精品解析：重庆市永川中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

永川中学高2025级高二上期10月月考数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 3. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过公式可得投影向量. 【详解】因为，，所以. 又， 所以，故在上的投影向量为 故选：B. 4. 已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解. 【详解】由可得：， 由可得，所以直线：过定点， 由可得， 作出图象如图所示： ，， 若直线与线段相交，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或， 故选：B. 5. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到线的距离公式即可求解； 【详解】由题意直线的方向向量，，则， ，，所以点到直线的距离为 ， 故选：B. 6. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量运算得到得到答案. 【详解】 故 故选： 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力. 7. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法写出基本事件，根据古典概型求解. 【详解】因正四面体抛掷一次，侧面上的三个数字之和分别为6,7,8,9， 所以正四面体骰子连续抛掷两次所得样本点为， ，共个， 其中满足的样本点为， ，共个， 所以. 8. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐一计算各选项涉及的概率、极差、众数、方差及百分位数，验证每个选项的正误. 【详解】选项A：总体含50个个体，抽取容量为5的样本， 个体被抽到的概率为，该选项正确. 选项B：数据的极差为，众数为2， 二者之和为，该选项正确. 选项C：原数据极差为6，新数据的极差为； 原数据方差为2，新数据方差为，该选项错误. 选项D：将数据排序为，共8个数据， 70百分位数的位置为，对应第6个数据23，该选项正确. 故选：ABD 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 11. 正方体的棱长为，，，（，且）．下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则平面 C. 若，，则四面体的体积为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，利用空间向量的坐标运算，分别求出各点的坐标，再结合空间距离公式、线面平行判定、体积计算以及点到直线距离公式，对各个选项进行逐一验证. 【详解】以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 已知正方体的棱长为，根据正方体的结构，各顶点的坐标如下： ，，，，，，，， 由，可知是线段的中点， 因为，，所以， 由，且，已知，，则，所以， 设，则，故， 由，且，已知，， 所以，即，说明点在底面正方形 内（不含原点 ）， 对于 A，点，点，点在平面（即平面）上， 要求的最小值，可将其转化为求空间中一点到两定点的距离之和， 由于在的平面上，我们可以找关于平面的对称点，关于平面的对称点为，此时， 所以，当且仅当三点共线，且交点落在正方形内部及边界（不含）时，取得最小值， 计算的长度，，， 此时，直线的方程参数化为，令，得，此时，，即交点， 此时，满足 且，所以该点是可行的，因此，的最小值为，故A错误； 对于B，已知，，，计算平面内的两个向量，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，所以平面的一个法向量， 由题意，，若，则，， 这说明，即直线平行于平面或在平面内， 平面过点，法向量为，其平面方程为 ， 将代入，所以点不在平面内，因此平面，故B正确； 对于 C，当时，， 已知，，， 观察点的坐标，它们都满足（即都在平面内），所以在平面上， 由于，，沿轴方向，长度为，点到直线（即直线在平面上）的距离， 就是的坐标与的坐标之差的绝对值，即，所以， 点到平面的距离，四面体体积， 故C正确； 对于D，已知，，直线经过和， 方向向量，单位方向向量 ， 向量， ， 点到直线的距离，其中是向量在方向上的投影长， 投影长， 距离， 当时，距离，即点到直线的距离的最小值为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件及两直线平行间的距离公式即可求解. 【详解】由. 所以直线： 所以与之间的距离： 故答案为： 13. 已知为两个相互独立的随机事件，若，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知与，与，与也是相互独立的，利用独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】因为为两个相互独立的随机事件， 所以与，与，与也是相互独立的， 由得， 即，即， 又， 所以或（舍去）. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】(1)先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程. (2)先确定交点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明； （2）根据线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在的高线上，中点在直线上列方程得到点，根据点在边的中线上，垂直于边上的高线列方程得到点； （2）法一:根据点在上列方程，根据的面积得到到边的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程，最后解方程即可； 法二：根据的面积得到到边的距离，然后设过与平行的直线的方程，最后与直线的方程联立即可； 法三：根据与的面积比值得到，然后利用向量求坐标即可. 【小问1详解】 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． 【小问2详解】 法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 18. 某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； （3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 【答案】（1）第一组频率为0.23，平均数为41.3； （2）； （3）总平均数，总方差． 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图性质可得，解得． 故. 【小问2详解】 第四组人数为，第五组人数为，人数比． 因为分层抽样抽取6人，故第四组抽取4人，第五组抽取2人． 从名学生中任意取两人，不同的取法有种， 两名学生来自不同的组的取法有 种， 故这2名学生来自不同组的概率为. 【小问3详解】 ，，；，，， 故， 又 . 19. 世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题. （1）已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值； （2）求通过直线且与平面垂直的平面方程； （3）已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程. 【答案】（1） （2） （3）距离为， 【解析】 【分析】（1）先由直线方程组取 和 得到直线上两点,进而确定直线的方向向量 ,再结合平面的法向量 ,利用线面角与向量夹角的关系 ,代入数量积和模长计算,最终化简求出sin 的值； （2）平面 过直线 且与平面 垂直,因此 的法向量同时与直线 的方向向量、平面 的法向量垂直,由此列方程组求出平面 的法向量 ,再代入直线上已知定点,用点法式写出平面方程并整理化简； （3）先根据两条直线的参数方程分别设出动点坐标，求出两直线方向向量，方法一利用公垂线向量同时与两个方向向量垂直，数量积为 列方程求出参数，得到垂足与公垂线段向量，计算模长得异面直线距离并写出公垂线方程；方法二写出两点距离平方表达式，用二次函数配方法求最小值，即为异面直线距离，同步确定垂足与公垂线方程. 【小问1详解】 取的法向量为，上的点满足， 在方程组中取得，所以点在直线上.取得， 所以点在直线上.所以直线的方向向量可以取为， 取直线与平面所成的角为，则. 【小问2详解】 取平面满足且，取的法向量为， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，不妨取， 因为点在直线r上，所以点在平面内， 所以的方程为，整理得 【小问3详解】 因为上的点满足，所以可取上的点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量取为， 同理因为上的点满足，所以可取上的动点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量可取为， 方法一：若直线为、的公垂线，则，， 因为，所以， 所以，所以、为公垂线在两条直线上的垂足， 此时，所以、的距离为， 所以公垂线方程为； 方法二：因为， 所以， ， 当且仅当时取等，所以、的距离为， 此时、为公垂线在两条直线上的垂足， 所以，所以公垂线方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2025级高二上期10月月考数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 7. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 11. 正方体的棱长为，，，（，且）．下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则平面 C. 若，，则四面体的体积为 D. 点到直线的距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______ 13. 已知为两个相互独立的随机事件，若，且，则______ 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 18. 某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； （3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 19. 世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题. （1）已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值； （2）求通过直线且与平面垂直的平面方程； （3）已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $