重庆市育才中学校2026-2027学年高二上学期10月联合诊断性考试数学试题

高2028届高二（上)10月联合诊断性考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的。 题号 2 6 7 8 答案 B A B D C D 1.【详解】斜率 则倾斜角为30°.故选A. 3 2. 【详解】x=2, =+4+4=3.故选B. 3.【详解】由题知mm-1)=2,解得m=-1或2，当m=2时两直线重合.故选A. 4.【详解】AB中垂线方程为y=-(x--】-x+2,两直线交点为圆心C~13),半径为AC=7.故选B. 22 5.【详解】设F所=0E-0F=4-点+0.故选D, 6.【详解】点M关于直线的对称点为M(2,4),点R,N,M1,共线时，RM+RW取到最小值MN=3.故选C. 【详解】由意得C=(L0,网-d5,则5c号5巨方-：义因为面AC的法向导为 AD.n n=(0,0,),点D到平面ABC的距离为d =2·故选A. 8.【详解】由于1=+3y-_3x+y- 可理解为点A(1,3)和点B(3,1)到直线：x+y-1=0的距离均为t, vxty Vx2+y2 且这样的直线I有两条且不过原点.根据距离相等分为两类：1过AB中点或1∥AB.当I过AB中点(2,2)时， t∈0，√2]：当l/AB时，t∈0，+∞).综合两类考虑，t=0时有1条直线l符合题意；t∈(0，√2)时，共有2+2=4 条直线l:t=√2且过AB中点时，该直线I过原点，不符合题设，舍去，t=√2且平行AB时有2条直线l 符合；t∈(N2,+o)时，共有2条，但当t=2√2时，其中一条直线I过原点，不符合题设，舍去.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC AC ABD 9.【详解】对于A,直线y=2x-3在y轴上的截距是-3，故A正确； 对于B,直线的方向向量为L,k),故B正确： 数学试题参考答案第1页，共8页 对于C,假设存在实数，4，v使a+(a+b)+2yc=0,因为{a,b,c}是空间的一个基底，则有2=u=v=0, 即{a,a+b,2c}也是空间的一个基底，故C正确： 对于D,因为·n=0,所以i⊥n,则lca或lIla,故D错误.故选ABC, 10.【详解】对于A,直线1：k(x-1)+y=0,令x-1=0,得x=1,y=0直线1恒过定点P1,0),故A正确： 对于B,圆心为AB的中点，其坐标为0,3，半径为r=4=而，所以圆标准方程为2+0-3=10， 2 故B错误； 对于C,点A到直线1距离最大值为AP上4V2,故C正确； 对于D,因为kPA=-1,kPB=1,所以要使直线I与线段AB有公共点，则-k∈(-o,-U[,+o),即k的取值 范围为(-m,-1U[L,+0),故D错误.故选AC, 11.【详解】对于A,动点P在线段AD上，B,C∥AD,B,CC面BCC,ADa面B,CC,则AD∥面B,CC ∴.点P到面B,CC的距离为定值，则三棱锥P-B,C,C体积为定值，故A正确： 对于B,:CCD,D为正方形，CD⊥CD,又BC⊥面CDDC,.BC⊥CD,CD⊥面BCDA. 又动点P在正方体ABCD-AB,CD,表面上运动，且AR⊥CD. 动点P所围成的图形是矩形BCD,A,则面积为1x√2=√2，故B正确. 对于C,以正方体的顶点A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x,y，z轴，建立空间直角坐标系， CP=号CC+Cn:P又A0=(山-，划0的竿位方向向量为及=（方方方， 111 3 月，d=m-Pm网=后.放C错误 PD=( 3 对于D,若P是线段8C中点，则P0》,而正方体的外接球直径2R=5易知球心的坐标为兮号宁， ∴0p2=1 ·过球内一点P作截面，当截面垂直于直线OP时，截面圆的面积最小， 设最小截面圆的半径为r,则有r2=R2-OP-31=1。 a=亏，则截面面积的最小值S=2=亏，故D正确. 故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 5 10 0号 32: 1 数学试题参考答案第2页，共8页 12.【详解)因为1：x-2y+3=0等价于4：2x-4y+6=0,所以d=6--5 V22+4210 13.【详解】利用空间向量的线性运算可知BD=AD-AB=A4+AD-AB,所以BD=(A4+AD-AB), 即BD=AA+AD+AB+2AA·AD-2AA·AB-2AD.AB BD-A4+AD°+AB+2A4 AD cos∠AAD-2 AA ABc0s∠AAB-2AD.AB 由于AB=2,AD=1,A4=2,BD=√7，∠AAB=∠AAD=60°， 所以，7=4+1+4+2x2x1分2x2x2×号2ADa6, 所以AD.AB=0,故AD⊥AB,即AD⊥AB, 故平行四边形ABCD为矩形，∠ABC=90°. 14.【详解】设点P(x,y),由题得d(O,P)=x|+|y上4，当x≥0，y≥0时，x+y-4=0,当x≥0，y<0时， x-y-4=0,当x<0,y≥0时，x-y+4=0,当x<0,y<0时，x+y+4=0, 所以点P所围成图形为正方形，面积为4V2×4√2=32；D(A,P)表示A(2,1)与P(x,y)两点横纵坐标差绝对 值的最大，即D(A,P)=max{2-,1-巾，要使得D(A,P)最小，只需要点到直线的距离最小，显然， A2D到x+)y-4=0的距离最小，且值为2+14_2 √22 故DAP=巨x巨1 2x22 四、解答题：本题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【详解】解：(1)证明：取棱AC的中点为G,连接EG,CG,如图所示. 因为点E为AB的中点，所以EGWB,C,且EG=BC.…3分 又F为BC的中点，所以EGI/CF,且EG=CF,所以四边形EGCF为平行四边形，所以EFI/CG. 又EF丈平面AACC,CGc平面AACC,所以EF∥平面AACC,…6分 (2)如图，由题意，以C为原点，CB,CA,CC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 不妨设CA=2,则A(0,2,0),B1(2,0,2),F(1,0,0),E(1,1,2), 所以AF=1,-2,0),AE=(1,-1,2). mAF=0 设平面AEF的法向量为=(x,y,),则 m.AE=0' 数学试题参考答案第3页，共8页 「x-2y=0 则 X2,则i=21方 又BB⊥平面ABC,则BB=(0,0,2)是平面ABC的一个法向量，…11分 m:BB 21 所以cos(m,BB1〉 2x v2i 21 2 设平面AEF与平面ABC的夹角为0，则0s8= 27 …13分 16,【详解】解：(1)在△ABC中，a=bcosC+ -csin B, 3 根据正弦定理有sinA=sin BcosC+5、 -sin Csin B............. …2分 又sA-81C=m8 C C,所以有in=5nCS如8.…5分 由题意得B,C∈(0，π)，sinC≠0，所以tanB=√5，所以B= 3 …7分 (2)由cosA= 27 可得sinA= 2-V21 …9分 7 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= V211,2W7√5321 7272-14 …11分 则a=csinA 3x27 =2，………13分 sinC 3V21 14 故△Mac的面积S=uesin B-×2x3×-3y5 …15分 21 22 17.【详解】(1)证明：如图所示，作AC中点O,连接OB,OH. △ABC中，AB1B,C,AB=√2，AC,=2,由勾股定理得BC=AB=√2， .△AB,C,是等腰直角三角形.又H为AC中点，∴AC⊥B,H. 在三棱台中，O为AC中点，.OB⊥AC.又平面ACCA⊥平面ABC, 平面ACC,A∩平面ABC=AC,OBC平面ABC, 0 ∴.OB⊥平面ACCA,OHC平面ACCA,∴.OB⊥OH. 同理，等腰梯形ACCA中，OH⊥AC,且OH A4PAC-AC2=.…4s分 2 数学试题参考答案第4页，共8页 故以O为坐标原点，OB,OC,OH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2,0,0),B(1,0,1),H(0,0,1),C0,2,0), 所以BB=(-1,0,1),HC=(0,2,-1), …5分 BB.HC 所以os(BB.,Hc 110 B,B.HC V2.510,所以异面直线BB与HC所成角的余弦值为 …7分 10 (2)由(1)知A(0-2,0),AB=(2,2,0),B,C=(-1,2,-1) …8分 n·BB=0 设平面AABB,的法向量为n=(x,y,z),则 n.AB=0' -x+2=0 则 2y=02取术=1，则n=.-1），……………………10 BM=BB+BM=BB,+B,C=（←1,0,1)+1(-1,2，-1)=(-1-2元，1-2)，…12分 cos(BM)= n·BM 4元 …13分 |n-BM5.V62+2 3 解得2=或-舍)，即5以={ …15分 3 BC 3 18.【详解】解：(1)对直线AC:k,c0-(22 3-0_3 …1分 y-3=号x-0)→3x-2y+6=0 …2分 对的线C:8-月 …3分 2-0)→x+2y-6=0. …4分 (2)依题知直线EF斜率必存在，设直线EF斜率为k,则直线EF方程：y=x+2,k∈[-…5分 kx-y+2=0 2 联立3-2y+6=092水-3 …6分 联立-y+2=0.2 x+2y-6=09x,F2k+ …7分 i以3m专水k-2321a-2西 4 苏：+切信次生二24，当R版号2头19-2切-*号度，时数 数学试题参考答案第5页，共8页 符合题意，所以△CEF面积的最小值为1. 法=：记f=2k+小(6-2)=-4+4+3，f在写单调道滑、在兮单调递减，所以f在 k=)时取得最大值且fG)=4,所以△CEF面积的最小值为1. …10分 (3)直角梯形OBDP的顶点为O(0,0),B(6,0),D(2,2),P0,2), 上底DP=2,下底OB=6,高为2，梯形OBDP的面积S=2+6x2 8,…11分 2 设动点M(c,2)0<c≤2)，N(d,0)0≤d≤6)， 因为直线MN平分直角梯形OBDP的面积，所以梯形ONMP的面积为4， Sap=)C+d0X2=c叶d=4,即d三4=C 因此点N的坐标为(4-c,O),直线MN经过点M(c,2)和N(4-c,0), 当c=4-c即c=2时，直线MN方程为x=2,此时MN平分直角梯形OBDP的面积. 