精品解析：北京市第一○一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026北京一零一中高三10月月考 数　　学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，满足，，且，则=（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 7. 一种声信号在岩层中传播，信号强度满足指数衰减，其中为初始信号强度，为传播距离（单位：），．信号传播后，强度降为原来的．当信号强度降为原来的时，接收器恰好不能识别，则最大可识别距离约为（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，对，定义，则“是偶函数”是“，，都有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在中，角，，的对边分别为，，，若三边，，成等差数列，则下列说法错误的是（ ） A. 可以为等边三角形 B. 可以为直角三角形 C. 的面积可以为 D. 可以大于 10. 已知数列的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则数列为常数列 B. 若，则数列单调递减 C. 若等差数列的首项为，公差为，则存在实数，*，使得恒成立 D. 若等比数列的公比为()，满足，且，恒成立，则的最小值为 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知复数满足，则=_______ 12. 已知数列为等比数列，，，则__________________． 13. 在正方形ABCD中，，则__________________；若动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则的最大值为__________________． 14. 函数的图象与直线交于，，三点，且，则______． 15. 已知是定义在R上的函数，集合R．若对任意的，，，均有，则称与关联．给出下面四个结论： ①对于任意函数，与关联； ②若，则存在使得与关联； ③若与关联且与关联，则对于任意*，与|关联； ④若与关联，则存在这样的，使得在R上有单调递减区间． 其中所有正确结论的序号是__________________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 已知数列的前项和为，且，． （1）求，的通项公式，并证明是等比数列； （2）设，若对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）若的最小值为，求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一．若在上有且仅有两个极值点，求的取值范围． 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且． 18. 已知函数． （1）若函数的极小值点为1，求的值； （2）当时，求函数在区间上的最大值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数的最大值． 19. 如图，为某城区中心通信机房所在的位置，为郊外某处基站所在的位置，规划主干光缆沿射线铺设，为主干光缆线上的一处信号中继站点，是光缆远端接入点．已知，，． （1）求，之间的距离； （2）若，受区域地貌和基站B无线信号覆盖角度影响，，铺设段光缆每千米造价2万元，铺设段光缆每千米造价4万元，段光缆的综合调试费用为万元．试判断，光缆远端接入点选在何处时，施工总费用有最小值，并求出总费用的最小值． 20. 已知函数的定义域为，，其导函数． （1）求的单调区间； （2）证明：在第一象限内，曲线在曲线的上方； （3）曲线在点处的切线与轴、轴分别交于点，，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形，证明：的面积． 21. 已知，．若，且，都有，则称为一个阶好子集．所有阶好子集中元素个数最多的称为阶完美子集，其元素个数记作． （1）请直接写出，并给出元素之和最小的阶完美子集； （2）求； （3）从以下三个选项中选择一个进行证明： ①； ②； ③． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京一零一中高三10月月考 数　　学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，集合， 所以. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用反向举例法、作差法、基本不等式的性质、幂函数的单调性等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，当时，，那么此时，A错误； 对于B，，因为，所以， 所以，即，B错误； 因为，所以根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 因为，所以根据幂函数在上单调递增，可知，所以D正确. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由函数奇偶性可判断；对于B，利用奇偶性的定义及导数的应用即可判断；对于C，根据正切函数的性质即可判断；对于D，根据复合函数的单调性即可判断． 【详解】对于A，令，定义域为，， 则为偶函数，故A不符合题意； 对于B，令，定义域为， ，， 则为奇函数，且单调递增，故B符合题意； 对于C，在上单调递增， 但在定义域内不是严格的增函数，故C不符合题意； 对于D，令，定义域为， 又在和上单调递减，为增函数， 则在定义域内不是严格的单调函数，故D不符合题意． 4. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出边，再利用正弦定理化角为边即可得解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得. 5. 已知向量，，满足，，且，则=（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，则， 而，，因此，解得， 所以. 6. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，确定单调区间，进而确定极值和零点个数，结合对称中心公式以及导数的定义逐项计算判断即可. 【详解】对函数求导得，令，则. 当时，或；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值为，A错误； 当时，；当时，； 当时，； 当时，； 所以函数只有一个零点，B错误； 因为，所以点是曲线的对称中心，C正确； 令，即，解得，所以切点坐标为. 所以切线方程为和，即和，所以D错误. 7. 一种声信号在岩层中传播，信号强度满足指数衰减，其中为初始信号强度，为传播距离（单位：），．信号传播后，强度降为原来的．当信号强度降为原来的时，接收器恰好不能识别，则最大可识别距离约为（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，即，解得， ，则， ， 解得． 8. 已知函数的定义域为R，对，定义，则“是偶函数”是“，，都有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】命题条件等价于对任意实数成立，可推出.偶函数可推出该条件，反之也成立，故为充要条件. 【详解】充分性：若是偶函数，则对任意都有. ，若，即，则，得，充分性成立； 必要性：若，，都有. 即；将式中替换为，得. 对任意，若，可取介于两者之间，推出矛盾， 故，是偶函数，必要性成立. 因此“是偶函数”是“，，都有”的充要条件. 9. 在中，角，，的对边分别为，，，若三边，，成等差数列，则下列说法错误的是（ ） A. 可以为等边三角形 B. 可以为直角三角形 C. 的面积可以为 D. 可以大于 【答案】D 【解析】 【分析】应用正弦特殊值法判断A，B，应用余弦定理结合基本不等式计算判断D，再结合三角形面积判断C，. 【详解】A选项，若，满足，，成等差数列，此时为等边三角形，故A正确； B选项，若，满足，，成等差数列，此时为直角三角形，故B正确； D选项，由余弦定理结合可推导得，当且仅当取等号， 又因为，所以，故D错误； C选项，由，，成等差数列，得， 所以，当且仅当时等号成立， 由D知，，所以，当且仅当时等号成立，此时， 所以，当且仅当时，三角形面积的最大值为，的面积可以为，故C正确. 10. 已知数列的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则数列为常数列 B. 若，则数列单调递减 C. 若等差数列的首项为，公差为，则存在实数，*，使得恒成立 D. 若等比数列的公比为()，满足，且，恒成立，则的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数列是公差为的等差数列得到，；进而可判断选项AB；对于C，，得到，于是可判断C错误；对于D，由可得时成立，再结合恒成立，可得的最小值. 【详解】因为数列是公差为的等差数列,且， 所以可设通项公式为. 当时，，所以， 所以， 于是是首项为，公比为的等比数列； 所以，， 对于A，，则，故数列为常数列，A正确； 对于B，，， 所以数列单调递减，B正确； 对于C，，所以. 当， 所以不存在实数，*，使得恒成立，C错误 对于D，因为，所以， 所以为正数，最小值为. 等比数列的公比为，可设， 因为，恒成立， 因为要求的最小值，考虑的情况. 由于正负交替，仅需所有正数项满足条件即可. 当时，恒成立即可.即， 由题意，所以当时取等号，所以D正确. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知复数满足，则=_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模长公式可求出结果. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 12. 已知数列为等比数列，，，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式可解出公比，再利用等比数列的前项和公式可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列的通项公式， 由，得：， 将代入上式：， 即， 因为等比数列的公比不能为， 所以：； 等比数列前项和公式为：， 将，，代入公式： . 13. 在正方形ABCD中，，则__________________；若动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则的最大值为__________________． 【答案】 ①. 4 ②. 16 【解析】 【详解】 ①在正方形中，，所以. 因为是正方形的对角线，因此； 又与的夹角为， 代入数量积公式得. ②正方形对角线，点到的距离为对角线长度的一半，即，因此圆的半径为. 由向量加法三角形法则，，代入所求式子得. 所以. 因为与的夹角为，，，所以. 又，此时原式可简化为：   因为动点在以点为圆心且与相切的圆上，所以正方形中到对角线的距离等于对角线的一半，即，因此. ​根据数量积公式，，其中是与的夹角. 当，也就是与同向共线时，取得最大值. 因此原式的最大值为： . 14. 函数的图象与直线交于，，三点，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】设出三点坐标，位于之间，不妨设，根据向量关系，周期性和对称轴可得，，，联立可得，代入求值即可 【详解】设， 根据可知，位于之间，不妨设， 由得， 故，即， 由题意得，且关于的一条对称轴对称， 故，，化简得， 联立与得， 联立与得， 由题意得，代入得， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 综上，或 15. 已知是定义在R上的函数，集合R．若对任意的，，，均有，则称与关联．给出下面四个结论： ①对于任意函数，与关联； ②若，则存在使得与关联； ③若与关联且与关联，则对于任意*，与|关联； ④若与关联，则存在这样的，使得在R上有单调递减区间． 其中所有正确结论的序号是__________________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据与关联的定义判断各命题即可. 【详解】当时，等价于，即，此时，显然， 因此任意函数都满足与关联，结论①正确. 假设存在使得与关联，则对任意，，当，即时，，即， 则，； 因为，则，与矛盾， 所以假设不成立，结论②错误. 若与关联，则当时，，即； 所以， ， 若与关联，则当即时，即 ； 当时，因为，即， 所以； 因为，即，所以； 所以当时，，结论③正确. 由关联性，，同时， 故以上两个增量均等于，即， 任取，则，，代入， 得，因此函数在任何长度不超过的区间上均单调不减，不可能存在严格减区间，结论④错误. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 已知数列的前项和为，且，． （1）求，的通项公式，并证明是等比数列； （2）设，若对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），， 是等比数列证明如下： 可知，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列前项和与数列项的关系，求出数列的通项公式，进而根据题目条件求出的通项公式，再根据等比数列的定义证明数列是等比数列即可； （2）根据题目条件，求出数列的通项公式，根据作差法，求出数列的最大项，进而说明参数范围. 【小问1详解】 由题可知，当时，， 当时，， 当时符合等式，所以， 则. 【小问2详解】 可知， 可得， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 所以数列的最大项为， 当对任意的正整数，恒成立时，，即实数的取值范围为． 17. 已知函数． （1）若的最小值为，求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一．若在上有且仅有两个极值点，求的取值范围． 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且． 【答案】（1） （2）选择条件②，的取值范围为；选择条件③，的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换得到，根据正弦函数的性质结合题意即可求解； （2）选择条件①，由题意可得，，可得，不符合题意；选择条件②：根据单调求得，再结合的图象关于点对称，求出，根据正弦型函数的极值点即可求出答案；选择条件③：根据最小正周期，求得，再根据，求得，根据正弦型函数的极值点即可求出答案. 【小问1详解】 ， 所以的最小值为， 由题意得，故. 【小问2详解】 ，所以， 所以， 选择条件①： 因为的图象关于和对称， 所以，， 解得，， 令，即， 满足此式子的有无数多个，即有无数多个， 例如，，此时；，此时， 此时函数存在但不唯一. 选择条件②： 因为在区间上单调， 所以，即，解得， 又因为的图象关于点对称， 所以，解得， 结合，故， 此时， 当时，，所以函数在上单调递减，符合题意， 令，解得， 故的极值点为， 若在上有且仅有两个极值点，则， 所以的取值范围为. 选择条件③： 因为的最小正周期，所以，解得， 又，所以， 即， 解得或，， 即或，， 结合，所以， 此时， 令，解得， 故的极值点为， 若在上有且仅有两个极值点，则， 所以的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若函数的极小值点为1，求的值； （2）当时，求函数在区间上的最大值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数导数与函数极小值的关系，求出函数导数，根据条件列出方程，求出参数值，再加以验证即可； （2）根据函数导数和函数单调性的关系，求出函数导数，判断函数单调性，进而求出函数最大值； （3）根据不等式和题目条件，进行参变分离，进而构造函数，根据恒成立条件判断参数范围，进而根据单调性和函数导数的关系，求出函数单调区间进而求出函数最小值，说明参数范围，求出参数最大值即可. 【小问1详解】 可知，，则， 函数的极小值点为1，即，可得，解得， 当时，，可知时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增，函数的极小值点为1； 所以. 