法 三视图、搭积木 俯视图标层数 六向看视图求表面积 五、口诀记忆 · 六句箴言 1. 棱长总和要看清，长宽高各乘四份； 2. 表面积算六个面，对面相等别漏面； 3. 体积就是占空间，长乘宽乘高即现； 4. 圆柱侧面展开看，长是周长宽是高等； 5. 圆锥体积记心间，等底等高除三遍； 6. 排水问题找体积，上升高度乘底面积。 六、易错警示 · 五道雷区 雷区一：棱长总和记成“长+宽+高”，忘记乘 4。 正确：棱长总和 = 4(a+b+h)。 雷区二：求圆柱表面积只算侧面积，漏掉两个底面。 正确：S表 = S侧 + 2S底。 雷区三：把直径当半径代入 πr²。 正确：半径 = 直径 ÷ 2。 雷区四：求圆锥体积忘记乘 。 正确：V锥 = πr²h。 雷区五：挖孔、切割后只减面积不加内壁。 正确：挖穿减 2 个口、加 4 个内壁。 七、分层训练 · 15 关闯关 A 组 · 基础过关（每题 10 分） A1．一个长方体的长是 8 厘米、宽是 6 厘米、高是 4 厘米，求它的棱长总和和表面积。 A2．一个正方体的棱长是 5 厘米，求它的表面积和体积。 A3．一个圆柱的底面半径是 3 厘米、高是 10 厘米，求它的体积。（π 取 3.14） A4．一个圆锥的底面直径是 8 厘米、高是 9 厘米，求它的体积。（π 取 3.14） A5．一个长方体的体积是 240 立方厘米，底面积是 48 平方厘米，求它的高。 B 组 · 能力进阶（每题 15 分） B1．一个正方体的棱长扩大 2 倍，它的表面积扩大多少倍？体积扩大多少倍？ B2．把一个长 8 厘米、宽 4 厘米、高 4 厘米的长方体切成两个完全一样的正方体，表面积增加了多少平方厘米？ B3．一个圆柱的侧面展开是一个边长 12.56 厘米的正方形，求这个圆柱的底面半径和底面积。（π 取 3.14） B4．一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆锥的体积是 18.84 立方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？ B5．把一个棱长 10 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面是正方形（边长 5 厘米）的长方体，长方体的高是多少厘米？ C 组 · 挑战极限（每题 20 分） C1．把一个棱长 4 厘米的正方体表面涂上红色，再切成棱长 1 厘米的小正方体。三面、两面、一面、没有涂色的各有多少个？ C2．一个长方体容器，从里面量长 20 厘米、宽 20 厘米、高 15 厘米，水深 8 厘米。放入一个棱长 10 厘米的正方体铁块（完全浸没，水未溢出），水面上升多少厘米？这时水深多少厘米？ C3．一个圆柱沿底面直径竖直切成两半，表面积增加 120 平方厘米。已知圆柱的高是 6 厘米，求圆柱的底面积。（π 取 3.14） C4．一个圆锥形沙堆，底面周长是 25.12 米，高是 1.8 米。把这堆沙铺在宽 4 米、厚 3 厘米的路面上，能铺多长？（π 取 3.14） C5．用棱长 1 厘米的小正方体搭一个立体图形，从上面看是 3 行 2 列，方格中的数字依次为：第一行 1、2，第二行 2、1，第三行 1、2。求这个立体图形的体积和表面积。 八、详细解析 · 参考答案 A 组解析 A1：棱长总和 = 4(8+6+4)=72（厘米）；表面积 （平方厘米）。 A2：表面积 （平方厘米）；体积 （立方厘米）。 A3：体积 （立方厘米）。 A4：半径 r=8÷2=4；体积 （立方厘米）。 A5：高 （厘米）。 B 组解析 B1：棱长扩大 2 倍，表面积扩大到 倍，体积扩大到 倍。 B2：切成两个棱长 4 厘米的正方体，多出 2 个 4×4 的面：增加 2×4×4=32（平方厘米）。 B3：底面周长 = 12.56 厘米，（厘米）；底面积 （平方厘米）。 B4：等底等高圆柱体积是圆锥的 3 倍：（立方厘米）。 B5：铁块体积 （立方厘米）；长方体底面积 = 5×5=25（平方厘米）；高 = 1000÷25=40（厘米）。 C 组解析 C1：三面（顶点）8 个；两面（棱上） 个；一面（面上） 个；没有涂色 个。检验 。 C2：铁块体积 ；容器底面积 20×20=400；上升 （厘米）；水深 8+2.5=10.5（厘米），小于容器高 15，未溢出。 C3：纵切增加 2 个“直径 × 高”的长方形：；底面积 （平方厘米）。 C4：底面半径 （米）；沙堆体积 （立方米）；路面横截面 4×0.03=0.12（平方米）；能铺 30.144÷0.12=251.2（米）。 C5：体积 （立方厘米）。前后看每列最大 2、2，前后共 4×2=8；左右看每行最大 2、2、2，左右共 6×2=12；上下各 6，共 12；表面积 （平方厘米）。 九、本讲小结 1. 长方体、正方体：棱长和与表面积公式要记牢，按比分配先求一份量； 2. 圆柱：侧面展开“长 = 底面周长、宽 = 高”，S表 = S侧 + 2S底； 3. 圆锥：V锥 = 等底等高圆柱的体积； 4. 展开图：记住 141、231、222、33 四种基本型，排除典型错误； 5. 等积变形与排水法：抓住“体积不变”与“V物 = S容 × Δh”两大工具； 6. 组合体问题：切拼数截面、挖孔算增减、标数看六向。 十、学习建议 1. 先默写公式速查表（图8），确保四个图形的棱长和、表面积、体积公式零失误； 2. 遇到组合体，先在草稿纸上画出“拆解图”：切了几刀、挖了几个口、多几个面； 3. 排水法、等积变形题，先写“等量关系式”再代入计算，不要跳步； 4. 完成后用“检验法”自查：染色题总数 = n³，组合体体积 = 各块之和； 5. 建议限时 60 分钟完成全部 15 关，对照解析逐题订正并总结错因。 下讲预告 · 行程问题综合 下一讲将走进小升初最经典的应用题板块——行程问题。相遇与追及、环形跑道、流水行船、火车过桥，四种模型一把抓，还有比例法解行程的提速技巧，敬请期待！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $