辽宁沈阳市第二中学2026-2027学年高二上学期10月阶段能力测试数学试题

2026-2027学年上学期阶段能力测试 高二（28届）数学试题答案 1、 单项选择题： 1. A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.C 7.C 8.B 2、 多项选择题： 9. A C 10.A B 11.B C 3、 填空题： 12. 13.   14. 4、 解答题： 15.解：设点的坐标为则中点的坐标为， 依题意可知，点在直线上，点在中线上则有 解得，， 即点的坐标为． 设点关于直线的对称点为，则在直线上设点的坐标为， 则点的中点坐标为则有解得，， 即点的坐标为． 直线的斜率为，所以直线的直线方程为化简得：， 即直线的方程为．  16.解：由题可得圆心在的垂直平分线上，，，在轴上，设，，，即，解得，，圆的半径为，圆的方程为． 当直线的斜率存在时，设，即，由弦长为和半径为可得，圆心到直线的距离，即，即，解得，，即； 当直线的斜率不存在时，其方程为， 联立解得或此时弦长为，符合题意． 综上所述，的方程为或． 17. 解：证明：因为和都是直角梯形，，， ， 所以，，二面角的平面角为 因为，所以平面， 因为平面，则， 又，，， 则是等边三角形， 因为为中点，所以， 又因为，， 所以平面， 故F． 解：由于平面，建系如图， 所以，，，，，则， ，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以，，， 设与平面所成角为， 则．  18.解：（1）取平面内的任意两点，， 则两式相减得，， 即，所以，从而， 故是平面的法向量. （2）记平面，的法向量为，， 设直线l的方向向量， 因为直线l为平面和平面的交线，所以，， 即，取，则， 所以直线l的单位方向向量为. （3）设， 由平面经过点，，， 所以，解得，即， 所以记平面、、的法向量为，，， 与（2）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得. 19：解：，， 所以，． 设，， 则 ， 当时，等号成立， 所以的最小值为． ，， 故，- ， 令，则， 问题转化为求半圆与直线有公共点时的取值范围． 由半圆方程得， 故半圆所在圆的圆心坐标为，半径为． 如图，当直线过点时， 当直线与半圆相切时， 由圆心到直线的距离等于圆的半径， 得，解得， 结合图知，． 故半圆与直线有公共点时，， 于是，， 所以，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年上学期阶段能力测试 高二（28届)数学试题 命题人：高二数学组 审校人：高二数学组 说明：1.测试时间：120分钟总分：150分 2,客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷(73分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的. 1.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是() A.(2,-3) B.(2,3) C.(-3,2) D.3,2) 2.两条平行线l1:3x+4y-2=0,2:9x+12y-10=0间的距离等于() A号 BB c吉 n号 3.已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为() A IWEx B.14 3 C Nin 4.过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到直线的距离相等，则这条直线 的方程是() A.3x+2y-7=0 B.+2y-5=0 C.3+2y-7=0或4+y-6=0 D.3H2y-7=0或+2y-5=0 5.已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则点C到直线AB的距离为() A.v 3 B.va 2 a D 6.已知AB是圆k(x-2)+y=1上不同的两个动点，AB=√2,0为坐标原点，则|OA+0丽引 的取值范围是() A.[2-2,4W2] B.[3-V2,4W2] c.[4-√2,4W2] D.[2-√2,2N2] 7.正四面体Q-ABC中，QA=a,点M满足QM=xQA+yQB+(2-x-y)QC,则AM长度 的最小值为() A aa B a C.6 3 a D.6a 8.某工厂生产的一种零件是由一个圆柱00'和一个正三棱锥P一ABC穿插而成的对称组合 体，如图所示棱PB和平面PAC都与圆柱侧面相切，G是棱PB与圆柱侧面的切点.O0'/平面 ABC.已知PA=V6,AB=2V3,圆柱00′的底面圆半径为N3-5,则PG.BC=()） A3y2-3 2 B.3-3W2 c9-3N5 D.3V2-3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求， 9.已知直线4：x+④-a=0和直线：ar-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是() A.,始终过定点 B.若1/1l2,则a=-3或1 c.若41h,则a=0或2 D.当a<0时，始终不过第三象限 10.已知圆M:(x+1)2+y2=2,(M为圆心)，动点P(t,t-3),直线PA,PB分别与圆M 切于点A,B.则下列说法正确的是() A.四边形PAMB的面积最小值为2√3 B.IPA川最短时，弦AB长为√6 C.IPA最短时，弦AB直线方程为x-y-1=0 D.直钱AB过定点为(-克，-) 11.下列说法正确的是（) A.过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0 B.过点(-1,2)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0 C.过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是x+ y+2=0 D.己知圆C1:(x-22+y2=4,C2:(x-2-5cos02+y-5sin02=1(0∈R),过圆C2上一 点P作圆C1的两条切线，切点分别是E、F,则PE·PF的最小值是5. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量在基底石，b,下的坐标为(2,3,4)，则在基底石+万，万+c,⊙下的坐标 为 13.已知A(W3,0),B(0,-1),直线：2ax-2y-V3a-3=0上存在点P,满足|PA1+|PB= 2,则的倾斜角的取值范围是 14.已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为4，M,N分别是AD,CC1的中点，P是线段AB上 的动点，PM什NP的最小值是 第Ⅱ卷(77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为(-4,2)，∠ACB的角平分线所在的直线 方程为x-y+1=0,AC边上中线BM所在的直线方程为2x+y-2=0. (1)求点C的坐标： (2)求直线BC的方程. 16.(本题满分15分) 已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为圆H. (1)求圆H的方程： (2)若直线过点C,且被圆H截得的弦长为2，求直线的方程. 17.(本题满分15分) 如图，己知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB/DC,DC/EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD= ∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°，设M,N分别为AE,BC的中点. ()证明：FN⊥AD; I)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. B 18.(本题满分17分) 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量i=(@,b,c),点(，，).若直线1以元为方向向量 且经过点乃，则直线1的标准式方程可表示为-=y-h=-五(bc≠0)：若平面a以 a b n为法向量且经过点，则平面a的点法式方程可表示为a(x-x)+b(y-y)+c(z-)=0, 一般式方程可表示为ax+y+cz+d=0. (1)证明：向量i=(a,b,c)是平面a:ax+by+cz+d=0的法向量： (2)若平面%：x+2y-1=0,平面B:2y-z+1=0,直线1为平面%和平面月的交线，求直 线1的单位方向向量（写出一个即可）： (3)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为02、B2、Y,其中平面%经过点(4,0,0)，(3,1，-1)， (-1,5,2),平面B2:y+z=4,平面y:x+(m+1)y+(m+2)z+3=0,求实数m的值 19.(本题满分17分) 设Ac1y1),B(x2,y2),定义曼哈顿距离M(A,B)=|x1-x2l+ly1-y2;余弦距离e(A,B)= 1-cos(A,B),其中cos(A,B)=cos(OA,OB(O为坐标原点).余弦距离亦可由二维平面推广 至三维空间. 据此，解决下面的问题： (1)若空间中两点A(-1,0,1),B(3,4,5),求A,B之间的余弦距离e(A,B): (2)若动点P在直线y=x+3上，动点Q在圆x2+y2=4上，求M(P,Q)的最小值； (3)若C(W-x2+2x+8,x-1),D(-1,V3),求e(C,D)的取值范围