【小问2详解】 当时，得，可得， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则，可知， 所以函数在区间上的最大值为. 【小问3详解】 可得即， 因为，所以，原不等式变形得， 所以对任意的，不等式恒成立，等价于恒成立； 设，则， 令，则， 当时，可知，所以函数在上单调递增， 可知，， 所以，使， 当时，，即，函数在上单调单减， 当时，，即，函数在上单调单增， 所以函数在处取得极小值，也是最小值为， 因为，得， 所以， 由可得， 对任意的，不等式恒成立，等价于， 所以整数的最大值为． 19. 如图，为某城区中心通信机房所在的位置，为郊外某处基站所在的位置，规划主干光缆沿射线铺设，为主干光缆线上的一处信号中继站点，是光缆远端接入点．已知，，． （1）求，之间的距离； （2）若，受区域地貌和基站B无线信号覆盖角度影响，，铺设段光缆每千米造价2万元，铺设段光缆每千米造价4万元，段光缆的综合调试费用为万元．试判断，光缆远端接入点选在何处时，施工总费用有最小值，并求出总费用的最小值． 【答案】（1）； （2）点选在处，施工总费用最小值为万元. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系得到，在中，由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理得，，使用基本不等式求出最小值，得到答案 【小问1详解】 因为，，所以， 则， 在中，由正弦定理得，即， 解得； 【小问2详解】 在中， ， 由正弦定理得，即， 解得， 在中，，故， ， 由正弦定理得， 所以，， 设施工总费用为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 则，解得， 其中，故， 故满足要求， 所以光缆远端接入点选在时，施工总费用有最小值，最小值为万元. 20. 已知函数的定义域为，，其导函数． （1）求的单调区间； （2）证明：在第一象限内，曲线在曲线的上方； （3）曲线在点处的切线与轴、轴分别交于点，，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形，证明：的面积． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）由题意即证明：时，， 令， ， 令，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，， 故在上单调递增， 故，即， 即在第一象限内，曲线在曲线的上方. （3）切线的斜率，由题意知， 所以直线的方程为，即， 则，， 由（1）知，在上单调递增， 所以当时，，即， 所以函数在上单调递减，故， 即， 由（2）可知，所以 当时，明显不成立，故， 故，即， 因此， 因此. 【解析】 【分析】（1）令，通过求导即可求出单调区间； （2）即证时，，令，通过求导得到在上单调递增，即可证明； （3）根据导数的几何意义和题干信息求出，进而求出，，由（1）证明出在上单调递减，从而得到，由（2）得到，进而求出，根据三角形面积公式即可证明. 【小问1详解】 令， 则， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 21. 已知，．若，且，都有，则称为一个阶好子集．所有阶好子集中元素个数最多的称为阶完美子集，其元素个数记作． （1）请直接写出，并给出元素之和最小的阶完美子集； （2）求； （3）从以下三个选项中选择一个进行证明： ①； ②； ③． 【答案】（1）， （2） （3）若选择①或②， 将分成共15组， 由（1）得前14组每组至多取出4个数不构成三项等差数列， 而本身成等差数列，故最多选两个， 因此，自然有． 若选择③，下面先证明几个引理． 引理1：． 引理1的证明：将分成两组， 若中可选出5个数不构成三项等差数列，则至少有3个数来自同一组， 不妨设这3个数来自，则只能是或， 若为，由于；构成等差数列，则5和7不能选， 但也构成等差数列，矛盾！ 若为，同理可知6和7不能选，但也构成等差数列，矛盾！ 因此． 引理2：． 引理2的证明：将分成三组， 若中可选出9个数不构成三项等差数列， 则两组都只能选4个（否则与引理1矛盾），故9必选， 若1不选，则中能选出5个数不构成三项等差数列，矛盾， 同理若17不选，则中能选出5个数不构成三项等差数列，矛盾， 因此1和17必选，但构成等差数列，矛盾！ 因此． 回到原题，将分成 共7组， 由引理2得前5组每组至多取出8个数不构成三项等差数列， 由引理1得后2组每组至多取出4个数不构成三项等差数列， 因此． 【解析】 【分析】（1）根据4是否属于分情况讨论，可得，再给出符合条件的构造，即可说明，最后分析中元素的取值范围即可求出元素之和最小时的集合； （2）将分成与，利用（1）中的结论可得，最后给出构造即可； （3）若选择①或②，将分成共15组，利用（1）的结论可得；若选择③，先证明和，再将分成共7组，即可证明． 【小问1详解】 记集合中的元素个数为， 若，由于；；均为三项等差数列， 所以每对至多选一个，因此． 若，则每组至多选两个，故仍有． 而中不存在三项等差数列，因此． 设此时中的四个元素从小到大为，显然 ， 若，则前三个只能是，矛盾， 所以，故中的四个元素之和至少为， 此时． 【小问2详解】 将分成与， 由于平移不改变三个数是否成等差数列， 故由（1）可知每组最多选出4个数不构成三项等差数列，因此， 另一方面，取，验证易知该集合符合题意， 综上，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $