北京市首都师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

首师大附中2026-2027学年度10月月考 高三数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分) 1.已知粜合A={xr<4,B={-1≤x<3,则4UB=() A.{-2<x<3)B.{xe>-2吲 c.{x-1≤x<3} D.{<3} 2.已知复数z满足z(2-)=i,则复数z的共轭复数z=（) 店+ B计号 c片 3.已知a=(（1,2),b=(k,k2-3,若a和6方向相同，则k=（） A.-1 B.3 C.-1或3 D.1或-3 ,4.下列函数中，奇函数且单调递增的是（) A.y=x+sinx B.y=xcosx c y=tanx D.y=+ X 5.下列不等式成立的是（) A 10go30.2<I B.0.32<1 C logo0.2<0 D.23>1 6.“sin日+tanB>0"是"日为第一或第三象限角"的（) A,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知函数f(x)=n(3-x)-n(3+x),则f(x)是() A.奇函数，且在(-3,0)单调递增 B.偶函数，且在(-3,0)单调递增 C.奇函数且在(-3,0)单调递减 D.偶函数，且在(-3,0)单调递减 8.在无线通信（如路由器信号)中，信号强度会随着传播距离增加而液减，L是信号狡减值（单位：分 贝，B),d(单位：米)为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号接减 公式可简化为：L-kgd+C(kC都为常数)，若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6B,信号传播 距离从（增加到4时，测得信号接减值从-30变到-45，则号=（） d A.5 B.6 C.4W2 D.52 试卷第1页（共4页） 9.已蜘函数f(倒=3sim行x+到 若xeR,f(x)sf(x)sf(名)，则%-的最小值是( A.1 B.2 C. D.2π 10.已知函数f(x)=e-acosx.则() A当a=2时，f儿在区间-0 上单调递增： B.对任意实数a,f(x)都有最小值： C.当a≠0时，设f(x)的姿点从大到小依次为，2，为，，则对任意正整数：，都有x一x4,<π： D.对任意实数a,m,存在实数x,当1>x,时，恒有f(-)+f()>m. 二、填空题（每题5分，共25分) 1.函数f女)=血+的定义蚊为 12.已知向量d=(1,0),b=(m,),若ā+26与a垂直，则m的值为 13.在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若角α终边与 单位圆交于 点 3 则cosB= 14.己知g,马是两个单位向量，日·8=0.设ā=1g+46,若元=μ=1，则ā和g的夹角为一： 若21+μ=2，则6-日的最小值为 15.设函数(x)= xe*+a,x<l a-xx21 ①若a=1,则f(x)的罗点个数为 ②若f(x)有且仅有两个零点，则实数a的范围是 试卷第2页（共4页） 三、解答题（共85分) 16.(13分)已知函数f()=V5 sin-cos2@x+与@>0）. (1)若w=2,求f(x)的单调递减区间： 知在区间0引 上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使 函数∫()存在且唯一确定，求f()在0习上的最大值. 条件O:fo+/()-o: 条件@：x=侣是了的一-个零点： 条件®：x=于是f()的一个极值点. 17.(13分)在△BC中，cosA=-3，asinB=10W2 3 (1)求b的值： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得aABC存在，求BC边上的高。 条件①：asinC=4√2 条件@：osB=3 条件③：△ABC的面积为10√2. 18.（14分)2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温.为响应“体教 融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份 作为样本，成绩分布统计如下： 成锁分组 [0,60) [60.70) [70,80) [80,90 [90,100] 人数 4 6 12 10 8 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问愿： (1)从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率： (2)从所有参赛学生中抽取4人，求2人中成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率： (3)从所有参赛学生中随机抽取20人，记Y为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率P(T=)取得 最大值时的k的值.（直接写出结论） 试卷第3页（共4页） 19.(15分)如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD,AFIIDE,且DE=3AF=3. E (I)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值. 2)线段4C上是否存在一点P,使得点P到平面BEF的距离为5y?若存在，求线段MP的长：若不存 21 在，请说明理由. 20.(15分)已知函数f(x)=n(+x)-x+x2-a】 (1)求证：曲线y=(x)在点(0，∫(0)处的切线总与直线y=1平行： (2)函数f(x)在区间(0，+∞)上存在极值点，求k的取值范围： (3)讨论f(x)在区间(0，+o)上的零点个数. 21.(15分)已知函数f(x)=xe-a (I)a=-1时，求曲线y=∫(x)与x轴平行的切线方程： a已知函数g()=之式-x, (i)当a<0时，求曲线y=∫(x)与曲线y=g(x)的交点个数： ()如果存在实数1，使得两条曲线在x=1处有公共点，且两条曲线在x=1处的导数也相同，则 称这两条曲线相切.求口的值，使得曲线y=f(x)与曲线y=(x)相切. 试卷第4页（共4页）