当c≠2时，直线MN斜率k=2-0=1 c-(4-c)c-2' 则直线MN的方程为：y-2=。2K-0小，整理得60-》-x-2y+4=0,…15分 y-1=0 「x=2 上式对任意c∈[0,2]恒成立，因此需满足 -x-2y+4=0’解得 y=1 此时直线MN必过点(2,1)，c=2时也过该点， 所以，直线MN必过定点，该定点坐标为(2,1).…17分 19,【详解】1)证明：因为AB=8,AD=5N5,正-D,A-B, 所以AE=2N3,AF=4, 因为∠BAD=30°，在△AEF中用余弦定理得：EF2=AE2+AF2-2AE·AF.coS∠BAD, 所以EF=2,… …2分 从而有AE2+EF2=AF2,所以AE⊥EF,即EF⊥ED,翻折后有EF⊥PE,…4分 因为PE∩ED=E,PE,EDC平面PED,所以EF⊥平面PED, 因为PDC平面PED,所以EF⊥PD.… …5分 (2)存在A-子使相F,M,N,Q四点共面，理曲如下 法一：如图所示，以E为坐标原点，EF为x轴，ED为y轴，过E作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立 空间直角坐标系，E(0,0,0),F(2,0,0),B(4,23,0),C(3,3v3,0),D(0,3V3,0),P(0,2√3cos0,2V3sim), 数学试题参考答案第6页，共8页 因为PM=P元，m-P而，所以M店，35+25cs05s血，N0.6W5+5cos02 3 -sinθ) 3 所以.Fm=(号35+25cow05m9,m-←265+25co825sm9. 2' 2 3 Fg=FE+E0=3元-2,33元0) …7分 设平面FMN的法向量为n1=(x,1,3), 则 +560, 2 y+3sin =0 -2x+65+2V5cos0+2y5sin6. 3 一y+ 33÷0 令%=5sin6,得n=(3W3sin0,5sim0,-6-5c0s0)…9分 由F0m=0,得(32-2)：3V3sim6+3V32:5sim6=0, 解得：及=子 …10分 法二：设E正=a,ED=b,E乎=c 则-元丽元4ā++D+风)+， =E+国=E+D+写即-a++, F0=F尼+E0=F元+E元=2-la+i 8分 由F,M,N,Q四点共面，设FO=xFM+yFN得： 1 3 1 x-y=。-1 入= 4 4 2x+3y=， 解得x= ,所以2= 1 1 4· …10分 3 2x+3y=0 y= 4 (3)由(2)问法一知，EP=(0,2√3cos0,2W3sin),EB=(4,2√3,0)，EC=(3,3√3,0) 设平面BEP的法向量为n2=(x2,2,2), 则 25cos0-为+25sm0-2=0,令2=-2sm0,得%=(W5sm0.-2s如0.2c0s8)…12分 4x2+2W3y2=0 设平面CEP的法向量为几=(x3,y3,3), 则25cos6.为+25s血0-名=0，令为=-sin0,得%=(W5nA.-5imQ.c0s…14分 3x3+3W3y=0 数学试题参考答案第7页，共8页 设二面角B-EP-C的大小为， 3sin20+2 则C0sx=c0s<n2,3= ,令t=3sim20+2∈[2,5]， 3sin2 0+4.3sin20+1 t 1 得cosa= V2+1-2 。1,1 =,…16分 V2京+1 所以当=时，(eosa四nmn= 2W2 t 4 3 ，此时sim6=±y6 综上，二面角B-EP-C的余弦值的最小值为2 …17分 3 数学试题参考答案第8页，共8页高2028届高二（上)10月联合诊断性考试 数学试题 (本试卷共150分，考试时间120分钟) 命題学校：重庆市有才中学校 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号： 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题： 3,请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效： 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.直线x-√5y+2028=0的倾斜角为 A.30° B.45° C.60 D.90° 2.已知a=(2,-2,3),万=(-1，x,2),且a1,则l= A.9 B.3 C.5 D.5 3.已知直线2x+my+6=0与直线(m-1)x+y+2m-1=0平行，则m= A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2或1 4.已知圆C经过点A(-1,4),B(6,3),且圆心在直线x-y+4=0上，则圆C的标准方程为 A.(x-3)2+0+1)2=49 B.(x+1)2+0y-3)2=49 C.(x-3)2+y+1)2=7 D.(x+1)2+0y-3)2=7 5.在四面体0MC中，B是0M中点，示=号C丽，若O1=a,O丽=6，OC=c,则元= B.+5+号 c.--日 D.-5-8 6.已知点R在直线x-y+1=0上运动，点M(3,3),N(2,1),则RM+RW的最小值为 A.1 B.√2 C.3 D.5 7.己知向量AB=(2,1,0),AC=(1,2,0),AD=(1,1,-3),则三棱锥D-ABC的体积为 A B.3 c D.9 数学试题第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 8.已知关于实数x,y的方程x+3y-=3x+y-=1√x2+y2有两组实数解，则1的取值范围为 A.(0,V2 B.[2,+oo) C.[W5,5U(5,+o) D.[N2,2N2)U(2N2,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.下列四个选项中，正确的有 A.直线y=2x-3在y轴上的截距是-3 B.已知直线的点斜式方程为y-4=2(x+5),则该直线的一个方向向量为1,2) C.若{a,b,c是空间的一个基底，则a,a+b,2©也是空间的一个基底 D.若a是直线1的一个方向向量，n是平面a的一个法向量，且μn=0,则1川a 10.已知点A(-3,4,B(3,2),直线1：c+y-k=0(k∈)，下列说法正确的有 A.直线I恒过定点L,0) B.以AB为直径的圆标准方程为x2+y+3)2=10 C.点A到直线1距离最大值为4√瓦 D.若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围为[-1，] 11.如图，棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,动点P在正方体ABCD-ABCD,的表面上运动，则下列说法 正确的有 A.若点P是线段DA上的动点，则三棱锥P-B,CC体积为定值 B.若AP⊥CD,则动点P所围成的图形的面积为√2 C.若C平-号CC+付9A,则点P到直线4D的距离为 2 D.若点P是线段a℃的中点，过点P作正方体外接球的藏面，羧面面积的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.两直线4：x-2y+3=0,2:2x-4y+5=0,则442之间的距离为 13.在平行六面体ABCD-AB,CD,中，AB=2,AD=1,A4=2,BD=√7，∠AAB=∠AAD=60°， 则∠ABC= 14.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上A(,乃)与B(:,y2)两点，定义(A,B)=s-+以-y2为两点 的“曼哈顿距离”，定义D(A,B)=mx5-,以-y2为两点的“切比雪夫距离”.已知O(0,0),A(2,1), 点P满足d(O,P)=4,则动点P所围成图形的面积为：D(A,P)的最小值为■ 数学试题第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC,AC=BC=BB,E,F分别为楼AB,2BC的中点. (1)求证：EF∥平面A4CC: (2)求平面AEF与平面ABC的夹角余弦值. 16.(15分) 已知在△MBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,,且a=bosC+ 3csinB. (1)求B 2)若c3,c03A二27，求△B℃的而积 17.(15分) 如图，在三棱台ABC-AB,C中，侧面ACCA为等腰梯形，且侧面ACCA⊥平面ABC,H为AC,中点， AC=2AC=4,AB=AA=V5,且AB⊥B,C. (1)求异面直线BB,与HC所成角的余弦值： (2)在线段BC上是香存在点M,使得直线BM与平面41BB所成角的正弦值为5？若存在，求出：M 3 B.C 的值：若不存在，请说明理由. 数学试题第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP 罔 18.(17分) 已知△ABC的顶点A(-2,0),B(6,0),C(0,3). (1)求边AC和BC所在直线的方程： (2)过点P(O,2)作直线分别与线段CA,CB交于E,F两点，求△CEF面积的最小值： (3)过点PO,2)作平行于x轴的直线交BC于点D,动点M,N分别在线段PD和OB上.若直线MN平 分直角梯形OBDP的面积，求证：直线MN必过一定点，并求出该定点坐标. 19.(17分) 如图，平面四边形ABCD中，AB=8,AD=55,CD=3,∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E,F满足 正=号而，正=而，将△MBF沿EF翻折至△PBF. (1)证明：EF⊥PD: (2)若PM=PC,P丽-子PD,0=BC0<1<,是否存在1使得F,M,N,Q四点共面？若存 在，求出入的值：若不存在，请说明理由： (3)求二面角B-EP-C的余弦值的最小值. 数学试题第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指ApP